锐角三角函数的知识点

锐角三角函数的知识点

一、选择题

1．如图，ABC ∆是一张顶角是120︒的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．3

【答案】A

【解析】

【分析】 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可． 【详解】

解：作AH ⊥BC 于H ，

∵AB=AC ，AH ⊥BC ，

BH=12

BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ，

∴∠B=30°，

∴AB=30BH cos ︒

3 由翻折变换的性质可知，3

∴DE=BD •tan30°=1，

故选：A ．

【点睛】

此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ）

A ．39

B ．3

C ．33

D ．32 【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC tan ABC BE

∠=

得出答案． 【详解】

解:连接DC ，交AB 于点E ．

由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF,

设EC=x,则EF=x 3x tan 30︒

, ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 23x 3x 33=

===+∠, 故选:A

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．

3．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）

A ．1000sin α米

B ．1000tan α米

C ．1000tan α米

D ．1000sin α

米 【答案】C

【解析】

【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB

α=

，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ∆中，∵90CAB ∠=，B α∠=，1000AC =米，

∴tan AC AB α=

， ∴1000tan tan AC AB αα

==米． 故选：C ．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )

A ．3 cm

B ．2+10) cm

C ．64 cm

D ．54cm

【答案】C

【解析】

【分析】 过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，则可得AE 和BF 的长，依据端点A 与B 之间的

距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】

如图所示，

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则

Rt△ACE中，AE=1

2

AC=

1

2

×54=27（cm），

同理可得，BF=27cm，

又∵点A与B之间的距离为10cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），

故选C．

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）

A．23B．3C．33D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3，

所以BD=BA=2x，即可得33）x，

在Rt△ACD中，tan∠DAC=

(32)

32 CD x

AC x

==，

故选A.

6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）

A ．247

B ．7

C ．724

D ．13

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE ．设BE=x ，则CE=8-x ．

在Rt △BCE 中，x 2=（8-x ）2+62，

解得x=254，故CE=8-254=74

， ∴tan ∠CBE=

724CE CB =. 故选C.

考点：锐角三角函数.

7．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点

E ，连接AC 交DE 于点

F .若3sin 5

CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )

A ．10

B ．12

C ．16

D ．20

【答案】D

【解析】

【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．

【详解】

解：连接BD ，如图，