勾股定理与锐角三角函数复习讲解

个性化辅导教案提纲

教师：学生：学科：数学时间：审核人：课题（课型）勾股定理与锐角三角函数

学生目前情况

（知识遗漏点）：

复习

教学目标或考点分析：1.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容

2.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法

教学重难点：1、能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题

2、运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题

教学方法：知识梳理，例题讲解，知识巩固，巩固训练，拓展延伸

勾股定理与锐角三角函数

【知识网络】

一、勾股定理及其逆定理

考点一、勾股定理 1.勾股定理：

直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：

222a b c +=）

考点二、勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足2

2

2

a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.

类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用

1．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4

1

=，那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？

【变式】如图，矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）.

A.14

B.16

C.20

D.28 2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称

其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3=10，则S 2的值是__________．

3.如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD 的长为（ ）.

A.14

B.15

C. 23

D. 32

类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用

4. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为A EF=3，则AB 的长为( ).

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【变式】如图为梯形纸片ABCD ，E 点在BC 上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD ＝3，BC ＝9,CD ＝8．若以AE 为折线，将C 折至BE 上，使得CD 与AB 交于F 点，则BF 长度为何（ ）.

A ．4.5

B ．5

C ．5.5

D ．6

5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2米，坡角∠A ＝30°，∠B ＝90°，BC ＝6米．当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝ 米时，有DC 2＝AE 2＋BC 2．

6.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt

△ABC 绕

A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点

B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是___________．

7.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． （1）请用a 表示第三条边长；

（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a 的取值范围；

（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．

二、锐角三角函数

考点一、锐角三角函数的概念

设在Rt △ABC 中，∠C=90o , ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c 。

（1）A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。 即的邻边的对边A A A ∠∠=

tan a

b

=

（2）A ∠的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin 。即斜边的对边A A ∠=

sin a

c =

（3）A ∠的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos 。即斜边的邻边A A ∠=

cos b

c

=

同理sin B b B c ∠=

=的对边斜边；cos B a

B c

∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠=

=∠的对边的邻边 考点二、特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：

α 300 450 600 sin α cos α tan α

考点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°． (1)互余关系：，

；

(2)平方关系：；

(3)倒数关系：或

；

(4)商数关系：

．

考点四、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有： ①三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系：

，

，

，

，

，

.

1122

ABC

S ab ch ∆==

考点五、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母

表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字

母i 表示，则tan h

i l

α=

=，如图，坡度通常写成:i h l =的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

类型一、锐角三角函数的概念与性质

1．如图，在4×4的正方形网格中，tan α=( )

(A)1 (B)2 (C)

1

2

(D) 52

【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90°,若AC=2BC ，则sinA 的值是( ) (A)

1

2

(B)2 (C) 55 (D) 52

类型二、特殊角的三角函数值

2．已知a ＝3，且2

1

(4tan 45)302

b b

c -++

-=°，以a 、b 、c 为边长组成的三角形面积等于( )．