最新不定积分 (公式大全)
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⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵略
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它
就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的
形式。
[定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
＝－cosu＋C＝－cos2x＋C
注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。
例3
求
(x2
x 1)4
dx
解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx
(x 2 x 1 )4d 1 x 2u 4 d u 1 6 u 3 C 6 (x 2 1 1 )3 C
例5 求2xex2dx
解：设u＝x2，则du＝2xdx
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
例 1 求 x12dx
解 :x12d x(x22x1)d xx2d x2xdxd x
1x3x2xC 3
不定积分 (公式大全)
例1 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数
的原函数不是唯一的。
例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。
这种积分方法叫做凑微分法。
[讲解例题]
例2 求∫2sin来自百度文库xdx
解：设u＝2x，则du＝2dx
∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu
再如 求(x13)x(x223)dx
解: (x13)x(x223)dx
x3x23x3
3x2
dx
(1 3x1 31xx12)dx1 6x23 xln|x|1xC
一、第一换元法(凑微分法)
如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。
例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。
四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
2 x x 2 d e x e x 2 2 x d e u d x e u u C e x 2 C 例7 求tanxdx
解:tanxdxcsionxxsdx 设u＝cosx，则du＝-sinxdx
x2 x
3
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数
的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
例6
求
1 dx
1x2
解:
1 dxarcsixnC 1x2
又
1 1x2
dx(
1 )dxarccoxsC 1x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx
解： ⑴∵ 1 x 6 是x5的一个原函数
6
∴ x5dx1x6 C
6
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sixnd xcox sC
故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。
三、 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本
求导公式反推，可得基本积分公式
⑴ ∫dx＝x＋C
⑵ ∫xαdx＝ 1 x1 C (α≠-1)
⑶ ⑷
1axxddxxlna| xx |CC lna
例10
求
x4 1x2
dx
解 : 1 x4x2d
x
1x 4 x1 211x2d x
(x21)d x
1 1x2dx
1x3xarcxt aC n 3
例11 求∫3xexdx
解 : 3 xe xd x(3 e )xd x(3 e )x C 3 xe x C
ln 3 e )( 1 ln 3
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽ a2 1x2dxarca txaC n
⑾
1 dxarcsxinC
a2x2
a
例5 求 1 dx
解 : 1 d x2 xxx5 2d x2x2 3C
(x2－1)'＝2x
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差
五、 基本积分公式的应用 例7 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx
＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
⑵略
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它
就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的
形式。
[定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
＝－cosu＋C＝－cos2x＋C
注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。
例3
求
(x2
x 1)4
dx
解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx
(x 2 x 1 )4d 1 x 2u 4 d u 1 6 u 3 C 6 (x 2 1 1 )3 C
例5 求2xex2dx
解：设u＝x2，则du＝2xdx
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
例 1 求 x12dx
解 :x12d x(x22x1)d xx2d x2xdxd x
1x3x2xC 3
不定积分 (公式大全)
例1 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数
的原函数不是唯一的。
例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。
这种积分方法叫做凑微分法。
[讲解例题]
例2 求∫2sin来自百度文库xdx
解：设u＝2x，则du＝2dx
∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu
再如 求(x13)x(x223)dx
解: (x13)x(x223)dx
x3x23x3
3x2
dx
(1 3x1 31xx12)dx1 6x23 xln|x|1xC
一、第一换元法(凑微分法)
如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。
例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。
四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
2 x x 2 d e x e x 2 2 x d e u d x e u u C e x 2 C 例7 求tanxdx
解:tanxdxcsionxxsdx 设u＝cosx，则du＝-sinxdx
x2 x
3
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数
的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
例6
求
1 dx
1x2
解:
1 dxarcsixnC 1x2
又
1 1x2
dx(
1 )dxarccoxsC 1x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx
解： ⑴∵ 1 x 6 是x5的一个原函数
6
∴ x5dx1x6 C
6
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sixnd xcox sC
故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。
三、 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本
求导公式反推，可得基本积分公式
⑴ ∫dx＝x＋C
⑵ ∫xαdx＝ 1 x1 C (α≠-1)
⑶ ⑷
1axxddxxlna| xx |CC lna
例10
求
x4 1x2
dx
解 : 1 x4x2d
x
1x 4 x1 211x2d x
(x21)d x
1 1x2dx
1x3xarcxt aC n 3
例11 求∫3xexdx
解 : 3 xe xd x(3 e )xd x(3 e )x C 3 xe x C
ln 3 e )( 1 ln 3
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽ a2 1x2dxarca txaC n
⑾
1 dxarcsxinC
a2x2
a
例5 求 1 dx
解 : 1 d x2 xxx5 2d x2x2 3C
(x2－1)'＝2x
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差
五、 基本积分公式的应用 例7 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx
＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，