【优质课件】高教版中职数学拓展模块1.3正弦定理与余弦定理1优秀课件.ppt
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中职数学拓展模块余弦定理(公开课)PPT
余弦定理
赤峰建筑工程学校
学习目标：
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余 弦定理及其推论。
2.能够利用余弦定理解三角形并判断 三角形的形状。
三、证明问题
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
设
的夹角为∠C，
求边c.
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab
B arc cos 15 63 126
ABC中B arc cos 15 63 126
A arc cos 6 63 63
C 63
C
a
b
Bc
A
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例2.在△ABC中，已知a= 5 ,b=7,c=4 解三角形的三个内角 解：由余弦定理得
cosA b2 c2 a2 49 16 25 5
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P14 A组 B组
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
变式训练：
在△ABC中，若a 2 b2 c 2，则△ABC的形状
为（ A）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄb2 c2 a2 cos A
2bc
提炼：设a是最长的边，则
C
b
a
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
赤峰建筑工程学校
学习目标：
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余 弦定理及其推论。
2.能够利用余弦定理解三角形并判断 三角形的形状。
三、证明问题
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
设
的夹角为∠C，
求边c.
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab
B arc cos 15 63 126
ABC中B arc cos 15 63 126
A arc cos 6 63 63
C 63
C
a
b
Bc
A
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例2.在△ABC中，已知a= 5 ,b=7,c=4 解三角形的三个内角 解：由余弦定理得
cosA b2 c2 a2 49 16 25 5
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P14 A组 B组
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
变式训练：
在△ABC中，若a 2 b2 c 2，则△ABC的形状
为（ A）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄb2 c2 a2 cos A
2bc
提炼：设a是最长的边，则
C
b
a
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理、正弦定理》ppt课件1
2.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角, 目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为α（如图②）.
B
75o C 51o 55m A
3 2 3 3 5,
AB 5(km).
A、B之间的距离为 5 km .
题型 与角度有关的问题 [例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A 3 1 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D
二. 判断三角形形状
(1)a cos A b cos B; 等腰三角形或直角三角形
(2) a b c ; 等边三角形 cos A cos B cos C
(3)b a cos C
直角三角形
(4) sin A 2 sin B cos C 等腰三角形
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.
2R
2R
2R
（3）a : b : c sin A : sin B : sin C
(角化边公式）
（4）a sin B b sin A, a sin C c sin A,b sin C c sin B
余弦定理：
正弦定理和余弦定理课件PPT
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
高教版中职数学(拓展模块)1.3《正弦定理与余弦定理》ppt课件1
整 体 建
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A；
构
b2 a2 c2 2ac cos B；
c2 a2 b2 2ab cosC．
自 我 反 思
学习方法
目 标 检 测
学习行为
学习效果
自
在△ABC中，a=20，b=29，c=21，求角B．
我
反
思
B 90.
A
b sin
B
c sin C
．
动 脑
当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图所示，以A为原
点，以射线AB的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则BC BA AC，
思 两边取与单位向量j的数量积，得 j BC j （BA+BC）=j BA j BC．
考
由于< j，BC 90 B，j BA，< j，AC A 90，
目 标 检 测
继
读书部分：阅读教材相关章节
续
探
书面作业：教材习题1.3（必做）
索
活
学习与训练1.3（选做）
动
实践调查：编写一道有关余弦定
探
究
理或正弦定理的习题
识
对角，利用正弦定
解 sin B bsin A 15 2 sin 45 1．理求另一边的对角
典
a
30
2 时，要讨论这个角
型 例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，的 发所取 生以值 错B 范误45.围或，B 避13免5．
题
运
1．已知ABC 中，A 45，B 30，b= 3 ，求C和a.
探
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
《正弦定理与余弦定理》中职数学(拓展模块)1.3【高教版】2
动脑思考 探索新知
在钝角三角形ABC中，不妨设C为钝角(图（2）)，作BD⊥AC 于D，
则BD = csinA，BD = asin（180°－C）= asin C． 同样可以得到
a b c． sin A sin B sin C
于是得到正弦定理．
动脑思考 探索新知
在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等. 即
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
实地听完整堂课。
•
3、课前预习
•
课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。
A
bC
在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？
动脑思考 探索新知
在锐角三角形ABC(图（1）)中，作CD⊥AB于D，则CD = bsinA，
CD = asinB，
于是bsinA = asinB，即
a b， sin A sin B
同理有
a c， sin A sin C
故
a b c．
sin A sin B sin C
解 由于
分析
b c， sin B sin C
这是已知三角形 的两个角和一边， 求其它边的问题，
可以直接应用正弦
所以
定理．
b
c sin B
6 sin 30
6
1 2
3
2．
sin C sin135
2
2
巩固知识 典型例题
正弦定理、余弦定理及其运用-PPT(精)共31页
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
56、书不仅是、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
正弦定理、余弦定理及其运用-PPT （精）
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
正弦定理、余弦定理及其运用-PPT （精）
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
中职数学 拓展模块 第1章 三角公式及应用
－sinβ)，因此向量OB=(cos α,sin α)，向量OC =(cos β,－sin β), 且 OB =1, OC =1，于是
OB· OC = OB · OC ·cos(α+β)=cos(α+β)，
1.1 和角公式
学习提示
设向量 a =(x1,y2), b =(x2,y2)，且< a , b >=θ，则 a · b =| a |·| b |·cos θ，又 由于 a · b =x1x2+y1y2，则| a |·| b |·cos θ=x1x2+y1y2.
1.1 和角公式
例14 不用计算器,求下列各式的值： （1） sin15°cos15°； （2）2sin222.5°－1.
解 （1）sin15°cos15°= 1/2 ×(2sin15°cos15°) = 1/2 sin(2×15°)= 1/2 sin30°= 1/4 .
（2）2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°) =－cos(2×22.5°)=－cos45°=－ 2 .
1.2 正弦型函数
1.2.1 正弦型函数的概念和性质
我们已经学习了正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x.在物 理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的函数，这类函数称为 正弦型函数 .它与正弦函数y=sin x有着 密切的关系.
我们先来讨论正弦型函数的周期. y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令
.
1 tan15
2.已知tan α= 1/2 ,tan（α-β）=- 2 /5 ，求tan（2α-β）
的值.
3.已知：tan α、tan β分别是关于x的二次方程x2-5x+6=0的
OB· OC = OB · OC ·cos(α+β)=cos(α+β)，
1.1 和角公式
学习提示
设向量 a =(x1,y2), b =(x2,y2)，且< a , b >=θ，则 a · b =| a |·| b |·cos θ，又 由于 a · b =x1x2+y1y2，则| a |·| b |·cos θ=x1x2+y1y2.
1.1 和角公式
例14 不用计算器,求下列各式的值： （1） sin15°cos15°； （2）2sin222.5°－1.
解 （1）sin15°cos15°= 1/2 ×(2sin15°cos15°) = 1/2 sin(2×15°)= 1/2 sin30°= 1/4 .
（2）2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°) =－cos(2×22.5°)=－cos45°=－ 2 .
1.2 正弦型函数
1.2.1 正弦型函数的概念和性质
我们已经学习了正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x.在物 理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的函数，这类函数称为 正弦型函数 .它与正弦函数y=sin x有着 密切的关系.
我们先来讨论正弦型函数的周期. y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令
.
1 tan15
2.已知tan α= 1/2 ,tan（α-β）=- 2 /5 ，求tan（2α-β）
的值.
3.已知：tan α、tan β分别是关于x的二次方程x2-5x+6=0的
高教版中职数学(拓展模块)1.1《两角和与差的正弦公式与余弦公式》ppt课件3
考
cos 2 cos2 sin2
(1.6)
因为sin2 cos2 1 ，所以公式(1.6)又可以变形为
探
cos 2 2cos2 1
索 新
或 cos 2 1 2sin2
还可以变形为
sin2 1 cos 2 ,
2
cos2 1 cos 2 .
5
5
典 型
故 sin 2 2sin cos 24
25
例
cos 2 1 2sin2 7
题
25
巩 固
例9
已知cos
2
1 3
，且
(π,
2π)，求
sin、cos
4
的值．
解 由 (π,2π) 知 (π , π)，所以
22
知
sin 1 cos2 1 1 2 2
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
第1章 三角计算及其应用
1.1 两角和与差的余弦公式与正弦公式
在两角和的正弦公式中，令 ，可以得到二倍角的正弦公式
动
sin 2 sin cos cos sin 2sin cos．
脑
即 sin 2 2sin cos
(1.5)
思 同理，公式（1.1）中，令 ，可以得到二倍角的余弦公式
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
【高教版】中职数学拓展模块：1.3《正弦定理与余弦定理》ppt课件(2)
解 由于
b c ， sin B sin C
所以
b
c sin B 6 sin 30 sin C sin135
6
1 2 3 2． 2 2
分析 这是已知三角形 的两个角和一边， 求其它边的问题， 可以直接应用正弦 定理．
巩固知识 典型例题
A 30，a 15 2，b 30， 求B． 例2 已知在△ABC中，
第一章
三角公式及应用
1.3 正弦定理与余弦定理
创设情境 兴趣导入
我们知道，在直角三角形ABC（如图）, sin A， sin B，
a c
b c
a b c， c． 即 sin A sin B
由于C = 90°,所以sinC = 1，于是 c
B
c c． sin C a b c ． 所以 sin A sin B sin C
由b＞a，知B＞A，故30°＜B＜180°， 所以B = 45°或B = 135°．
巩固知识 典型例题
A 45，a 30，b 15 2， 求Байду номын сангаас． 例3 已知在△ABC中，
解
b sin A 15 2 sin 45 1 sin B ， a 30 注意 2
已知三角形的两边 和其中一边的对角， 由b＜a，知B ＜ A，故0°＜B＜ 45°， 利用正弦定理求另一 边的对角时，要讨论 所以 B = 30°． 这个角的取值范围， 避免发生错误．
分析 这是已知三角形的 两边和一边的对角， 求其它角边的问题， 可以首先直接应用正 弦定理求出角的正弦 值，然后再求出角．
巩固知识 典型例题
A 30，a 15 2，b 30， 求B． 例2 已知在△ABC中，
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
正弦定理是三角形中一个基本的数学定理，用于描述三角形各边与其对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
感谢观看
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
感谢观看
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所以
a b． sin A sin B
即 a b c．
C
ba
j
sin A sin B sin C
Ac B x
当三角形为锐角三角形时，同样可以得到这个结论.于是得到
动 正弦定理：
脑 思 考
在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等.
即
a b c． sin A sin B sin C
A
b sin
B
c sin C
．
动 脑
当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图所示，以A为原
uuur uur uuur
点，以射线AB的方向为x轴正方向，建uuur立直角坐uur标系uuur，则
BC uur
BA
AC， uuur
思 两边取与单u位uur向量j的数量积，得uuur
j
•
BC
强
化
练 习
B 35.
动
uuur uuur uur 如图所示，在△ABC中，BC AC AB ，所以
脑
uuur uuur uuur uur uuur uur BC • BC （AC AB）•（AC AB)
思
uuur 2 uur 2 uuur uuur
B
考
AC AB 2AC • AB
uuur
j
•（BA+BC）=j
•
BA
j
•
BC．
考
由于< j，BC 90 B，j BA，< j，AC A 90，
探
设与角A，B，C相对应的边长分别为a，b，c，故
acos(90 B) 0 bcos(A 90)，
y
索
即 asin B bsin A，
新 知
型
49,
例
所以 a 7．
题
例5 在 ABC 中，a=6，b=7，c=10，求ABC中的最大角
巩 和最小角（精确到1）.
固
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，
知
分析
识 由公式（1.9），有
三角形
典
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
6 sin 30
6
1 2
3
2．
例
sin C sin135
2
2
题
巩
固
例2 已知在ABC 中，A 30，a 15 2，b 30，求B．
知 识
解 由于 a b ，
sin A sin B
典
所以sin
B
b sin
A
30 sin
30
30
1 2
2．
型
a
15 2 15 2 2
强
化
练
B 35.
习
理
正弦定理、余弦定理的内容：
论
正弦定理：
升 华
a b c； sin A sin B sin C
整 体 建
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A；
构
b2 a2 c2 2ac cos B；
2ab
267
中大边对大 角，小边对
型 所以
C 100,
小角．
例 题
cos A b2 c2 a2 72 102 62 0.8071，
2bc
2 7 10
所以
A 36．
1．在△ABC中，B= 150，a=3 3，c=2，求b.
运
用
b 7.
知
识
2. 在△ABC中，三边之比a :b : c 3:5: 7，求三角形最大内角.
(2) 已知三角形的三边，求三个角.
例4 在 ABC 中，A 60，b 8，c 3，求a ．
巩
分析 这是已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边的
固
知 问题，可以直接应用余弦定理．
识
解 a2 b2 c2 2bc cos A
典
82 32 2 8 3 cos 60
第1章 角计算及其应用
1.3 正弦定理与余弦定理
创
我们知道，在直角三角形ABC(如图)中，
设
a sin A，b sin B，即
c
c
B
情
a c， b c，
境
sin A sin B
c
a
由于C 90,所以sinC 1，于是
兴 趣
c c． sin C
A
C
b
导 入
所以
a sin
知 理的特例．
公式（1.8）经变形后可以写成
动
b2 c2 a2
脑
cos A 2bc
思
a2 c2 b2 cos B
（1．9）
考
2ac
a2 b2 c2
cos C
探
2ab
索
利用余弦定理可以求解下列问题：
新
(1) 已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其他的
知
两个角 ；
余弦定理：
动
三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其
脑 夹角余弦乘积的两倍. 即
思
考
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
(1．8)
探
c2 a2 b2 2ab cos C
索
新
显然，当C 90时，有c2 a2 b2．这就是说，勾股定理是余弦定
uuur 2 uur 2 uuur uur
AC AB 2 AC AB cos A
探 索
b2 c2 2bc cos A．
C
新
即 a2 b2 c2 2bc cos A
A
知
同理可得 b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cosC
典
a
30
2 时，要讨论这个角
型 例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，的 发所取生以值错B 范误45.围或，B 避13免5．
题
运
1．已知ABC 中，A 45，B 30，b= 3 ，求C和a.
用
C 105, a 6.
知
识 2．已知ABC中，A 60，a =12，b=8，求B（精确到1）．
探
利用正弦定理可以求解下列问题：
索 新
（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.
知
（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边.
巩
固
知
例1 已知在ABC 中，B 30，C 135，c 6，求b．
识
解 由于 b c ，
sin B sin C
典 型
所以
b
c sin B
例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，所以B 45或B 135．
题
巩
固
已知三角形的
知
例3 已知在ABC中，A 45，a 30，b 1两5 边2，和求其B．中一边的
识
对角，利用正弦定
解 sin B bsin A 15 2 sin 45 1．理求另一边的对角