【优质课件】高教版中职数学拓展模块1.3正弦定理与余弦定理1优秀课件.ppt
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
uuur 2 uur 2 uuur uur
AC AB 2 AC AB cos A
探 索
b2 c2 2bc cos A．
C
新
即 a2 b2 c2 2bc cos A
A
知
同理可得 b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cosC
探
利用正弦定理可以求解下列问题：
索 新
（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.
知
（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边.
巩
固
知
例1 已知在ABC 中，B 30，C 135，c 6，求b．
识
解 由于 b c ，
sin B sin C
典 型
所以
b
c sin B
强
化
练 习
B 35.
动
uuur uuur uur 如图所示，在△ABC中，BC AC AB ，所以
脑
uuur uuur uuur uur uuur uur BC • BC （AC AB）•（AC AB)
思
uuur 2 uur 2 uuur uuur
B
考
AC AB 2AC • AB
余弦定理：
动
三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其
脑 夹角余弦乘积的两倍. 即
思
ຫໍສະໝຸດ Baidu
考
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
(1．8)
探
c2 a2 b2 2ab cos C
索
新
显然，当C 90时，有c2 a2 b2．这就是说，勾股定理是余弦定
典
a
30
2 时，要讨论这个角
型 例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，的 发所取生以值错B 范误45.围或，B 避13免5．
题
运
1．已知ABC 中，A 45，B 30，b= 3 ，求C和a.
用
C 105, a 6.
知
识 2．已知ABC中，A 60，a =12，b=8，求B（精确到1）．
uuur
j
•（BA+BC）=j
•
BA
j
•
BC．
考
由于< j，BC 90 B，j BA，< j，AC A 90，
探
设与角A，B，C相对应的边长分别为a，b，c，故
acos(90 B) 0 bcos(A 90)，
y
索
即 asin B bsin A，
新 知
强
化
练
B 35.
习
理
正弦定理、余弦定理的内容：
论
正弦定理：
升 华
a b c； sin A sin B sin C
整 体 建
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A；
构
b2 a2 c2 2ac cos B；
例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，所以B 45或B 135．
题
巩
固
已知三角形的
知
例3 已知在ABC中，A 45，a 30，b 1两5 边2，和求其B．中一边的
识
对角，利用正弦定
解 sin B bsin A 15 2 sin 45 1．理求另一边的对角
所以
a b． sin A sin B
即 a b c．
C
ba
j
sin A sin B sin C
Ac B x
当三角形为锐角三角形时，同样可以得到这个结论.于是得到
动 正弦定理：
脑 思 考
在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等.
即
a b c． sin A sin B sin C
第1章 三角计算及其应用
1.3 正弦定理与余弦定理
创
我们知道，在直角三角形ABC(如图)中，
设
a sin A，b sin B，即
c
c
B
情
a c， b c，
境
sin A sin B
c
a
由于C 90,所以sinC 1，于是
兴 趣
c c． sin C
A
C
b
导 入
所以
a sin
知 理的特例．
公式（1.8）经变形后可以写成
动
b2 c2 a2
脑
cos A 2bc
思
a2 c2 b2 cos B
（1．9）
考
2ac
a2 b2 c2
cos C
探
2ab
索
利用余弦定理可以求解下列问题：
新
(1) 已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其他的
知
两个角 ；
A
b sin
B
c sin C
．
动 脑
当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图所示，以A为原
uuur uur uuur
点，以射线AB的方向为x轴正方向，建uuur立直角坐uur标系uuur，则
BC uur
BA
AC， uuur
思 两边取与单u位uur向量j的数量积，得uuur
j
•
BC
(2) 已知三角形的三边，求三个角.
例4 在 ABC 中，A 60，b 8，c 3，求a ．
巩
分析 这是已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边的
固
知 问题，可以直接应用余弦定理．
识
解 a2 b2 c2 2bc cos A
典
82 32 2 8 3 cos 60
型
49,
例
所以 a 7．
题
例5 在 ABC 中，a=6，b=7，c=10，求ABC中的最大角
巩 和最小角（精确到1）.
固
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，
知
分析
识 由公式（1.9），有
三角形
典
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
中大边对大 角，小边对
型 所以
C 100,
小角．
例 题
cos A b2 c2 a2 72 102 62 0.8071，
2bc
2 7 10
所以
A 36．
1．在△ABC中，B= 150，a=3 3，c=2，求b.
运
用
b 7.
知
识
2. 在△ABC中，三边之比a :b : c 3:5: 7，求三角形最大内角.
6 sin 30
6
1 2
3
2．
例
sin C sin135
2
2
题
巩
固
例2 已知在ABC 中，A 30，a 15 2，b 30，求B．
知 识
解 由于 a b ，
sin A sin B
典
所以sin
B
b sin
A
30 sin
30
30
1 2
2．
型
a
15 2 15 2 2
AC AB 2 AC AB cos A
探 索
b2 c2 2bc cos A．
C
新
即 a2 b2 c2 2bc cos A
A
知
同理可得 b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cosC
探
利用正弦定理可以求解下列问题：
索 新
（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.
知
（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边.
巩
固
知
例1 已知在ABC 中，B 30，C 135，c 6，求b．
识
解 由于 b c ，
sin B sin C
典 型
所以
b
c sin B
强
化
练 习
B 35.
动
uuur uuur uur 如图所示，在△ABC中，BC AC AB ，所以
脑
uuur uuur uuur uur uuur uur BC • BC （AC AB）•（AC AB)
思
uuur 2 uur 2 uuur uuur
B
考
AC AB 2AC • AB
余弦定理：
动
三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其
脑 夹角余弦乘积的两倍. 即
思
ຫໍສະໝຸດ Baidu
考
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
(1．8)
探
c2 a2 b2 2ab cos C
索
新
显然，当C 90时，有c2 a2 b2．这就是说，勾股定理是余弦定
典
a
30
2 时，要讨论这个角
型 例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，的 发所取生以值错B 范误45.围或，B 避13免5．
题
运
1．已知ABC 中，A 45，B 30，b= 3 ，求C和a.
用
C 105, a 6.
知
识 2．已知ABC中，A 60，a =12，b=8，求B（精确到1）．
uuur
j
•（BA+BC）=j
•
BA
j
•
BC．
考
由于< j，BC 90 B，j BA，< j，AC A 90，
探
设与角A，B，C相对应的边长分别为a，b，c，故
acos(90 B) 0 bcos(A 90)，
y
索
即 asin B bsin A，
新 知
强
化
练
B 35.
习
理
正弦定理、余弦定理的内容：
论
正弦定理：
升 华
a b c； sin A sin B sin C
整 体 建
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A；
构
b2 a2 c2 2ac cos B；
例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，所以B 45或B 135．
题
巩
固
已知三角形的
知
例3 已知在ABC中，A 45，a 30，b 1两5 边2，和求其B．中一边的
识
对角，利用正弦定
解 sin B bsin A 15 2 sin 45 1．理求另一边的对角
所以
a b． sin A sin B
即 a b c．
C
ba
j
sin A sin B sin C
Ac B x
当三角形为锐角三角形时，同样可以得到这个结论.于是得到
动 正弦定理：
脑 思 考
在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等.
即
a b c． sin A sin B sin C
第1章 三角计算及其应用
1.3 正弦定理与余弦定理
创
我们知道，在直角三角形ABC(如图)中，
设
a sin A，b sin B，即
c
c
B
情
a c， b c，
境
sin A sin B
c
a
由于C 90,所以sinC 1，于是
兴 趣
c c． sin C
A
C
b
导 入
所以
a sin
知 理的特例．
公式（1.8）经变形后可以写成
动
b2 c2 a2
脑
cos A 2bc
思
a2 c2 b2 cos B
（1．9）
考
2ac
a2 b2 c2
cos C
探
2ab
索
利用余弦定理可以求解下列问题：
新
(1) 已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其他的
知
两个角 ；
A
b sin
B
c sin C
．
动 脑
当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图所示，以A为原
uuur uur uuur
点，以射线AB的方向为x轴正方向，建uuur立直角坐uur标系uuur，则
BC uur
BA
AC， uuur
思 两边取与单u位uur向量j的数量积，得uuur
j
•
BC
(2) 已知三角形的三边，求三个角.
例4 在 ABC 中，A 60，b 8，c 3，求a ．
巩
分析 这是已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边的
固
知 问题，可以直接应用余弦定理．
识
解 a2 b2 c2 2bc cos A
典
82 32 2 8 3 cos 60
型
49,
例
所以 a 7．
题
例5 在 ABC 中，a=6，b=7，c=10，求ABC中的最大角
巩 和最小角（精确到1）.
固
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，
知
分析
识 由公式（1.9），有
三角形
典
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
中大边对大 角，小边对
型 所以
C 100,
小角．
例 题
cos A b2 c2 a2 72 102 62 0.8071，
2bc
2 7 10
所以
A 36．
1．在△ABC中，B= 150，a=3 3，c=2，求b.
运
用
b 7.
知
识
2. 在△ABC中，三边之比a :b : c 3:5: 7，求三角形最大内角.
6 sin 30
6
1 2
3
2．
例
sin C sin135
2
2
题
巩
固
例2 已知在ABC 中，A 30，a 15 2，b 30，求B．
知 识
解 由于 a b ，
sin A sin B
典
所以sin
B
b sin
A
30 sin
30
30
1 2
2．
型
a
15 2 15 2 2