晶体结构
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原则上，原胞可以有多种取法，只要是晶体的最小重复单元即可。但无论 如何选取 原胞均有相同的体积 每个原胞只含有 个格点 如何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞只含有一个格点。
二维点阵的基矢和原胞 维点阵的基矢和原胞 原胞: I, II, III, IV
原胞和基矢的选取都不是唯一的，但 一定有相同的面积。一般我们选I为代 表该点阵的原 表该点阵的原胞，称作斜方点阵。 称作斜 点阵
晶体结构I —— 固体物理导论
CsCl结构中的原子排列 ＝ 简立方点阵 ＋ CsCl
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体结构I —— 固体物理导论
原胞和基矢
由基矢 为三个棱边组成的平行六面体是晶格结构 的最小周期重复单元，它们平行、无交叠堆积在 起，形成 的最小周期重复单元，它们平行、无交叠堆积在一起，形成 整个晶体，这种最小重复单元叫做原胞 (Primitive cell)。 体积为
－
－
可知作为对称轴的基转角只能有 上述五种角度,其旋转轴的轴次只 限于1、2、3、4、6。
立方体中几个主要的晶面和晶向指数
可以看出，简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数和晶面法 线的晶向指数完全相同。 注：我们习惯使用晶胞a,b,c作单位来进行标注
晶体结构I —— 固体物理导论
1.2 晶体的对称性
对称性： 一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或 图形）是由两个或两个以上的部分组成，经过一定 的空间操作 线性变换 的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整 各 换 之 个物体（或图形）保持不变的性质。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。即： 操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。百度文库要有：旋 转 反演 平移 转、反演、平移。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作 点对称操作：在对称操作过程中至少有 点保持不动的操作。 有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
晶体结构I —— 固体物理导论
常见的布拉维格子
1. 简单立方（SC） 基矢 基矢：
a1 ai a2 aj j a3 ak k
= a3
原胞体积： 原胞体积
格点配位数6；原胞中只包含一个原子。 晶胞即原胞
每个原子周围的最近邻原子数
晶体结构I —— 固体物理导论
2. 面心立方（FCC）
多晶体 —— 由两个以上同种或异种单晶组成的结晶物 质。各单晶通过晶界结合在一起，没有单晶所特有的各 向异性特征。
布拉维 1811～1863） 布拉维（ 布拉伐 布拉菲
晶体结构I —— 固体物理导论
1.1 晶格（Lattice）
为了更好地观察、描述晶体内部原子排列的方式，我们把晶体中按周期 重复排列的那一部分原子（结构单元）抽象成一个几何点来表示，忽略 重复周期中所包含的具体结构单元内容而集中反映周期重复方式 这个 重复周期中所包含的具体结构单元内容而集中反映周期重复方式，这个 从晶体结构中抽象出来几何点的集合称之为晶体点阵。
第一章 晶体结构
Part P tI 1.1 晶格（Lattice） 1.2 晶体的对称性 1.3 典型的晶体结构 Part II 1.4 倒格子和布里渊区 1 5 晶体结构的实验研究（XRD） 1.5
晶体结构I —— 固体物理导论
作业HW1
Dated: 6th Sep., 2012
1.1 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度（%）：(1) 简单 立方；( (2) ) 体心立方；( (3) ) 面心立方；( (4) ) 六角密堆积；( (5) ) 金刚石结构。 1.2. 在立方晶胞中，画出(101)、(021)、(122)和(210)晶面（以阴影表示）。 1.3. .3. 画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在( (100), 00), (110) ( 0)和( (111) )面上 的原子点阵排列(格点分布)，并分别指出哪个面具有最大的面密度。 1.4. 指出立方晶格(111)面与(110)面、(111)面与(100)面的交线的晶向，画 出示意图。 1.5. 试证六方密堆结构中c/a=1.633。又：金属Na在273K因马氏体相变 从体心立方转变为六角密堆结构 假定相变时金属密度维持不变 已知 从体心立方转变为六角密堆结构，假定相变时金属密度维持不变，已知 立方相的晶格常数a＝0.423 nm，设六角密堆结构相的c/a维持理想值， 试求其晶格常数。 1.6. 证明不存在5度旋转对称轴。
晶体结构I —— 固体物理导论
另一标准选取法：Wigner-Seitz (WS)原胞
以格点为中心，取和近邻格点连 线垂直平分线（面）围成的面积 （体积）为原胞。这种选取方法 是唯一的 一种点阵对应一种形 是唯一的，一种点阵对应一种形 式的Wigner-Seitz原胞，与基矢的 选择无关。因此它与对应的布拉 维格子有完全相同的对称性，也 称为对称化原胞。
原胞体积：
= a3/2
格点配位数8；原胞中只包含一个原子 原胞中只包含 个原子 晶胞中原子数：2
WS原胞：截角八面体，八个面是正六边形，六个面是正四边形
晶体结构I —— 固体物理导论
4. 简单六角（SH: simple hexagonal）
基矢 基矢： a1 ai
WS原胞为六角棱柱，格点在 原胞为六角棱柱 格点在ij平面内配位数为6
立方体的顶点到 个 邻的面 引 个基矢 立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢
基矢：
a1 ( a / 2)( j k ) a2 ( a / 2)( k i ) a3 ( a / 2)(i j )
= a3/4
原胞体积：
格点配位数12；原胞中只包含一个原子 晶胞中原子数：4
晶体结构I —— 固体物理导论
下图标出了简立方点阵的几组最重要的晶面系的晶面指数和 晶向指数 从中可以明显看出晶面指数最简单的晶面族面间 晶向指数。从中可以明显看出晶面指数最简单的晶面族面间 晶面指数最简单的晶面族面间 距最大，原子的面密度必然大，它们是以后经常讨论到的最 距最大 重要的晶面，容易在晶体生长过程中显露，且容易解理 重要的晶面，容易在晶体生长过程中显露，且容易解理。
RA 3a1 a2 a3
晶向指数：[311]
晶体结构I —— 固体物理导论
晶向指数和坐标系的选取有关： OA的反方向为 由于立方晶格的对称性，沿立 方边的6个晶向是等价的。 记作： 同样，<111>代表了8个体对 角线的晶向。 1
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体的晶面 —— 在布拉维格子中作一簇平行的平面，这些相 互平行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
晶体结构I —— 固体物理导论
证明：
如图所示A1、A2为一列点阵上相邻的两格点， 其周期为a。现晶体允许有n次旋转轴通过格 点 因每个格点的性质相同 以a作半径转动 点，因每个格点的性质相同，以 角为 =2/n 将可得到另一格点。绕A1顺时 针将A2转到格点B1，而绕A2逆时针将A1转 到格点B2。B1和B2连线平行于A1、A2直线点 阵，且B1、B2间的距离必须为a的整数倍，设 为ma ， m为整数。则有：
数学
又称布拉维格子， 空间格子 简称为晶格
物理
是三个不共面的矢量 基矢 格矢 称为布拉维格子的基矢
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体点阵实例：简单立方布拉维格子
假定原子是球形的，在原子间相互作用力的作用下聚集成固体，用 刚性球体的堆积方式来说明：
有这种排列方式的元素晶体是钋Po P 很多化合物晶体的原子也有这种周期排列方式，例如：CsCl 等， 只是此时的基元不是 个原子 而是CsCl 只是此时的基元不是一个原子，而是 C Cl分子（复式格子）
晶体结构I —— 固体物理导论
考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋 转和反射）都是正交变换 数学上可以写作
其中Aij 为正交矩阵 正交矩阵 符合正交变换的是 绕固定轴的转动（绕z 轴旋转θ角） 反演（inversion）
晶体结构I —— 固体物理导论
反映（reflection）
Lattice + Basis = Crystal 晶体点阵 ＋ 基元 ＝ 晶体结构
布拉维格子特征： 是一个无限延展的点阵， 点阵上所有格点完全等价。 代表晶体最本征特征，即 晶体中原子的周期性排列， 或晶体的平移对称性 平移对称性。 可以看成是矢量所代表的 全部点的集合，n1,n2,n3取整数
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体——原子按一定的周期排列成规则的固体(长程有序)
规则外形，宏观对称性
凸多面体 晶面、晶棱、顶点 在不同生长条件下具有不同的外形
特定解理面 固定熔点 各向异性
如云母片的热导率各向异性
1848年Bravais i 提出用晶体点阵来表述晶体中 原子周期排列的方式，成为固体理论的基础。
WS原胞为菱形正十二面体
晶体结构I —— 固体物理导论
3. 体心立方（BCC）
由立方体的中心到三个顶点引三个基矢
基矢：
a1 ( a / 2)( i j k ) a2 ( a / 2)(i j k ) a3 ( a / 2)(i j k )
恒等操作 即不动
如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个 变换为物体的 个对称操作。 个物体可能的对称操作越多， 变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多， 它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对 称操作。 表示对称操作的符号有两种： 国际符号，熊夫利符号 晶体中允许的对称操作 定理：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2，3，4和6重轴 说明：若一个物体绕某一个转轴转2/n以及它的倍数，物体 保持不变时，便称作n重旋转轴，记做n。
这些相互平行且等距的平面称为晶体 的晶面
晶面指数的 般确定方法 晶面指数的一般确定方法：
1. 在一组相互平行的晶面中任选一个晶面， 量出它在三个坐标轴上的截距并用点阵周期 a,b,c b 为单位来量度； 为单位来量度 2. 写出三个截距的倒数，和一个坐标轴平行、 截距为∞时，倒数记做零； 3 将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数， 3. 将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数 把它们化为三个简单整数，并用圆括号括起， 即为该组平面系的晶面指数。
它的取法是唯一的
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体结构I —— 固体物理导论
晶胞（别称：结晶学原胞；单胞）
能直观反映晶体对称性的晶格重复单元，称为晶胞。 晶胞参数：三个边长和三个边的夹角 晶胞选取方法： 1. 尽可能选取高次对称轴为晶轴方向。 2. 晶胞的外形尽可能反映点阵的对称性。 3 独立的晶胞参量最少，并尽可能使晶轴夹角为直角。 3. 独立的晶胞参量最少 并尽可能使晶轴夹角为直角 4. 在满足上述原则的前提下尽可能选用原胞作晶胞。 晶胞体积一般是原胞体积的整数倍。
3a a a2 i j 2 2 a3 ck
晶体结构I —— 固体物理导论
晶向、晶面和它们的标志
晶体的一个基本特点是各向异性，沿晶格的不同方向晶体的 性质不同，因此有必要识别和标志晶格中的不同方向。 点阵的格点可以分列在一系列平行的 直线系上，这些直线系称作晶列。同 一点阵可以形成不同的晶列，每一个 晶列定义一个方向，称作晶向。如果 从 个阵点到最近 个阵点的位移矢 从一个阵点到最近一个阵点的位移矢 量为：(以基矢为单位）l a 1 1 l2 a2 l 3a3 则晶向就用[l1,l2,l3]来表示。
在惯用晶胞的基矢abc坐标轴中，晶面指数也叫密勒（Miller）指数 故密勒指数与晶面指数不 定相同 故密勒指数与晶面指数不一定相同
晶体结构I —— 固体物理导论
晶面指数简易求法 在一平面族中，取一个不过原点的平面，它在三个 坐标轴上的截距分别为x1、x2和x3 取它们的倒数之比
其中h、k、l为互质整数，则定义 该晶面的面指数为（hkl） 等效晶面（花括号）：{hkl} {100}＝（100）+（010）+（001）
二维点阵的基矢和原胞 维点阵的基矢和原胞 原胞: I, II, III, IV
原胞和基矢的选取都不是唯一的，但 一定有相同的面积。一般我们选I为代 表该点阵的原 表该点阵的原胞，称作斜方点阵。 称作斜 点阵
晶体结构I —— 固体物理导论
CsCl结构中的原子排列 ＝ 简立方点阵 ＋ CsCl
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体结构I —— 固体物理导论
原胞和基矢
由基矢 为三个棱边组成的平行六面体是晶格结构 的最小周期重复单元，它们平行、无交叠堆积在 起，形成 的最小周期重复单元，它们平行、无交叠堆积在一起，形成 整个晶体，这种最小重复单元叫做原胞 (Primitive cell)。 体积为
－
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可知作为对称轴的基转角只能有 上述五种角度,其旋转轴的轴次只 限于1、2、3、4、6。
立方体中几个主要的晶面和晶向指数
可以看出，简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数和晶面法 线的晶向指数完全相同。 注：我们习惯使用晶胞a,b,c作单位来进行标注
晶体结构I —— 固体物理导论
1.2 晶体的对称性
对称性： 一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或 图形）是由两个或两个以上的部分组成，经过一定 的空间操作 线性变换 的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整 各 换 之 个物体（或图形）保持不变的性质。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。即： 操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。百度文库要有：旋 转 反演 平移 转、反演、平移。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作 点对称操作：在对称操作过程中至少有 点保持不动的操作。 有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
晶体结构I —— 固体物理导论
常见的布拉维格子
1. 简单立方（SC） 基矢 基矢：
a1 ai a2 aj j a3 ak k
= a3
原胞体积： 原胞体积
格点配位数6；原胞中只包含一个原子。 晶胞即原胞
每个原子周围的最近邻原子数
晶体结构I —— 固体物理导论
2. 面心立方（FCC）
多晶体 —— 由两个以上同种或异种单晶组成的结晶物 质。各单晶通过晶界结合在一起，没有单晶所特有的各 向异性特征。
布拉维 1811～1863） 布拉维（ 布拉伐 布拉菲
晶体结构I —— 固体物理导论
1.1 晶格（Lattice）
为了更好地观察、描述晶体内部原子排列的方式，我们把晶体中按周期 重复排列的那一部分原子（结构单元）抽象成一个几何点来表示，忽略 重复周期中所包含的具体结构单元内容而集中反映周期重复方式 这个 重复周期中所包含的具体结构单元内容而集中反映周期重复方式，这个 从晶体结构中抽象出来几何点的集合称之为晶体点阵。
第一章 晶体结构
Part P tI 1.1 晶格（Lattice） 1.2 晶体的对称性 1.3 典型的晶体结构 Part II 1.4 倒格子和布里渊区 1 5 晶体结构的实验研究（XRD） 1.5
晶体结构I —— 固体物理导论
作业HW1
Dated: 6th Sep., 2012
1.1 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度（%）：(1) 简单 立方；( (2) ) 体心立方；( (3) ) 面心立方；( (4) ) 六角密堆积；( (5) ) 金刚石结构。 1.2. 在立方晶胞中，画出(101)、(021)、(122)和(210)晶面（以阴影表示）。 1.3. .3. 画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在( (100), 00), (110) ( 0)和( (111) )面上 的原子点阵排列(格点分布)，并分别指出哪个面具有最大的面密度。 1.4. 指出立方晶格(111)面与(110)面、(111)面与(100)面的交线的晶向，画 出示意图。 1.5. 试证六方密堆结构中c/a=1.633。又：金属Na在273K因马氏体相变 从体心立方转变为六角密堆结构 假定相变时金属密度维持不变 已知 从体心立方转变为六角密堆结构，假定相变时金属密度维持不变，已知 立方相的晶格常数a＝0.423 nm，设六角密堆结构相的c/a维持理想值， 试求其晶格常数。 1.6. 证明不存在5度旋转对称轴。
晶体结构I —— 固体物理导论
另一标准选取法：Wigner-Seitz (WS)原胞
以格点为中心，取和近邻格点连 线垂直平分线（面）围成的面积 （体积）为原胞。这种选取方法 是唯一的 一种点阵对应一种形 是唯一的，一种点阵对应一种形 式的Wigner-Seitz原胞，与基矢的 选择无关。因此它与对应的布拉 维格子有完全相同的对称性，也 称为对称化原胞。
原胞体积：
= a3/2
格点配位数8；原胞中只包含一个原子 原胞中只包含 个原子 晶胞中原子数：2
WS原胞：截角八面体，八个面是正六边形，六个面是正四边形
晶体结构I —— 固体物理导论
4. 简单六角（SH: simple hexagonal）
基矢 基矢： a1 ai
WS原胞为六角棱柱，格点在 原胞为六角棱柱 格点在ij平面内配位数为6
立方体的顶点到 个 邻的面 引 个基矢 立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢
基矢：
a1 ( a / 2)( j k ) a2 ( a / 2)( k i ) a3 ( a / 2)(i j )
= a3/4
原胞体积：
格点配位数12；原胞中只包含一个原子 晶胞中原子数：4
晶体结构I —— 固体物理导论
下图标出了简立方点阵的几组最重要的晶面系的晶面指数和 晶向指数 从中可以明显看出晶面指数最简单的晶面族面间 晶向指数。从中可以明显看出晶面指数最简单的晶面族面间 晶面指数最简单的晶面族面间 距最大，原子的面密度必然大，它们是以后经常讨论到的最 距最大 重要的晶面，容易在晶体生长过程中显露，且容易解理 重要的晶面，容易在晶体生长过程中显露，且容易解理。
RA 3a1 a2 a3
晶向指数：[311]
晶体结构I —— 固体物理导论
晶向指数和坐标系的选取有关： OA的反方向为 由于立方晶格的对称性，沿立 方边的6个晶向是等价的。 记作： 同样，<111>代表了8个体对 角线的晶向。 1
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体的晶面 —— 在布拉维格子中作一簇平行的平面，这些相 互平行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
晶体结构I —— 固体物理导论
证明：
如图所示A1、A2为一列点阵上相邻的两格点， 其周期为a。现晶体允许有n次旋转轴通过格 点 因每个格点的性质相同 以a作半径转动 点，因每个格点的性质相同，以 角为 =2/n 将可得到另一格点。绕A1顺时 针将A2转到格点B1，而绕A2逆时针将A1转 到格点B2。B1和B2连线平行于A1、A2直线点 阵，且B1、B2间的距离必须为a的整数倍，设 为ma ， m为整数。则有：
数学
又称布拉维格子， 空间格子 简称为晶格
物理
是三个不共面的矢量 基矢 格矢 称为布拉维格子的基矢
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体点阵实例：简单立方布拉维格子
假定原子是球形的，在原子间相互作用力的作用下聚集成固体，用 刚性球体的堆积方式来说明：
有这种排列方式的元素晶体是钋Po P 很多化合物晶体的原子也有这种周期排列方式，例如：CsCl 等， 只是此时的基元不是 个原子 而是CsCl 只是此时的基元不是一个原子，而是 C Cl分子（复式格子）
晶体结构I —— 固体物理导论
考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋 转和反射）都是正交变换 数学上可以写作
其中Aij 为正交矩阵 正交矩阵 符合正交变换的是 绕固定轴的转动（绕z 轴旋转θ角） 反演（inversion）
晶体结构I —— 固体物理导论
反映（reflection）
Lattice + Basis = Crystal 晶体点阵 ＋ 基元 ＝ 晶体结构
布拉维格子特征： 是一个无限延展的点阵， 点阵上所有格点完全等价。 代表晶体最本征特征，即 晶体中原子的周期性排列， 或晶体的平移对称性 平移对称性。 可以看成是矢量所代表的 全部点的集合，n1,n2,n3取整数
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体——原子按一定的周期排列成规则的固体(长程有序)
规则外形，宏观对称性
凸多面体 晶面、晶棱、顶点 在不同生长条件下具有不同的外形
特定解理面 固定熔点 各向异性
如云母片的热导率各向异性
1848年Bravais i 提出用晶体点阵来表述晶体中 原子周期排列的方式，成为固体理论的基础。
WS原胞为菱形正十二面体
晶体结构I —— 固体物理导论
3. 体心立方（BCC）
由立方体的中心到三个顶点引三个基矢
基矢：
a1 ( a / 2)( i j k ) a2 ( a / 2)(i j k ) a3 ( a / 2)(i j k )
恒等操作 即不动
如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个 变换为物体的 个对称操作。 个物体可能的对称操作越多， 变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多， 它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对 称操作。 表示对称操作的符号有两种： 国际符号，熊夫利符号 晶体中允许的对称操作 定理：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2，3，4和6重轴 说明：若一个物体绕某一个转轴转2/n以及它的倍数，物体 保持不变时，便称作n重旋转轴，记做n。
这些相互平行且等距的平面称为晶体 的晶面
晶面指数的 般确定方法 晶面指数的一般确定方法：
1. 在一组相互平行的晶面中任选一个晶面， 量出它在三个坐标轴上的截距并用点阵周期 a,b,c b 为单位来量度； 为单位来量度 2. 写出三个截距的倒数，和一个坐标轴平行、 截距为∞时，倒数记做零； 3 将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数， 3. 将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数 把它们化为三个简单整数，并用圆括号括起， 即为该组平面系的晶面指数。
它的取法是唯一的
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体结构I —— 固体物理导论
晶胞（别称：结晶学原胞；单胞）
能直观反映晶体对称性的晶格重复单元，称为晶胞。 晶胞参数：三个边长和三个边的夹角 晶胞选取方法： 1. 尽可能选取高次对称轴为晶轴方向。 2. 晶胞的外形尽可能反映点阵的对称性。 3 独立的晶胞参量最少，并尽可能使晶轴夹角为直角。 3. 独立的晶胞参量最少 并尽可能使晶轴夹角为直角 4. 在满足上述原则的前提下尽可能选用原胞作晶胞。 晶胞体积一般是原胞体积的整数倍。
3a a a2 i j 2 2 a3 ck
晶体结构I —— 固体物理导论
晶向、晶面和它们的标志
晶体的一个基本特点是各向异性，沿晶格的不同方向晶体的 性质不同，因此有必要识别和标志晶格中的不同方向。 点阵的格点可以分列在一系列平行的 直线系上，这些直线系称作晶列。同 一点阵可以形成不同的晶列，每一个 晶列定义一个方向，称作晶向。如果 从 个阵点到最近 个阵点的位移矢 从一个阵点到最近一个阵点的位移矢 量为：(以基矢为单位）l a 1 1 l2 a2 l 3a3 则晶向就用[l1,l2,l3]来表示。
在惯用晶胞的基矢abc坐标轴中，晶面指数也叫密勒（Miller）指数 故密勒指数与晶面指数不 定相同 故密勒指数与晶面指数不一定相同
晶体结构I —— 固体物理导论
晶面指数简易求法 在一平面族中，取一个不过原点的平面，它在三个 坐标轴上的截距分别为x1、x2和x3 取它们的倒数之比
其中h、k、l为互质整数，则定义 该晶面的面指数为（hkl） 等效晶面（花括号）：{hkl} {100}＝（100）+（010）+（001）