材料力学-动载荷

一、等加速度运动构件的应力和变形计算
（一）等加速度直线运动构件的应力和变形
例如：有一绳索提升重量为 G 的重物，重物以等加速
度 a 上升（图14-1），因为加速度 a 向上，所以惯性力 G a g
的方向向下，设绳索的拉力（轴力）为 ND ，由平衡条件
Y
0
，得：N D
G
G g
a
0
即：
ND
G 1
a g
C
构件受冲击时的应力为和变形为：
DD
K D C K D C
14
8
如果知道在冲击开始时冲击物自由落体的速度 ，则式
（14-7）中冲击物自由下落前的高度
H
可用
2 g C
来代替，即
KD 1
1 2 14 9
g C
（二）水平冲击时的动荷系数
冲击物的动能为：
T 1 m 2 Q 2
Wl 2 2
3 gEA
二、杆件受到冲击荷载作用时的应力和变形计算
在工程实用计算中，一般采用能量法进行计算。在计算 中采取以下几个假设：
① 不考虑冲击物的变形，即不考虑冲击物的变形能； ② 不考虑被冲击物（杆件）的质量； ③ 认为在冲击后冲击物和被冲击物附着在一起运动； ④ 不考虑冲击时能量的损失，即认为只有动能与位能的转化。
当
x=l
时，
N Dmax
W 2l
2g
, Dmax
N Dmax A
W 2l
2 gA
内力图
（2）计算杆件的伸长
NDx
W
gl
2
lx
x2 2
dx 段的伸长为：
dx
N D xdx
EA
W2
glEA
lx
x2 2
dx
杆件的伸长为：
lD
0l dx
W2
glEA
0l
lx
x2 2
dx
下落冲击。现将刚度 所示。试求：
k
3EI l3
的弹簧放置成图（a）、（b）
①
两种情况的最大正应力之比
K
D
② 最大位移之比。
2H
C
例2图
解：（一）图a为超静定问题
1 2
PD
D
b
构件在动荷载作用下，材料应服从虎克定律
PD Q C （常数） D C
即：
PD
D C
Q
c
式（c）中：PD ——动荷载；Q ——静荷载； D ——动位移；C ——静位移。
UD
1 2
PD
D
b
将式（c）代入式（b）后得：
UD
Q
2 C
2 D
d
T QH D a
（1）计算杆内最大应力； （2）计算杆件的伸长。
解：（1）计算杆内最大应力
例1图
a. 离 A 端为 x 处取一微段， 该微段的惯性力为：
dPD
x
Байду номын сангаас
dm
an
W gl
dx
l
x
2
取脱离体图（见图），x 处的内力为：
N
D
x
0x
dPD
x
0x
W gl
l
x
2dx
ND
x
W2
gl
lx
x2 2
脱离体图
b. 绘内力图。确定内力最大的截面，并计算最大应力。
lD KDlC 14 2
（二）构件作等速转动时的应力计算
R 图14-2a
图14-2a表示一匀质的等截面 薄壁圆环，绕通过环中心且垂直 于圆环平面的轴以等角速度 旋 转。圆环的平均半径为 R，横截 面面积为 A ，材料的容重为 。
圆环内各点的向心加速度为：
an R 2
dPD
圆环上任取一微段ds Rd（图b）， 该微段的质量为：
材料力学
动荷载
前面章节中讨论的构件，都是在静止状态下承受荷载作 用的构件。所谓静荷载，是指荷载由零逐渐增长至最终值， 以后就保持不变或变动不明显的荷载。
如果构件本身处于加速度运动状态或静止的构件承受处 于运动状态的物体作用时，那么构件受到的荷载就是动荷载。
本章主要研究构件作等加速运动时，或受到作等加速运 动的物体作用时的应力和变形计算、构件受到冲击荷载作用 时的应力和变形计算。
UD
Q
2 C
2 D
d
将式（a）和式（d）代入式（14-6）T=UD 得：
Q
H
D
Q
2 C
2 D
化简后得：
2 D
2C D
2HC
0
e
由式（e）可解得： D C 1
1
2H
C
K DC
式中： KD 1
1 2H 14 7
C
称为冲击时的动荷系数。
KD 1
1 2H 14 7
dm A ds AR d
g
g
该微段的离心惯性力为：
图14-2b
dPD
dm an
AR g
d
R 2
A
g
R2 2d
用截面法切出半个圆环（图b），其截面上的内力为：
2ND
0
dPD
sin
0
A
g
R2 2 sin d
A g
R2
2
cos
0
2 A
g
R2
2
N
D
A R2 2 A 2 R
g
g
圆环内的正应力为：
D
ND A
2 14
g
3
强度条件为：
D
g
2
14
4
从强度条件可知，若要旋转圆环不能因强度不足而破坏， 则应限制圆环的速度。从式（14-4）可得到容许的最大线速 度为：
g 14 5
例1 一根杆以等角速度绕铅直轴在水平面内转动，已知 杆长 l ，杆的横截面面积为 A ，重量为 W 。
g C
在不同冲击的情况下，动荷载、动应力、动变形分别可 由相应的静荷载、静应力、静变形乘以一个动荷系数而得到：
动荷载 动应力 动变形
PD KDQ
D KD C D KDC
其中动系数 KD 由不同的冲击而定，KD 中的 C 是冲击 点沿冲击力方向的静位移。
例2 刚度为 EI 的梁受重为 Q 的重物从高度 H 处自由
图14-1
绳索中的动应力为： D
ND A
G A
1
a g
C
1
a g
式中， C
G A
是静力平衡时绳中的静应力，引进系数
KD
1
a g
则： D K D C 14 1
式（14-1）中，KD 称为动荷系数。说明绳中的动应力 D 等于静应力 C 乘以动荷系数 KD 。同理，绳中的动伸长可 表示为：
2
2g
被冲击构件的变形能为：
UD
1 2
PD D
Q
2 D
2 C
图14-4
根据 T=UD 得：
Q 2
Q
2 D
2g 2C
解出
D C
2 g C
K DC
动荷系数： KD
2 g C
14 10
g C
（三）起吊重物时的冲击（推导略）
动荷系数： K D 1
2 14 11
根据能量守恒，冲击物的全部动能完全转变为弹性体 （构件）的变形能，即
T UD 14 6
（一）冲击物为自由落体
设一重物 Q 从高度H处 自由落下（图14-3a）。冲击 物的动能 T 可由它减少的位 能来表示，即
T Q H D a
图14-3
杆件的变形能为（图b）：
UD