一定积分计算的基本公式

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定积分计算公式大全

定积分计算公式大全一、定积分的基本公式。

1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus）- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，即F^′(x) = f(x)，那么∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)。

- 例如：计算∫_1^2x^2dx，因为F(x)=(1)/(3)x^3是f(x) = x^2的一个原函数，所以∫_1^2x^2dx=(1)/(3)x^3big_1^2=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。

2. 定积分的线性性质。

- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。

- 例如：计算∫_0^1(2x + 3x^2)dx，根据线性性质∫_0^1(2x+3x^2)dx =2∫_0^1xdx+3∫_0^1x^2dx。

- 因为∫_0^1xdx=(1)/(2)x^2big_0^1=(1)/(2)，∫_0^1x^2dx=(1)/(3)x^3big_0^1=(1)/(3)，所以∫_0^1(2x + 3x^2)dx=2×(1)/(2)+3×(1)/(3)=1 + 1=2。

二、定积分的换元积分法。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x = φ(t)满足条件：1. φ(α)=a,φ(β)=b；2. φ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域R_φ⊆[a,b]，则∫_a^bf(x)dx=∫_α^βf[φ(t)]φ^′(t)dt。

例如：计算∫_0^4(dx)/(1 + √(x))。

令t=√(x)，则x = t^2，dx = 2tdt。

当x = 0时，t = 0；当x = 4时，t=2。

所以∫_0^4(dx)/(1+√(x))=∫_0^2(2t)/(1 + t)dt=2∫_0^2(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫_0^2(1-(1)/(1 + t))dt=2<=ft[t-ln(1 + t)]big_0^2=2(2-ln3)三、定积分的分部积分法。

定积分计算法则

定积分计算法则一、定积分的基本概念1. 定积分的定义- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有界。

- 在[a,b]中任意插入n - 1个分点a=x_0< x_1< x_2<·s< x_{n - 1}< x_n = b，把区间[a,b]分成n个小区间[x_{i - 1},x_i]，i = 1,2,·s,n。

- 记Δ x_i=x_i - x_{i - 1}，λ=max{Δ x_1,Δ x_2,·s,Δ x_n}。

- 在每个小区间[x_{i - 1},x_i]上任取一点ξ_i∈[x_{i - 1},x_i]，作和式∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。

- 如果当λ→0时，上述和式的极限存在（这个极限值与[a,b]的分法及ξ_i的取法均无关），则称函数y = f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_{a}^bf(x)dx，即∫_{a}^bf(x)dx=limlimits_{λ→0}∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。

其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。

2. 定积分的几何意义- 当f(x)≥slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

- 当f(x)≤slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的负值。

- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积。

二、定积分的基本性质（假设以下性质中的函数在相应区间上可积）1. 线性性质- ∫_{a}^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_{a}^bf(x)dx + k_2∫_{a}^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。

《高等数学》第二节定积分基本公式

例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数，而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2

定积分基本计算定律-定积分的计算定律

2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t

积分的计算公式

积分的计算公式积分是微积分中的重要概念，它可以用来计算曲线下的面积、求解定积分等问题。

积分的计算公式是积分学习的基础，本文将介绍一些常见的积分计算公式及其应用。

一、不定积分公式1. 常数函数积分：对于常数函数f(x)=C，其中C为常数，其不定积分为∫f(x)dx=Cx + C1，其中C1为常数。

2. 幂函数积分：对于幂函数f(x)=x^n，其中n≠-1，其不定积分为∫x^n dx= (x^(n+1))/(n+1) + C2，其中C2为常数。

3. 正弦函数积分：对于正弦函数f(x)=sin(x)，其不定积分为∫sin(x) dx= -cos(x) + C3，其中C3为常数。

4. 余弦函数积分：对于余弦函数f(x)=cos(x)，其不定积分为∫cos(x) dx= sin(x) + C4，其中C4为常数。

5. 指数函数积分：对于指数函数f(x)=e^x，其不定积分为∫e^x dx= e^x + C5，其中C5为常数。

二、定积分公式定积分是积分的一种特殊形式，其计算结果表示曲线下的面积。

下面介绍几个常见的定积分计算公式。

1. 基本定积分：∫k dx=kx + C6，其中k为常数。

2. 幂函数定积分：对于幂函数f(x)=x^n，其中n≠-1，其定积分为∫[a,b] x^n dx= [(b^(n+1))/(n+1)] - [(a^(n+1))/(n+1)]，其中a、b为积分区间的上下限。

3. 正弦函数定积分：对于正弦函数f(x)=sin(x)，其定积分为∫[a,b] sin(x) dx= -cos(x)∣[a,b] = -cos(b) + cos(a)，其中a、b为积分区间的上下限。

4. 余弦函数定积分：对于余弦函数f(x)=cos(x)，其定积分为∫[a,b] cos(x) dx= sin(x)∣[a,b] = sin(b) - sin(a)，其中a、b为积分区间的上下限。

5. 指数函数定积分：对于指数函数f(x)=e^x，其定积分为∫[a,b] e^x dx= e^x∣[a,b] = e^b - e^a，其中a、b为积分区间的上下限。

定积分公式大全24个

定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。

定积分基本计算公式-定积分的计算公式

x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
.
二定积分的换元公式定理假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
.
定理１如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
.
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，

定积分计算公式和性质

第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图5-10从几何上看，也很显然。

因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。

因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图 5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。

为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。

它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。

它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。

例1 计算因为是的一个原函数所以例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解这个图形的面积为图5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数)性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。

定积分及其计算方法

定积分及其计算方法定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的面积的度量。

在应用中，定积分可以用于计算曲线下的面积、求解弧长、计算质量、求解物体的体积等等。

定积分的计算方法主要有三种：基本定理、换元法和分部积分法。

基本定理：如果一个函数在闭区间上连续，那么函数的一个原函数是连续的。

也就是说，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的一个原函数F(x)，则有∫[a,b]f(x)dx=F(x)，[a,b]=F(b)-F(a)。

所以如果一个函数的原函数已知，那么定积分就可以通过原函数的值的计算来求解。

换元法：当被积函数的表达式比较复杂时，可以通过引入新的变量进行变换，使得积分变得更加简单。

这种方法被称为换元法。

换元法的思想是通过变量的替换，将原来的函数进行改写，以便更好地进行积分计算。

设新的变量为u=g(x)，则差分dx=g'(x)du。

原式∫f(x)dx可以变成∫f(g(u))g'(u)du。

如果新的变量u是原函数的一个简化形式，则积分会变得更加简单。

分部积分法：分部积分法是求解不定积分时的一个重要方法，也可以用于计算定积分。

它是利用求导和反求导的性质，将复杂的积分转化为简单的积分。

分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u'(x)dx。

分部积分法的思想就是将积分中的一个函数进行求导，同时将另一个函数进行反求导，以便将原积分转化为一个更加简单的积分。

除了上述三种方法外，还有一些其他的技巧和方法，如部分分式法、三角换元法、积分表等等。

这些方法都是根据具体的问题和函数的性质来选择的。

在实际应用中，定积分的计算方法还包括数值积分和多种积分公式。

数值积分是将函数的积分问题转化为数值计算问题，通过数值方法来近似求解积分值。

常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。

总之，定积分是微积分中的重要概念，可以用于计算函数在给定区间上的面积、求解曲线长度、计算质量、求解体积等等。

定积分的计算

定积分的计算定积分是微积分中的一个重要概念，用来计算曲线与x轴之间的面积或曲线的弧长等问题。

本文将介绍定积分的概念、性质和计算方法。

一、定积分的概念定积分是一种数学运算，用来计算曲线与x轴之间的面积。

它的定义是在一个区间上划分出无穷多个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和，然后取极限。

用符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示微元长度。

二、定积分的性质1. 定积分具有可加性，即∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

2. 定积分的区间可加性，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。

3. 定积分的值与被积函数的符号无关，即∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。

4. 定积分的值与积分区间的长度无关，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[ka,kb]f(x)dx，其中k为任意非零常数。

三、定积分的计算方法计算定积分的方法有很多种，以下是一些常用的方法：1. 几何方法：对于一些简单的几何图形，我们可以利用几何的知识来求解。

例如，对于一个矩形的面积，可以直接计算长度乘以宽度。

2. 切割方法：将区间切割成无穷多个小区间，并计算每个小区间上的面积之和。

当小区间趋近于无穷小时，这个和就是定积分的值。

这种方法也被称为黎曼和的定义。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：若函数G(x)是f(x)的一个原函数，则定积分可以通过G(b) - G(a)来计算，其中a、b是积分区间的端点。

4. 变量代换法：对于一些复杂的函数，可以通过变量代换来简化问题。

例如，对于∫(x^2 + 1)dx，我们可以令u = x^2 + 1，然后计算∫udu，最后再带回原来的变量。

5. 分部积分法：对于一些产品的积分，可以利用分部积分公式来求解。

该公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。

一定积分计算基本公式-PPT精品文档

0
b ( x )

0
0
b (x)
f(t) dt
a (x )
f(t) dt ,
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
Yunnan University
§4. 定积分的计算
例1
e 求 lim cos x
b( x )
F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数 F ( x )为
d b(x) (x F ) f( t) d t f b ( x ) b ( xf ) a ( x ) a ( x ) a ( x ) d x

证:
F ( x ) f ( t ) dt a ( x ) 0
x 0
1
t 2 2
dt
0 分析：这是型不定式，应用洛必达法则. 0 x d cos d 1 t2 t 解 e dt , e dt 1 dx dx cosx
2
x
.
e
1
2 cos x
sin x e (cos x )
2 cos x
,
e cosx lim
0 x
x
F ( x ) 0 ( x 0 ).
故 F ( x ) 在(0, )内为单调增加函数.
Yunnan University
§4. 定积分的计算
例3
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明
2 x 0 f ( t )dt 1在[0,1]上只有一个解.
§4. 定积分的计算
一定积分计算的基本公式

定积分计算公式和性质~定积分计算公式大全

第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x 在区间上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图5-10从几何上看，也很显然。

因为X 是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10 ）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。

因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为图5-11另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体从t=a 到t=b所经过的路程应该是(见图5-11 )即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿- 莱布尼兹公式。

为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。

它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。

它揭示了定积分和不定积分的在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。

例 1 计算因为是的一个原函数所以例 2 求曲线和直线x=0 、x= 及y=0 所围成图形面积A(5-12)解这个图形的面积为图5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即（A为常数）性质 2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。

定积分公式

二、基本积分表(188页1—15,205页16—24）（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数)（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰(1)u ≠-(3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ (7)sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13)ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 (14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰ （16)2211tan xdx arc C a x a a=++⎰（17)2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+（19）ln(x C =+（20）ln |x C =++(21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22)cot ln |sin |xdx x C =+⎰ (23)sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)—（24）式后几节证。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数.3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。

定积分的计算

§8.4 定积分的计算一、按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求积分和的极限：∑⎰=→∆=nk kk T l bax f dx x f 10)()()(lim ξ但在定义中，分法T 是任意的，ξk 的取法也是任意的，这给我们的计算带来了困难。

因此，一般我们都是对已知是可积的函数才用定义求它的定积分。

这时，我们可以选用特殊的分割T （比如用等分）和特殊的点ξk （比如取每个小区间的右端点、或左端点、或中点等等）来计算。

例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。

解根据定积分的几何意义，就是要计算定积分⎰102dx x .显然，这个定积分是存在的。

取分割T 为n 等份，并取k ξnk 1-=，n k ,,2,1 =。

则所求面积为：n n k dx x S nk n 1)1(lim2112⋅-==∑⎰=∞→=∑=∞→-nk n k n123)1(1lim=316)12()1(lim3=--∞→nn n n n 。

二、积分上限函数从上面的例子看到，用定积分的定义计算定积分是相当麻烦的。

下面我们探讨计算定积分的简便方法。

为此，先引入积分上限函数的概念。

设函数)(x f 在区间],[b a 上可积，],[b a x ∈∀，函数)(x f 在区间],[x a 上可积。

于是，由⎰=Φxadt t f x )()(， ],[b a x ∈定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数。

定理1（原函数存在定理）若函数)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上处处可导，且)()()(x f dt t f dxd x xa==Φ'⎰，],[b a x ∈。

此定理沟通了导数与定积分之间的关系，也就沟通了不定积分（原函数）与定积分的关系。

同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了)(x f 的一个原函数⎰=Φxadt t f x )()(。

定积分的求法1

定积分的求法陕西省西乡县第二中学:王仕林邮编:723500定积分是新课标北师大版选修教材系列2-2中的内容之一,它是新课标新增加的内容.它与导数有密切的关系,在物理学中,物体作变速运动的位移,是运用定积分求值的主要方法.;因此,定积分计算是定积分这一章的重要环节.如何对定积分进行运算？下面笔者与大家共同探讨求定积分的常用方法。

一、定义法（*）求定积分的值：例1：求 1231l i ms i n s i n s i n s i n n n n n n nn ππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦分析：本题表面上看是一个求极限问题，实质上是求定积分的值。

原因是： 1231limsin sin sin sin n n n n n n n ππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦=1231sin sin sin sin n n n n n n n n n πππππππππ-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦ = 11sin ni i n n πππ=∑ 而1sin ni inn ππ=∑表示正弦曲线sin y x =在[]0,π上等分成n 个小区间；sin in n ππ表示每个小区间1,i i nn ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上矩形面积，当n →∞时，1s i n ni inn ππ=∑s i n 0x d x π→⎰，即11sin sin 0n i i xdx n n n πππ=→∑⎰ ∴ 123112l i ms i n s i n s i n s i n s i n 0n n x d x n n n nn πππππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+==⎢⎥⎣⎦⎰二、公式法求定积分的值：所谓公式即为微积分基本定理（()()()()bbf x dx F x dx F b F a a a '==-⎰⎰）（*）例2、求21()1x x e dx x+-⎰解：原式= /2221211ln ln |122x x x e x dx x e x ⎡⎤⎛⎫+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰ 2221112ln 21ln122e e ⎛⎫=⨯+--⨯+- ⎪⎝⎭=23ln 22e e +-- 三、性质法求定积分的值：所谓性质法，即定积分的和差性质（*），即（1）[]()()()()b b bf xg x dx f x dx g x dx a a a ±=±⎰⎰⎰（2）()()b bkf x dx k f x dx a a=⎰⎰（3）()()()b c b f x dx f x dx f x dx a a c =+⎰⎰⎰（4）若()f x 在[],a a -上是奇函数，则()0af x dx a=-⎰；若()f x 在[],a a -上是偶函数，则()2()0a a f x dx f x dx a =-⎰⎰例3、（1）求()22312x dx +-⎰的值。

定积分的详细概述

1 dx
ex 1
1
31 t
2t
t
2
dt 1
2
1
3
1
t
2
dt 1
2 arctan t 3 1
2( )
34 6
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13
例3（书320题）已知 e lna x 3 2ex dx 1，求a的值
0
3
解：令 3-2ex t, 则 x ln(3 t2 ) ln 2
2t dx 3-t2 dt
定积分计算基本公式
一、积分上限函数及其导数
二、牛顿(Newton)-莱布尼茨 (Leibniz) 公式
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1
引论：不定积分与定积分的联系
一个函数的不定积分是他的原函数的全体，如
xdx
1x2 2
C
而一个函数在一个区间上的定积分则是曲边梯形的面积，是
一个数值
y
y f x
B
b
n
S
a
f (x)dx lim 0 i1
(x)有一个原函数 sin x
x ，则
2
xf
(x)dx
（）
解：f
(x)
(sin x
x)'
x cos
x sin x2
x
xf
(x)dx
xdf
(x)
xf
(x)
f (x)dx
2
2
22
(cos
x
sin x
x)
sin x
x
2
2
= 4 1
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26
5.（书362题）已知f (2) 1 ，f (2) 0及 2 f (x)dx 1，

定积分基本计算公式

b( x)
f
dx a( x )
证:
如果 f (t)连续，a( x)、b( x)
F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
例1 求
解
分析：这是型不定式，应用洛必达法则.
d 1et2dt
lim dx x0
cos x
x2
.
cos x et2 dt , 1 .
1
2e
d 1 et2 dt
dx cos x
sin x ecos2 x
lim 1 et2dt
lim
x0
cos x
x2
x0
2x
证
F ( x)
x
x
xf ( x)0 f (t )dt f ( x)0 tf (t )dt
x
2
0 f (t )dt
d dx
x
0
f
(t )dt
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
解
1 ln(1 x)
0 (2 x)2 dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)
1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 3
ln
2
ln
3.
f (x)
x2
1
sin t t
dt ,
因为 sin
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