一 定积分计算的基本公式

f [(t )](t )dt () (),
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§4. 定积分的计算
( ) a 、 ( ) b ,
( ) ( ) F [ ( )] F [ ( )]
F (b) F (a ),

b
a
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt dx a ( x )
f b( x) b( x) f a( x) a( x)
0
b( x )
证:
F ( x)

0
a( x )
f (t )dt
a( x ) 0
0
b( x )
f ( t )dt
f ( t )dt ,
§4. 定积分的计算
例10 解
原式
2 0
1 0 x a 2 x 2 dx . (a 0) dx a cos tdt , 令 x a sin t , x a t , x 0 t 0, 2
计算
a
2 0
a cos t dt 2 2 a sin t a (1 sin t )
cos t sin t 1 dt sin t cos t 1 1 2 . ln sin t cos t 0 4 2 2 2
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cos t 1 2 dt sin t cos t 2 0
f ( x )dx F (b) F (a ) ( ) ( )
f [ ( t )] ( t )dt .

注意
当 时，换元公式仍成立.
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§4. 定积分的计算
应用换元公式时应注意:
（1）用 x ( t ) 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也
（3）当 t 在区间[ , ]上变化时，x ( t ) 的值在
[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
则有
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a f ( x )dx
b

f [ ( t )] ( t )dt .
§4. 定积分的计算
证
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
§4. 定积分的计算
例11 当 f ( x ) 在[ a , a ]上连续，且有 ① f ( x ) 为偶函数，则
a f ( x )dx 2 0
证
a
a
a
f ( x )dx ；
a
② f ( x ) 为奇函数，则 a f ( x )dx 0 .
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
§4. 定积分的计算
a f ( t )dt x

x x x
x
x x
f ( t )dt a f ( t )dt
y
x
f ( t )dt ,
由积分中值定理得
( x )
f ( )x,
f ( ), x
在x与x x之间.
lim lim f ( ) x 0 x x 0
计算 cos 5 x sin xdx.
0
2
解
令 t cos x,
x t 0, 2
dt sin xdx ,
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
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2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6.
0 1
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1
2
o
1
2
x
§4. 定积分的计算
例6
求 max{ x , x }dx.
F ( x ) f b( x )b( x ) f a( x )a( x )
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§4. 定积分的计算
例1
e 求 lim cos x
x 0
1
t 2 2
dt
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 e dt e dt , dx cos x dx 1
相应的改变.
（ 2） 求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数 ( t ) 后，不
必象计算不定积分那样再要把 ( t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入 ( t ) 然后相减就行了.
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§4. 定积分的计算
例9
b
b
基本公式表明 一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于它 的任意一个原函数在区间[a , b]上的增量. 求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系． 注意 当 a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
( x ) f ( x ).
o
a
x x x b x
x 0, x
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§4. 定积分的计算
补充
如果 f ( t ) 连续， a ( x )、 b( x ) 可导，则
bwk.baidu.com x )
F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数 F ( x )为
数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
(a x b)
( x x ) ( x )

x x a
f ( t )dt f ( t )dt
a
x
( x )
o a
x
x x b
x
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记 ( x ) a f (t )dt .
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x
积分上限函数
§4. 定积分的计算
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函
d x 数是 ( x ) f ( t )dt f ( x ) a dx y x x 证 ( x x ) f ( t )dt a

0
f ( t )dt

2
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§4. 定积分的计算
F ( x )
f ( x )0 ( x t ) f ( t )dt
x

x
0
f ( t )dt

2
,
f ( x ) 0, ( x 0) ( x t ) f ( t ) 0,
x
0 f ( t )dt 0,
又 ( x ) f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
a x
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
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§4. 定积分的计算
令 xa
a
F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
2
x
.
e
cos2 x
(cos x ) sin x e
cos2 x
,
e cos x lim
x 0
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1
t 2
dt
x2
sin x e lim x 0 2x
cos2 x
1 . 2e
§4. 定积分的计算
例2
设 f ( x ) 在( , )内连续，且 f ( x ) 0 .
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续， 并且设 x 为
[a , b]上的一点，考察定积分 x x a f ( x )dx a f (t )dt
如果上限 x 在区间[a , b]上任意变动，则对 于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所 以它在[a , b]上定义了一个函数，
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
0 x
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
F ( x ) 0 ( x 0).
故 F ( x ) 在(0, )内为单调增加函数.
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§4. 定积分的计算
例3
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明
2 x 0 f ( t )dt 1在[0,1]上只有一个解.
所以 F ( x ) 0 即原方程在[0,1]上只有一个解.
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1
1
§4. 定积分的计算
基本公式
b
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
[a , b]上的一个原函数，则
a f ( x )dx F (b) F (a ).
证 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
x
tf ( t ) dt 证明函数 F ( x ) 0x 在(0, )内为单调增 0 f ( t )dt
加函数.
证
d x xf ( x ), tf ( t ) dt dx 0
x
d x f ( t ) dt f ( x ), 0 dx
x x
F ( x )
xf ( x )0 f ( t )dt f ( x )0 tf ( t )dt
2
11 . 2
§4. 定积分的计算
例7
求
1
2
1 解 当 x 0时， 的一个原函数是 ln | x |, x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. 例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围
成的平面图形的面积.
2 2
2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
0 2 1 2 0 1
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
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b
§4. 定积分的计算
例4
求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
0
2
解
原式 2sin x cos x x 2 3 . 0

2 2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
a f ( x )dx F (b) F (a ),
令 ( t ) F [ ( t )],
b
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt
( t ) 是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
F ( x ) a f ( t )dt C ,
x
a
x
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
令x b
a f ( x )dx F (b) F (a ).
b
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§4. 定积分的计算
牛顿—莱布尼茨公式
a f ( x )dx F (b) F (a ) F x a
1 dx. x
解
面积 A sin xdx
0

y
cos x 0 2.
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o

x
§4. 定积分的计算
二 定积分的换元公式 定理 假设
（1） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2）函数 x ( t ) 在[ , ]上是单值的且有连续 导数；