圆最值问题题型归纳

x

圆中最值问题

类型一 圆上一点到直线距离的最值问题

例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：

22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .

变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 .

变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22

(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为

变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．

变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .

例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆

引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小

值的点P 坐标．

类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）

例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．

如在上例中，改为求

12

y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？

类型三：转化成函数或不等式求最值

例4已知圆O ：22

1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值为

例5已知圆C ：

22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，

（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．

6、已知e C 过点)1,1(P ,且与e M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.

(Ⅰ)求e C 的方程； (Ⅱ)设Q 为e C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅u u u r u u u u r 的最小值；

(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与e C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.

7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆

心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部

分）

（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分

矩形ABCD 的面积；

（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，

试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．

l P E C M