空间向量与平行关系-课时作业

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空间向量与平行关系

（45分钟 100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面α的一个法向量为k=(b,2,3),若

l∥α,则a,b应满足的关系式为( )

A.3a+b+6=0

B.a=3b

C.3a-b+6=0

D.a=-3b

2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,则m 的值为( )

A.4

B.-4

C.-2

D.2

3.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1∥l2的是( )

①a=(,1,0),b=(-2,-4,0);

②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);

③a=(5,0,2),b=(0,1,0);

④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为( )

A.AD

B.A1C1

C.EB1

D.EA1

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为

A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是( )

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.(2013·济南高二检测)设平面α的一个法向量为(3,2,-1),平面β的一个法向量为(-2,-,k),若α∥β,则k等于.

7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线m∥l,则直线m的单位方向向量为.

8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF.

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1, B1C1的中点.

求证:平面AMN∥平面EFBD.

11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,

底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点

分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面

PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在,

请说明理由.

答案解析

1.【解析】选A.∵l∥α,∴n⊥k,即n·k=b+6+3a=0,

∴3a+b+6=0.

2.【解析】选B.∵a∥b,∴a∥b,故m=-4.

3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法. 【解析】选A.①a=-b,∴l1∥l2,排除B,C,②a=-2b,∴l1∥l2,故选A.

【变式备选】设u,v分别是不同的平面α,β的一个法向量,根据下列条件能判断α∥β的是.

①u=(-1,1,-2),v=(3,2,-);

②u=(0,0,3),v=(0,0,-2);

③u=(4,2,-3),v=(1,4,-2).

【解析】判断两个法向量是否平行即可.

①∵u=k v的k值不存在,∴u与v不平行;

②∵u=-v,∴u∥v,∴α∥β;

③∵u=k v的k值不存在,∴u与v不平行.

答案:②

4.【解析】选D.如图所示,建立直角坐标系Axyz,

设AB=1,则C(1,1,0),E1(,,1),∴=(-,-,1).

又A1(0,0,1),E(,,0),

∴=(-,-,1),故∥,又CE1与EA1不重合,故选D.

5.【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系,可选B1或

C1为原点,求M,N的坐标是解题关键.

【解析】选B.以C 1为原点,以,,所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,

∴N(,,a),

M(a,,),

∴=(-,0,).

而平面B1BCC1的一个法向量为n=(0,1,0),

∴·n=0.又MN⊄平面B1BCC1,

∴MN与平面B1BCC1平行.

6.【解析】∵α∥β,∴(3,2,-1)=λ(-2,-,k),

∴λ=-,λk=-1,∴k=.

答案:

7.【解析】∵m∥l,∴a=(3,2,-1)也是直线m的方向向量,又|a|=,

∴所求的向量为±(3,2,-1),即m的单位方向向量为(,,-)或(-,-,).

答案:(,,-)或(-,-,)

8.【解析】根据题意得D1(0,0,1),E(1,1,),F(,0,0),

∴=(,0,-1),=(1,1,-).

设平面D1EF的法向量是n=(x,y,z),则:

取z=2k(k≠0),则x=4k,y=-3k,

∴n=(4k,-3k,2k)(k≠0).

答案:(4k,-3k,2k)(k≠0)

9.【证明】如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设

AB=1,则C(0,1,0),D1(0,0,1),

∴=(0,-1,1),又∵A1(1,0,1),D(0,0,0),

∴E(,0,),又F(,,0),

∴=(0,,-).

∴=-2,∴∥,又∵C∉EF,故CD1∥EF.

10.【证明】方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,分别取MN,DB及EF的中点R,T,S,连结AR,ST,

则A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,,4),D(0,0,0),B(2,3,0), E(0,,4),F(1,3,4),R(,,4),S(,,4),T(1,,0).

∴=(1,,0),=(1,,0),

=(-,,4),=(-,,4).

∴=,=,

又MN与EF,AR与TS不共线,

∴MN∥EF,AR∥TS.

∴MN∥平面EFBD,AR∥平面EFBD,

又MN⊂平面AMN,AR⊂平面AMN,MN∩AR=R,

∴平面AMN∥平面EFBD.

方法二:建系同方法一,

由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,,4),