第二章 随机过程汇总

第 2 章 随机过程

2.1 引言

•确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。 •通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。

•描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到

时间函数。

2.2 随机过程的统计特性

一.随机过程的数学定义：

•设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t)

是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作)(t g 。 随机过程举例：

二.随机过程基本特征

其一，它是一个时间函数；

其二，在固定的某一观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。 随机过程具有随机变量和时间函数的特点。

● 随机过程)(t g 在任一时刻都是随机变量； ● 随机过程)(t g 是大量样本函数的集合。

三.随机过程的统计描述

设)(t g 表示随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是一个一维随机变量。 1.一维分布函数：随机变量)(t g 小于或等于某一数值x 的概率，即

})({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.1

2.一维概率密度函数:一维概率分布函数对x 的导数.

x

t x P t x p ∂∂=

)

;(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的二维分布

})(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.3

4.二维分布密度定义为

2

12121221212)

,;,(),;,(x x t t x x P t t x x p ∂∂∂=

2.2.4

四.随机过程的一维数字特征

设随机过程)(t g 的一维概率密度函数为),(1t x p .

1.数学期望(Expectation)

dx t x xp t g E t g );()]([)(1⎰∞

∞

-==μ 2.2.5

2.方差(Variance)

dx t x p t x t t g E t g Var t g g g ),()]([]))()([()]([)(122

2μμσ-=

-==⎰

∞

∞

- 2.2.6

五.随机过程的二维数字特征

1.自协方差函数(Covariance)

•

2

1212122211221121),;,())())((())]()())(()([(),(dx dx t t x x p t x t x t t g t t g E t t C g g g g g μμμμ--=--=⎰

⎰

∞∞-∞

∞

- 2.2.7

2. 自相关函数(Autocorrelation)

•2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t g t g E t t R g ⎰⎰∞∞-∞

∞-== 2.2.8

3.自相关函数和自协方差函数的关系

)]([)]([),(),(212121t g E t g E t t R t t C g g •-= 2.2.9 4.设两个随机过程分别为)(),(t h t g ,在时刻1t 和2t ,对)(),(t h t g 抽样,两个随机过程的互相关函数(Cross-correlation)定义为

)]()([),(2121t h t g E t t R gh = 2.2.10

5.两个随机过程的互协方差函数(Cross-covariance)定义为

)]()())(()([(),(221121t t h t t g E t t C h g gh μμ--= 2.2.11

2.3 平稳随机过程

一.狭义平稳的随机过程(严平稳的随机过程)

对于任意的正整数n 和实数τ,若随机过程)(t g 的n 维概率密度函数满足

),,;,,(),,;,,,(21212121n n n n n n t t t x x x p t t t x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅τττ 2.3.1

则称)(t g 为狭义平稳的随机过程.

统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。

平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。即具有完备时间平移不变性.

推论：一维分布与时间t 无关， 二维分布只与时间间隔τ有关。从而有

二.广义平稳的随机过程(宽平稳的随机过程)

对于任意小于和等于n 的正整数和实数τ,若随机过程)(t g 的n 维概率密度函数满足

),,;,,(),,;,,,(21212121n n n n n n t t t x x x p t t t x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅τττ 2.3.2

则称)(t g 为n 阶广义平稳的随机过程. 判断随机过程)(t g 为广义平稳的条件: 1. 随机过程的均值为常数; 2. 方差为常数;

3. 自相关函数仅是τ的函数， 即)(),(ττg g R t t R =+. 2.3.3

三.平稳随机过程的各态历经性 四.平稳随机过程的相关函数

自相关函数的意义：

● 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述 ● 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了

解平稳随机过程自相关函数的性质。 若)(t g 为广义平稳随机过程,则它的自相关函数具有如下主要性质: