解析几何中定点与定值问题

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(2013· 陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得 弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同
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的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定 点．
(1)解 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意， 得|O1A|＝|O1M|， 当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H， 则H是MN的中点， ∴|O1M|＝ x2＋42，
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(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线 方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式， → → → → 然后根据向量关系式 MA ＝λ AF ， MB ＝μ BF 把λ，μ用点A，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即 证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不 存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果 直线AE，BD相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是 这个定点，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证 明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．
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c 1 2 2 2 解 (1)依题意得b＝ 3，e＝a＝ ，a ＝b ＋c ， 2 x2 y2 ∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
(2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为
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y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)， 又F坐标为(1,0)，设l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝kx－1， 2 2 由x y ＋ ＝1， 4 3 消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 4k2－12 8k2 ∴x1＋x2＝ ，x x ＝ ， 3＋4k2 1 2 3＋4k2
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(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问 题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的
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问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键 的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0 ＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的 斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
猜想，当直线l的倾斜角变化时，
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5 AE与BD相交于定点N2，0，
证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线 5 AE过定点2，0， y2－y1 ∵lAE：y－y2＝ (x－4)， 4－x1
1
－8k3＋4k2－2k4k2－12＋5k· 8k2 ＝ ＝0. 2 24－x1· 3＋4k
5 ∴点N2，0在直线lAE上．
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5 同理可证，点N2，0也在直线lBD上．
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5 ∴当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点2，0.
x2 y2
于是 4＝
x 1 －λ x 2
1－λ
，1＝
y 1 －λ y 2
1－λ
，x＝
x 1 ＋λ x 2
1＋λ
，y＝
y1＋λ y2
1＋λ
.
从而
x21－λ 2x22
1－λ
2 2
＝4x，①
2 2 y2 1 －λ y2
1－λ 2 又点 A、B 在椭圆 C 上，即 x2 1＋2 y1 ＝4 ，③ 2 x2 2 ＋2 y2 ＝4.④ ①＋2×②并结合③、④得 4x＋2y＝4. 即点 Q(x，y)总在定直线 2x＋y－2＝0 上．
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y2－y1 3 5 － 当x＝ 时，y＝y2＋ · 2 4－x1 2 24－x1· y2－3y2－y1 ＝ 24－x1
本 24－x1· kx2－1－3kx2－x1 讲 ＝ 24－x1 栏 目 －8k－2kx1x2＋5kx1＋x2 开 关 ＝ 24－x
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2 c 2 解：(1)由椭圆C的离心率e＝ 2 ，得a＝ 2 ， 其中c＝ a2－b2， 椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)． 又∵点F2在线段PF1的中垂线上， ∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝( 3)2＋(2－c)2， 解得c＝1，∴a2＝2，b2＝1. x2 2 ∴椭圆的方程为 2 ＋y ＝1.
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又|O1A|＝ x－42＋y2，
∴ x－42＋y2＝ x2＋42， 化简得 y2＝8x(x≠0)．
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又当 O1 在 y 轴上时， O1 与 O 重合， 点 O1 的坐标为(0,0)也满足 方程 y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x. (2)证明 由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx＋b代入y2＝8x中， 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
2 2 2 2 2 2
由 a2＋b2－2a2b2＝0 得
a
2
＋
b
2
＝1，则不论 a、b
2 2 如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点 ， . 2 2
(2)已知椭圆 C 方程为 ＋ ＝1，当过点 P(4,1)的动直 4 2 线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A、 B 时， 在线段 AB 上取点 Q， →|＝|→ →|.证明： 满足|→ AP|·|QB AQ|·|PB 点 Q 总在某定直线上． 【解】 设点 Q、A、B 的坐标分别为(x，y)，(x1，y1)， (x2，y2)． |→ AP| → → → → 由题设知|AP|、 |PB|、 |AQ|、 |QB|均不为零， 记λ ＝ |→ PB| |→ AQ| ＝ ，则 λ >0 且 λ ≠1. → |QB| 又 A、P、B、Q 四点共线，从而→ AP＝－λ → PB，→ AQ＝λ → QB.
题型二
定值、定点问题
x2 y2 例 2 (1) 已知直线 y ＝－ x ＋ 1 与椭圆 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)相交于 A、B 两点，且 OA⊥OB.(其中 O 为坐标
原点) 求证：不论 a、b 如何变化，椭圆恒过第一象限内 的一个定点 P，并求点 P 的坐标．
x y 2＋ 2＝1， 【解析】 (1)由a b y＝－x＋1，
3＋4k 3＋4k 8 ＝ ＝－3. 2 2 4 k － 12 8k 1－ ＋ 3＋4k2 3＋4k2
8 所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－ . 3
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(3)当直线 l 斜率不存在时，直线 l⊥x 轴，则 ABED 为矩形，
由对称性知，AE 与 BD 相交于 FK 的中点
5 N2，0，
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8－2bk 由根与系数的关系得，x1＋x2＝ k2 ， b2 x1x2＝k2 ，
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其中Δ＝－32kb＋64>0.
① ②
y1 y2 因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以 ＝－ ， x1＋1 x2＋1 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此时 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，即直线 l 过定点(1,0)． ③
的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
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x2 y2 2 1．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率e＝ 2 ，左、右焦点分 别为F1、F2，点P(2， 3)，点F2在线段PF1的中垂线上． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与 F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定 点？若过，求该定点的坐标．
探究 2 圆锥曲线中定值问题关键是灵活利用条件， 等价转 化.
所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)． 以下证明M(1,0)就是满足条件的点： 因为M的坐标为(1,0)，所以 MP ＝
4k 3 － －1， m m
， MQ ＝
12k 12k MQ ＝－ m －3＋ m ＋3＝0， (3,4k＋m)，从而 MP · 故恒有 MP ⊥ MQ ，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径 的圆恒过点M.
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考点二 例2
圆锥曲线中的定值、定点问题 x2 y2 1 已知椭圆 C： 2＋ 2＝1 经过点(0， 3)，离心率为 ，直 a b 2
线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点，点 A、F、
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B 在直线 x＝4 上的射影依次为 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程； → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且MA＝λAF，MB＝μBF，当直 线 l 的倾斜角变化时，探求 λ＋μ 的值是否为定值？若是， 求出 λ＋μ 的值；否则，说明理由； (3)连接 AE、BD，试探索当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并 给予证明；否则，说明理由．
＝y.②
x2 y2 (3)(厦门质检)如图， 已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0) a b 的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 C(2,1)，点 C 关于原 点 O 的对称点为 D. (1)求椭圆 E 的方程； (2)点 P 在椭圆 E 上，直线 CP 和 DP 的斜率都存在 且不为 0，试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是否为定值？ 若是，求此定值；若不是，请说明理由．
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(1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲 线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然
是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的
系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这 个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式： y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程
【解】 (1)∵2a＝2×2b，∴a＝2b. ∵椭圆 E 过点 C(2,1)， 22 1 ∴ 2＋ 2＝1，∴b＝ 2，a＝2 2， 4b b ∴椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1. 8 2
x2 y2
(2)依题意得 D 点的坐标为(－2，－1)，且 D 点在椭圆 E 上 直线 CP 和 DP 的斜率 kCP 和 kDP 均存在， y－1 y＋1 y－1 y＋1 设 P(x， y)， 则 kCP＝ ， kDP＝ ， ∴kCP·kDP＝ · x－2 x＋2 x－2 x＋2 y2－1 ＝ 2 . x －4 x2 y2 又∵点 P 在椭圆 E 上，∴ ＋ ＝1，∴x2＝8－4y2， 8 2 y2－1 1 1 ∴kCP·kDP＝ 2 ＝－ ， ∴直线 CP 和 DP 的斜率之积为定值－ . x －4 4 4
2 2
消去 y 得(a2＋
b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0， 由 Δ ＝(－2a2)2－4a2(a2＋b2)(1－b2)>0，整理得 a2 ＋b2>1.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2a2 a2(1－b2) 则 x1＋x2＝ 2 2，x1x2＝ 2 2 ， a ＋b a ＋b ∴y1y2＝(－x1＋1)(－x2＋1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1. ∵OA⊥OB(其中 O 为坐标原点)， ∴x1x2＋y1y2＝0，即 2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0， 2a2(1－b2) 2a2 ∴ 2 2 － 2 2＋1＝0， a ＋b a ＋b 整理得 a2＋b2－2a2b2＝0.
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→ → 又由MA＝λAF，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，
x1 x2 ∴λ＝ ，同理μ＝ ， 1－x1 1－x2
本 x1＋x2－2x1x2 x1 x2 ＋ ＝ 讲 ∴λ＋μ＝ 1－x1 1－x2 1－x1＋x2＋x1x2 栏 目 开 24k2－12 8k2 关 2－ 2