微分方程解法小结
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微分方程解法小结
PB08207038 司竹
最近学习了微分方程，现对各种方法总结如下：
一、 一阶微分方程： F （x,y,y ＇）=0
⒈可变量分离方程
形如φ（x ）dx-ψ(y)dy,或可化为该形式的方程称为可变量分离方程。 解法：两边积分得：∫φ〔x 〕dx=∫ψ〔y 〕dy 。
⒉齐次方程
dx dy =φ）（x y 解法：换元。令y=μx ，则原方程可化为可分离变量方程。
3.一阶线性微分方程dx
dy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边同时乘以一个积分因子e ⎰dx )x (P ，可得其通解公式：
y=e ⎰-dx x ）（P ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰c dx e )x (dx x ）（P Q 。 4.Bernouli 方程：dx
dy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边除以y n 得：
+dx dy y 1n P （x ）y n 1-=Q （x ），再做代换μ= y n 1-，就化成 dx
dy +（1-n ）P （x ）μ=Q （x ）的线性方程。 二、二阶微分方程F （x ，y ，y ＇，y ＇＇）=0
⒈可降阶的二阶微分方程
① f ( x , y ＇,y ＇＇)=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p ＇，将方程降阶为f （x ，p ，p ＇）=0的一阶方程。
② f （y ，y ＇，y ＇＇）=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p
dy dp ，将方程降阶为f （y ，p ，p dy dp ）=0. 2.二阶线性微分方程
①齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=0
由已知条件或观察法或其他方法可得出齐次方程的一个特解y 1，用y=z y 1带入方程，整理后得出另一特解y 2= y 1dx e
y 1dx x 21⎰-⎰）（P 。(或可通过Liouville 公式，亦可得出另一特解。)再由叠加原理得:齐次方程的通解为y=c 1 y 1+c 2 y 2。
③非齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=f （x ）
解法：先解出对应的齐次方程的通解y
p = c
1
y
1
+c
2
y
2
。
再用“常量变易法”得出另一特解y
f = c
1
（x）y
1
+ c
2
（x）y
2
。
其中c
1（x）=--dt
t
w
t
f
t
y
2
⎰
）
（
）
（
）
（
，c
2
（x）=dt
t
w
t
f
t
y
1
⎰
）
（
）
（
）
（
。
再由叠加原理得:非齐次方程的通解为y= y
p + y
f
。
3.二阶常系数线性微分方程：y＇＇+p y＇+q y=f（x）
①齐次方程y＇＇+p y＇+q y=0.
②非齐次方程y＇＇+p y＇+q y=f（x）
对于各种类型的二阶常系数非齐次方程，先解出其齐次方程的通解，特解大多可用“待定系数法”求得。
以上为我在学习过程中对微分方程解法的总结，有不对之出望老师指正。