正多边形和圆的计算

圆和正多边形的有关计算

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.(2０1５·凉山州期末)☉O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是 ( )

A．∶2 ﻩB．1∶１ C.1∶ﻩﻩ D.∶

【解析】选Ａ.如图所示,连接CO,过点O作OE⊥CD于点E,四边形AMNB是☉Ｏ的外切正方形,☉O切ＡB于点C,△CFD是☉O的内接正

三角形,设圆的外切正方形的边长为a,则CO=,∠ＯＣＥ＝３０°，∴ＣE＝·coｓ3０°=,

∴☉Ｏ的内接正三角形的边长为2EC＝,∶a＝∶２．

2.（2０1５·广州越秀区期末)如图,ＡＢ与☉O相切于点B,OA=2,∠OAB＝３0°,弦ＢC∥OA,则劣弧的弧长是( )

A.ﻩﻩﻩＢ.ﻩﻩＣ.ﻩﻩ D.

【解析】选Ｂ．连接ＯB，OC，

∵AB为☉O的切线,

∴∠ABO=９０°，在Rt△ＡBO中，OA=２,∠ＯAB=3０°,

∴ＯB=1,∠AOB=6０°,

∵ＢC∥OＡ,∴∠OBC=∠AOB=60°，

又OB＝OＣ,∴△BOC为等边三角形,

∴∠BＯＣ＝６0°,则劣弧的长为=.

3．如图，☉O为正五边形ＡＢCＤE的外接圆,☉O的半径为2,则的长为（ )

A.ﻩﻩ

B.ﻩ

C.ﻩＤ.

【解析】选D.如图所示,∵☉O为正五边形AＢCDE的外接圆,☉Ｏ的半径为2,

∴∠AOB==72°，

∴的长为:=.

【知识拓展】正n边形的有关计算

(1)边长:ａｎ=２Ｒn·ｓin.

(2)周长：P n=n·aｎ．

(3)边心距:r n＝Rｎ·cos．

（4)面积:Sｎ=aｎ·ｒn·ｎ.

(5)每一个内角的度数为.

（6)每一个外角的度数为.

(7)中心角的度数为.

4.如图,正方形ＡＢＣＤ中,分别以B,Ｄ为圆心,以正方形的边长a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为（ )

A．πaﻩ B.２πa

C.πa

D.３a

【解析】选A．∵四边形ABＣD是正方形,

∴∠Ｂ=∠D=９0°．

则扇形AＢＣ的弧长为ｌ=＝aπ,

同理可求扇形ＡDC的弧长为aπ,

∴树叶形图案的周长为aπ×2=πa.

【一题多解】选A.由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周

长的一半，∴树叶形图案的周长为×２πa=πａ.

【互动探究】若求阴影部分的面积呢?

提示：S阴影＝２×＝a2．

二、填空题（每小题４分,共12分）

５．如图所示,正六边形AＢＣDＥF内接于☉O，若☉Ｏ的半径为4,则阴影部分的面积等于___＿＿___.

【解析】正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角

形，阴影部分的面积转化为扇形ＯBD的面积,即为圆面积的.阴影部分的面积为=π．

答案:π

如图,在扇形ＯAB中,∠ＡOB=90°,半径OA=6,将扇形OAB沿过点B 的直线折叠,点Ｏ恰好落在上点D处,折痕交OA于点Ｃ,求整个阴影部分的周长和面积.

【解析】连接ＯＤ,∵将扇形OＡB沿过点B的直线折叠,点O恰好落

在上点D处,

∴ＯB＝BD,OC=CＤ.

又∵ＯD＝OB，∴△OＢD是等边三角形，

∴C阴影部分=+AC+ＣD+BD＝3π＋12.

∵△OBD是等边三角形，

∴∠DＢＣ=∠ＯＢC＝30°．

在Ｒt△ＯＣＢ中,tan∠OBC＝=,

∴OC＝tａn30°×6=2.

∴S阴影=S扇形OAＢ-2S△OＣB=-2×=9π-1２．

6.如图,在△ABＣ中，ＡB=4cm,ＢＣ＝2ｃm,∠ABC=30°,把△ＡBC 以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到ＡB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是_______＿cm2.

【解析】根据旋转的性质和全等三角形的性质可知,AC边扫过的图形(图中阴影部分）的面积=扇形BＡA′与扇形BCC′的面积差，为

×（42－22)=5π(cm2)．

答案：5π

7.（２0１5·密云期末)如图,边长为1的正方形ABＣＤ放置在平面直角坐标系中,顶点A与坐标原点O重合,点B在x轴上.将正方形ABＣD沿x轴正方向作无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时,D 点的坐标是________,Ｄ点经过的路径的总长度是________;当点D 第20１4次落在x轴上时，D点经过的路径的总长度是______＿_.

【解析】如图,正方形ABCＤ每滚动４次为一个周期,

当点Ｄ第一次落在x轴上时,正方形ＡＢCD滚动2次，D点的坐标是(3,０);

D点经过的路径的总长度是+

=π.

每一个周期中D点经过的路径的总长度是

+×2=π,

当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是:

2013×π+π=π.

答案：(3,0）ππ

三、解答题（共22分)

8．（6分)(2015·官渡期末)如图,已知☉Ｏ的半径为8ｃm,点A为半

径OB延长线上一点,射线AＣ切☉O于点C,的长为.求∠ＡOC的度数和线段AＣ的长.

【解析】设∠AOC=n°；＝,解得:n=60,

∴∠AOC=6０°．

∵AC切☉O于点Ｃ，∴∠ACＯ=9０°,

∴∠A=９0°-∠AＯC=30°，∴AO=2OＣ=16,

∴AC=＝＝8．

9．（7分)（20１5·南昌期末）如图,边长为4ｃm的等边△ＡBC与☉O等高（即高与直径相等),☉O与BC相切于点C,☉Ｏ与ＡＣ相交