正多边形和圆的计算
正多边形和圆、弧长公式及有关计算
【本讲教育信息】一. 教学内容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算［学习目标］1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。
正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360︒n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：C R=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：ln R =π180n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于()nn-︒2180，每个外角为360︒n，等于中心角。
二. 重点、难点：1. 学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
【典型例题】例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A.33 B.233 C.23 D.223解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1D又∵∠FAG ＝60°∴=∠==AF FG FAG sin 132233故选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
专题11 正多边形和圆(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法
专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。
正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算？(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？特别重要：圆内接正多边形的辅助线(1)连半径，得中心角；(2)作边心距，构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则【例题2】（2021南京）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒．180【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数，利用弦切角定理∠PAB．连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．23，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为多少？【答案】18【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．各种题型强化训练一、选择题1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【答案】A【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2，==π，故选D ．4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=-． 二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm ．【答案】50．【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．如图，设圆心为O，连接AO，CO∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．2．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．【答案】10．【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数103．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【答案】2．【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF•EF•BF224．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．【答案】7π．【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．的长，的长，的长，的长，的长，的长，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π，5．（2020•贵阳）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．【答案】120．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解析】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.7．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．【答案】48．【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°。
正多边形和圆及正多边形的有关计算
中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。
今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算.一、基础知识及其说明：1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形.2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证.判定定理:把圆几等分()①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接边形ABCDEF ……是圆内接正边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切边形是圆外切正边形,只要证明各切点是圆的等分点即可例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形.已知:在⊙O 中,多边形ABCDE ……是⊙O 的内接n 边形 且AB=BC=CD=DE=…….求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE ……∴OEB=AEC= BED=COE=……∴ =∠=∠=∠=∠D C B A又∵AB=BC=CD=DE=……∴n 边形ABCDE ……是正n 边形.例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形.已知:多边形……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,=…….求证:n 边形……是正n 边形.证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD 和四边形BOC 中∵切⊙O 于B,C,D∴∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B而……∴∴BC=CD(在同圆中,相等的圆 B O心角所对的弧相等).同理BC=CD=DE=FE=……'B D∴A,B,C,D,E,F……是圆的n等分点 C∴多边形ABCDEF……是圆外切n正多边形3.正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.4.正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.5.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.如图:OA,OB是半径,O是中心,OH⊥AB于H,OH是边心距,是中心角6.正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等)来解直角三角形即可.例：已知正六边形ABCDEF的半径是R,求正六边形的边长S6.解:作半径OA、OB，过O做OH⊥AB，则∠AOH==30°∵∴∴∴∵∴S6=同学们在进行正多边形的计算时,应很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法进行计算,但也可以推出公式,然后利用公式变形进行计算.则这是已知半径R,求的公式,若记住公式则正多边形的计算就简单了很多,如已知半径R,求解:再如：已知正三角形的边长为,可以先由,求出半径,再将求得的R代入；若已知边心距求边长,则先用,求出R,再代入求边长公式即可求出,此法好处是不用画图,只需将上面两个公式反复变形即可.7.如何求同圆的圆内接正边形与圆外切正边形的边长比,半径比,边心距比.如：求同圆的圆内接正边形和圆外切正边形的边长比.设⊙O的半径的为R则圆内接正边形的边长是而在Rt△OBC中,OB=R,则,即外切正边形的边长是,∴=实际上，=,OB是的邻边,OC是Rt△BOC的斜边,,希望同学们记住此结论.如圆内接正四边形的边心距与圆外切正四边形的边心距之比是,圆内接正六边形与圆外切正六边形的边长之比是,而圆内接正三角形与圆外切正三角形的面积之比是.(注意:①此结论必须是同圆的边数相同的圆内接正边形与圆外切正边形的相似比是.②若求圆外切正边形与圆内接正边形的相似比则是).二、练习题:1.判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2.填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3.选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D.:1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A. B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:三、练习答案:1.判断题①×②×③√④√⑤√2.填空题①四②45°,135°,45°③④12⑤1:2 1:4 ⑥8 ⑦⑧:1 ⑨1:3.选择题①D ②A ③C ④C ⑤B ⑥A。
初三数学正多边形和圆公式
初三数学正多边形和圆公式
正多边形和圆是中学数学学习中一个重要的课题，其中正多边形和圆的公式是学生必须掌握的知识点。
一、正多边形的公式
1、行心角公式：Σinterior angles = (n - 2 )×180°
其中，Σinterior angles表示角之和，n表示多边形内角的个数。
2、每内角度数公式：interior angle = (n - 2 )×180°/n
3、外角之和公式：Σexterior angles = 360°
其中，Σexterior angles表示外角之和。
4、外角度数公式：exterior angle= 360°/n
5、正多边形的周长公式：P= a × n
二、圆的公式
1、定义公式：圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其中，a和b表示圆心坐标，r表示圆的半径。
2、圆的周长公式：C=2πr
3、圆的面积公式：S=πr^2
4、弦长公式：L=2πr × 角度
5、弦长公式：A=2πR × (1-cosα)
以上就是高中数学关于正多边形和圆的公式，希望可以帮助到大家学习和掌握。
(完整word版)正多边形和圆及圆的有关计算
正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理： 1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形. 定理：把圆分成n(n ＞3）等分：（l)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。
外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角。
正n 边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心. 若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。
2、正多边形的有关计算正n 边形的每个内角都等于nn180)2(-定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算. 3、画正多边形（1)用量角器等分圆 (2）用尺规等分圆 正三、正六、正八、正四及其倍数(正多边形). 正五边形的近似作法（等分圆心角) 4、圆周长、弧长(1）圆周长C ＝2πR ；(2）弧长180Rn L π=5、圆扇形，弓形的面积 （l ）圆面积:2R S π=；（2)扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形注意：因为扇形的弧长180R n L π=。
所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得.如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。
平面几何中的正多边形与圆的周长
平面几何中的正多边形与圆的周长在平面几何中，正多边形与圆的周长是一个重要的概念。
正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形，而圆的周长则是指圆的边缘一周的长度。
本文将探讨正多边形和圆的周长的关系，并介绍一些计算正多边形和圆的周长的方法。
一、正多边形的周长正多边形的周长可以通过计算每条边的长度之和来得到。
设正多边形有n条边，边长为a，则正多边形的周长L可以表示为L = n * a。
例如，一个有6条边的正六边形，若每条边的长度为3cm，则正六边形的周长L = 6 * 3 = 18cm。
需要注意的是，正多边形的周长与边数以及边长有关。
当边数n增加时，正多边形的周长也会增加；当边长a增加时，正多边形的周长也会增加。
二、圆的周长在平面几何中，圆的周长又称为圆的周长或圆周长。
圆的周长C可以通过计算圆的直径或半径与圆周率π的乘积来得到。
根据定义，圆周率π的近似值约为3.14159。
1. 通过直径计算设圆的直径为d，则圆的周长C可以表示为C = π * d。
例如，一个直径为10cm的圆的周长C = 3.14159 * 10 = 31.4159cm。
2. 通过半径计算设圆的半径为r，则圆的周长C可以表示为C = 2 * π * r。
例如，一个半径为5cm的圆的周长C = 2 * 3.14159 * 5 = 31.4159cm。
需要注意的是，无论是通过直径还是半径计算，圆的周长都与圆周率π有关。
当直径或半径增加时，圆的周长也会增加。
三、正多边形与圆的周长的关系在考察正多边形和圆的周长时，我们可以发现一个有趣的现象。
当正多边形的边数n足够大时，正多边形的周长L会趋近于圆的周长C。
这可以通过以下推理来解释：首先，在一个给定的正多边形中，边数越多，每条边的长度a则越短，这意味着多边形的周长L越接近于n * a。
而当n趋近于无穷大时，正多边形的周长L趋近于无限，也就是周长无限长。
而圆的周长C是有限且确定的，不会随着边数的增加而增加。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 正多边形与圆的相关计算(解析版)
正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。
【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。
【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。
正多边形和圆
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
• 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的 关系是
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
• 9．若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为
A．36°
B、 18°
C．72°
D．54°
• 10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四 角,使它成为正n边形,那么正n边形的面积 为
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切
线的交点为顶点的多边形是正多边形吗
证明：连结OA、OB、OC，则： ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
PA T
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
24.3 正多边形和圆
E
A
D
B
C
观察下列图形他们有什么特点
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 正方形 个角相等 900 ,
角形 60度 ,
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
如果一个正多边形有n条边,那么这个正多边形
叫做正n边形, 思考: 菱形是正多边形吗 矩形是正多边形呢
8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的__中__心___角, 它的度数是_7_2_度_____
D
E
C
.O
A FB
9、它图的中度正数六是边_形__A6_B_0C_度_D_E_;F的中心角是_∠__A_O__B_;
10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系 为什么
E
D
F
正多边形与圆的相关计算公式
正多边形与圆的相关计算公式在我们的数学世界里，正多边形与圆可是一对关系紧密的“好伙伴”。
今天，咱们就来好好聊聊它们之间那些神奇的计算公式。
记得有一次，我在公园里散步，看到一个圆形的花坛。
花坛的边缘被修成了正六边形的形状，特别规整漂亮。
当时我就在想，这正多边形和圆之间的关系可真是巧妙。
咱们先来说说正多边形的内角和公式。
对于一个 n 边形，它的内角和等于 (n - 2)×180°。
比如说一个正三角形，也就是三角形啦，n = 3，那内角和就是 (3 - 2)×180° = 180°，这大家都知道。
再比如一个正五边形，n = 5，内角和就是 (5 - 2)×180° = 540°。
那正多边形的每个内角的度数怎么算呢？很简单，用内角和除以边数就行啦。
还是拿正五边形举例，每个内角的度数就是540°÷5 = 108°。
接下来聊聊正多边形和圆的关系。
以正 n 边形为例，把它的 n 个顶点都和圆心连起来，就会分成 n 个等腰三角形。
这些等腰三角形的顶角就是圆心角，每个圆心角的度数是 360°÷n 。
咱们再来说说正多边形的边长和外接圆半径的关系。
假设正 n 边形的边长是 a ，外接圆半径是 R ，那就有 a = 2Rsin(180°/n) 。
比如说一个正六边形，n = 6，要是外接圆半径 R 是 5 厘米，那边长 a 就等于2×5×sin(180°/6) = 5√3 厘米。
还有正多边形的面积公式。
如果正 n 边形的边长是 a ，边心距是 r （就是从正多边形的中心到边的距离），那它的面积就是n×(1/2)×a×r 。
就像我在公园里看到的那个正六边形花坛，我们可以通过测量它的外接圆半径或者边心距，还有边长，就能算出花坛的面积。
《正多边形与圆》 讲义
《正多边形与圆》讲义一、正多边形的定义在平面内，各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
例如，等边三角形、正方形、正五边形等等。
正多边形具有对称性，对称轴的条数与边数相同。
比如正六边形有6 条对称轴。
二、圆的基本性质圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆有无数条直径和半径，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，半径是圆心到圆上任意一点的线段。
圆的周长 C ＝2πr （其中 r 是半径，π是圆周率，通常取 314），圆的面积 S ＝πr² 。
三、正多边形与圆的关系1、正多边形的外接圆以正多边形的中心为圆心，以中心到顶点的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的外接圆。
例如，对于正三角形，我们可以找到它的外接圆。
通过三角形的三个顶点作圆，圆心到三个顶点的距离相等。
2、正多边形的内切圆以正多边形的中心为圆心，以中心到边的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的内切圆。
比如正六边形，我们可以作出它的内切圆。
内切圆与正六边形的各边都相切。
3、正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正 n 边形的中心角为 360°／n 。
以正五边形为例，其中心角为 360°÷5 ＝ 72°。
4、正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
5、正多边形的边心距正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距。
四、正多边形的计算1、边长计算对于正 n 边形，如果已知半径 R ，我们可以通过三角函数求出边长a 。
以正六边形为例，连接圆心与一个顶点，形成一个等腰三角形，其顶角为 60°，底角为 60°，则边长等于半径，即 a ＝ R 。
对于正 n 边形，边长 a ＝ 2Rsin(180°／n) 。
2、面积计算正 n 边形的面积可以通过分割成多个三角形来计算。
设正 n 边形的边长为 a ，边心距为 r ，则面积 S ＝ 1/2 × n × a × r 。
人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第讲 正多边形和圆弧长和扇形面积(有答案)
第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积 第一部分 知识梳理 知识点一：圆与内正多边形的计算1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；2、正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =3、正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA = 知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n R l π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱侧面展开图：3、圆锥侧面展开图第二部分 考点精讲精练考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ，那么它的边心距等于（ ）A ．10cmB ．5cmC ．cm D ．cm 例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形例3、如图，在⊙O 内，AB 是内接正六边形的一边，AC 是内接正十边形的一边，BC 是内接正n 边形的一边，那么n= ．例4、圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为．例5、如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．举一反三：1、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：1 D．：2：43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为 cm．4、如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．5、如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长是（）A．B．C．D．例2、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，OB=1，则∠BAD= 度，∠BCD= 度，弧BCD的长= ．例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是．例5、如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．（1）求证：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）举一反三：1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则弧所在的圆的半径为（）A．6 B．6C．12D．182、如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（）A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km．一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道．那么弯道所对的圆心角的度数为度．（π取3.14，结果精确到0.1度）．4、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．5、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，那么阴影部分的面积是（）A．B．2π C．D．3π例2、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A 为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2例3、如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．例4、如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．例5、如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．举一反三：1、若一个扇形的面积是相应圆的41，则它的圆心角为（ ） A ．150° B ．120° C ．90° D ．60°2、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（ ）A ．π+1B ．2πC ．4D ．63、如图，O 为圆心，半径OA=OB=r ，∠AOB=90°，点M 在OB 上，OM=2MB ，用r 的式子表示阴影部分的面积是 ．4、如图，直角△ABC 的直角顶点为C ，且AC=5，BC=12，AB=13，将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置，在旋转过程中，直角△ABC 扫过的面积是 ．（结果中可保留π）5、如图，四边形ABCD 是长方形，AB=a ，BC=b （a ＞b ），以A 为圆心AD 长为半径的圆与CD 交于D ，与AB 交于E ，若∠CAB=30°，请你用a 、b 表示图中阴影部分的面积．考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．16πcm 2B ．20πcm 2C ．28πcm 2D ．36πcm 2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布．已知圆锥的底面直径是5.7m ，母线长是3.2m ，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m 2）（ ）A ．58 m 2B ．29 m 2C ．26 m 2D ．28 m 2例3、扇形的圆心角为150°，半径为4cm ，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm 2．例4、在十年文革期间的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）例5、已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．举一反三：1、若圆锥的侧面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（）A．4πcm B．4 cm C．2πcm D．2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（）A．87πcm B．47πcm C．8 cm D．4 cm3、如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的高为。
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31+.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝1313122++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q分别表示阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是( )．A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．无法确定(2)如图(b)，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB 中，OA ＝3cm ，OB ＝1cm ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC 面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=． 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=，∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影． 答案选D.3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∴∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ，∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】 解：连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠E AB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．»AB）对应5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°， 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠A OC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。
2正多边形和圆上课(共31张)PPT课件(人教版)
CF
E D
想一想：
正n边形的一个内角的
(n 2)180
度数是______n______;
360
中心角是_____n______;
正多边形的中心角与外角的 大小关系是__相__等____.
A BOE
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中心角与内角互补.
例 有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边
知识点3 有关正多边形的作图
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三
角形. A
①用量角器度量，使∠AOB=
120° ∠BOC=∠COA=120°．
O
②用量角器或30°角的三角板度
C
B 量，使∠BAO=∠CAO=30°．
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个 圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接 正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
A
B
E
O·
C
D
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点
得到正五边形ABCDE.
∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A
A
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个
多边形的中心角等于( A )
A.36°
B.18°
C.72°
D.54°
3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角
板的角，借助点O(使直角的顶点落在点O处)，把这个
正六边形的面积n等分，那么n的所有可能
圆与正多边形的面积比较与计算
圆与正多边形的面积比较与计算圆和正多边形是几何学中常见的图形，它们的面积计算和比较是我们要探究的重点。
在此文中，我们将介绍如何计算圆和正多边形的面积，并比较它们的大小。
一、圆的面积计算圆的面积计算公式是：S = π × r²。
其中，S代表圆的面积，π代表圆周率，r代表圆的半径。
假设给定一个圆的半径为r = 5cm，那么该圆的面积计算为：S = π × 5² = 25π cm²。
这里的π可以精确到小数点后任意位数，一般取3.14或3.14159作为圆周率的近似值。
二、正多边形的面积计算对于正多边形，我们可以通过将其划分为若干个等边三角形来计算面积。
正多边形的面积计算公式是：S = 0.5 × a × p。
其中，S代表正多边形的面积，a代表正多边形的边长，p代表正多边形的周长。
假设给定一个正五边形的边长为a = 6cm，那么该正五边形的周长为p = 5 × 6 = 30cm。
将正五边形划分为五个等边三角形，每个三角形的底边长为a = 6cm，高的长度可以通过勾股定理计算得到。
假设高的长度为h = 4.37cm，那么每个三角形的面积为0.5 × 6 × 4.37 = 13.11cm²。
由此可得正五边形的面积为13.11 × 5 = 65.55cm²。
三、圆与正多边形的比较为了比较圆和正多边形的面积大小，我们可以选取相同的半径和边长来进行比较。
假设给定一个半径为r = 5cm的圆和一个边长为a = 6cm的正六边形。
根据前述计算方法得到圆的面积为25π cm²，正六边形的面积为6 × 6 ×sin(π/3) = 18√3 cm² ≈ 31.18cm²。
由此可见，当半径和边长相等时，正多边形的面积要大于圆的面积。
这是因为正多边形由多个等边三角形组成，而圆则没有尖角，因此正多边形所能包围的区域相对较大。
人教版九年级数学上册_24.3 正多边形和圆
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知1－练
1-2.若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则 这个四边形一定是( C ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定
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知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于(n－2)n· 180°. 2. 正 n 边形的每个中心角都等于 36n0°. 3. 正 n 边形的每个外角都等于 36n0°.
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1. 画圆内接正n边形，实质是找圆的 n 等分点 . 2. 用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数
很大时，容易产生较大误差. 3. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只
限于作一些特殊的正多边形 .
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例3 作一个正三角形，使其半径为 0.9 cm.
知3－练
感悟新知
知3－讲
2. 用尺规等分圆 对于一些特殊的正 n 边形，如正方形、正 六边形等，可以用圆规和直尺作图，如图 24.3－2② . 在⊙ O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就 可把圆四等分，从而作出正方形 ， 若再逐次平分各边所对的弧，就可 以作边数逐次倍增的正多边形， 如正八边形、正十六边形等 .
边形的半径 .
(3)正多边形的中心角： 正多边形每一边所对的圆心角叫
作正多边形的中心角 .
(4)正多边形的边心距： 正多边形的中心到正多边形的一
边的距离叫作正多边形的边心距 .
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知1－讲
4. 正多边形的对称性 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心 .n 为偶数 时，正 n边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心 .
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正多边形和圆
正多边形和圆介绍在几何学中，正多边形和圆是两个重要的概念。
正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的图形。
本文将介绍正多边形和圆的特征、性质和相关公式。
正多边形定义正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。
常见的正多边形有三角形、四边形（正方形）、五边形、六边形等。
正多边形的内角都可以通过以下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。
性质1.边长相等：正多边形的所有边长都相等，即正多边形的每条边长度相等。
2.内角相等：正多边形的所有内角都相等，即正多边形每个内角的度数相等。
3.对称性：正多边形具有n个对称轴，其中n为边数。
每个对称轴将正多边形分为两个对称的部分。
4.外角和：正多边形的外角和等于360°，即正多边形的所有外角之和为一个圆的周角。
5.外接圆：正多边形的外接圆是指将正多边形每个顶点都切在圆上的圆。
外接圆的半径等于正多边形中心到任一顶点的距离。
公式1.正多边形的面积：正多边形的面积可以通过边长和高计算，公式如下：面积 = 边长 × 高 / 22.正多边形的周长：正多边形的周长等于所有边长之和，即边长 × 边数。
圆定义圆是平面上所有点到圆心距离都相等的图形。
圆由圆心、半径和弧组成，其中圆心为圆上所有点的中心，半径是圆心到圆上任意一点的距离，弧是圆上两点之间的弯曲部分。
性质1.圆心角：圆心角是指圆心所对的弧所对应的角。
圆心角的度数等于对应弧所占据的圆心角度的一部分，即圆心角 = 弧度 / 弧长 × 360°。
2.弧长：圆上的弧长可以通过圆心角的度数计算，公式如下：弧长 = 圆心角度数 / 360°× 圆周3.面积：圆的面积可以通过半径计算，公式如下：面积= π × 半径²其中，π（pi）是一个数学常数，约等于3.14159。
初三数学.正多边形和圆与圆中的计算.教师版
中考内容中考要求A B C圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题中考内容与要求正多边形和圆与圆中的计算弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析定义示例剖析正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正方形正六边形正八边形正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．HOFEDCBA边心距中心角半径中心正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心. 正偶数边正多边形有两类对称轴；正奇数边正多边形只有一类对称轴．知识互联网模块一正多边形和圆知识导航T 2T 1O【例1】 ⑴ 小亮从A 点出发前进10m ，向右转15︒，再前进10m ，又向右转15︒……这样一直走下去，他第一次回到出发 点A 时，一共走了_________m ．⑵ 如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中 阴影部分的面积为（ ）A.23π-B. 323π-C. 232π-D. 3232π-（2012咸宁）⑶ 正八边形的一个内角等于_________，它的中心角等于___________． ⑷ 若正ABC △外接圆的半径为R ，则ABC △的面积为_____________．⑸ 半径为2cm 的圆内接正方形的对角线长为__________cm ，面积为____________2cm ．⑹ 正六边形的边长为a ，半径为R ，边心距r 的比::a R r =__________________．（西城区教研）【解析】 ⑴ 240；⑵ A ；⑶ 135︒，45︒；⑷ 233R ；⑸ 4，8；⑹ 2:2:3.【例2】 如图，有一个圆O 和两个正六边形12T T ，．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和圆O 相切（我们称12T T ，分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）． ⑴ 设12T T ，的边长分别为a b ，，圆O 的半径为r ，求:r a 及:r b 的值； ⑵ 求正六边形12T T ，的面积比12:S S 的值．【解析】 ⑴ 3:1:r a r b ==，； ⑵ 22221233333366S a a S b b =⨯==⨯=，由⑴:3:2a b =，∴22123::4S S a b ==．能力提升夯实基础模块二 圆中的计算15°15°AF ODE定 义示例剖析设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）R n°hRh lR常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法【例3】 ⑴ 一圆弧的圆心角为300︒，它所对的弧长等于半径为6cm 的圆周长，该圆弧所在圆的半径为________．（北大附中单元练习）⑵ 半径为9cm 的圆中，长为12πcm 的一条弧所对的圆心角的度数为_________．（北大附中月考）⑶从纸上剪下一个圆和一个扇形的纸片（如图），圆的半径为2，扇形的圆心角等于︒120.若用它们恰好围成一个圆锥模型，则此扇形的半径为 ． （2012广西河池）⑷ 图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发， 以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）A. 甲先到B 点B. 乙先到B 点C. 甲、乙同时到B 点D. 无法确定（北大附中单元练习）【解析】 ⑴36cm 5；⑵ 6；⑶ 5π103+；⑷ C 夯实基础知识导航321GFE D CBA【例4】 ⑴ 一个扇形的弧长为20πcm ，面积为2240πcm ，则该扇形的圆心角为_________度．（北大附中单元练习）⑵ 如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周（2012北海）⑶ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°.把△ABC 绕 点A 按顺时针方向旋转60°后得到△''C AB ，若AB =4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）（2012辽宁锦州） A.32π B. 35π C. 2π D. 4π⑶C ．【例5】 ⑴ 现有30%圆周的一个扇形纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为______．（清华附中月考）⑵ 用半径为9，圆心角为︒120的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西）⑶ 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ）A. 4πB. 42πC. 8πD. 82π（2011浙江宁波）→40cmB DOAB CA⑷ 如图，已知圆锥的底面圆半径为1，母线长OA 为3，C 为母线OB 的中点， 在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A 爬到点C 的最短路线长为___________．（北大附中月考）【解析】 ⑴ 18︒；⑵26；⑶ D ；⑷33【例6】 ⑴ 如图，半径为1cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )（2012贵州遵义）⑵ 如图，PA PB 、分别与O ⊙相切，切点分别为A B 、，3PA =，60P ∠=︒， 若AC 为O ⊙的直径，则图中阴影部分的面积为__________．（清华附中月考）⑶ 如图，半圆的半径为2cm ，点C D 、三等分半圆，则阴影部分的面 积为_______________．（二中分校月考）⑷ 如图，在平面直角坐标系中，已知D ⊙经过原点O ，与x 轴、y 轴分 别交于A B 、两点，B 点坐标为()023，，OC 与D ⊙相交于点C ，30OCA ∠=︒，则图中阴影部分的面积为___________．（北大附中月考）⑸ 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，分 别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． （2012青海省）【解析】 ⑴ 如图， 221cm S S AOB ==∆阴影，故选C.⑵1π2；⑶ 22πcm 3；⑷ 2π23-⑸ 如图，设各个部分的面积为：54321S S S S S 、、、、，能力提升DC OC AOxy OBACDCBBCAF ODCBAE F O DCBA AB C DO FF ODCBA∵两个半圆的面积和是：432451S S S S S S +++++， △ABC 的面积是543S S S ++， 阴影部分的面积是：421S S S ++∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积， 即阴影部分的面积为4252242124-=÷⨯-÷⨯+÷⨯πππ【例7】 如图，已知在O ⊙中，43AB =，AC 是O ⊙的直径，AC BD ⊥于F ，30A ∠=°．⑴ 求图中阴影部分的面积；⑵ 若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．【解析】 ⑴ 法一：过O 作OE AB ⊥于E ，则1232AE AB ==． 在Rt AEO △中，30BAC ∠=°，cos30=°AEOA．∴cos30AEOA ==︒2343=． 又∵OA OB =，∴30ABO ∠=°．∴60BOC ∠=°．∵AC BD ⊥，∴BC CD =．∴60COD BOC ∠=∠=°．∴120BOD ∠=°．∴2π360n OA S ⋅==阴影212016π4π3603⋅=．法二：连结AD ．∵AC BD ⊥，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD ．∴AB AD =，BF FD =，BC CD =．∴260BAD BAC ∠=∠=°，∴120BOD ∠=°． ∵1232BF AB ==，sin60AF AB °=3sin 60436AF AB =⋅=⨯=°．∴222OB BF OF =+．即222(23)(6)OB OB +-=，解得4OB =．∴13S S ==圆阴影16π3．法三：连结BC ．∵AC 为O ⊙的直径，∴90ABC ∠=°．探索创新S 5S 4S 32S 1B∵43AB =，∴438cos3032AB AC ===︒．∵30A ∠=°，AC BD ⊥，∴60BOC ∠=°， ∴120BOD ∠=°．∴221201π4π=3603S OA =⋅=⨯⋅阴影16π3．⑵ 设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr ，∴1202ππ4180r =⋅．∴43r =．⑴如图，把1O ⊙向右平移8个单位长度得2O ⊙，两圆相交于A B 、，且12O A O A ⊥，则图中阴影部分的面积是____________． ⑵ 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B '，则图中阴影部分的面积是（ ） A.6π B .5π C.4π D.3π【解析】⑴8π16-；⑵A. .B '第09讲精讲：阴影部分面积的求解方法总结； 【探究一】作差法；【变式1】如图所示，正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割成四个弓形，其中一个弓形的面积是 .【解析】弓形的面积等于正方形外接圆面积与正方形面积差的四分之一，为()222r -π.【探究二】等积变换法；【变式2】如图，ABCD 为⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，且CD 为直径.如果⊙O 的半径等于r ，∠ACB =15°，那么图中阴影部分的面积等于 .C【解析】122r π【探究三】重叠法；【变式3】如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，以每边为直径向形内作半圆，求中间阴影部分的面积.【解析】阴影部分的面积可以看成四个同样的半圆重叠面积减去正方形的面积，为()222a -π【探究四】割补法；【变式4】如图所示，ABCD 是面积为1的正方形，△PBC 为正三角形，求△PBD 的面积.【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，则△PBD 被分割为两部分：△PBO 与△POD ，且POC POD PBO S S S ∆∆∆==，所以413-=-=∆∆∆BOC PBC PBD S S S . 【探究五】移位法；【变式5】如图所示，两个半圆，大半圆的弦CD 平行于直径AB ，且与小半圆相切.已知CD =24，试求大半圆中，挖去小半圆后剩余部分的面积.【解析】为了方便计算，我们讲小半圆移动，使它与大半圆是同心圆，此时，有MD =12，则S =72π【探究六】方程组法；【变式6】已知正方形ABCD 的边长为1，分别以A 、B 、C 、D 四点为圆心，以1为半径画弧，求所得四个扇形的公共部分的面积.【解析】由对称性，用x 、y 、z 分别表示曲边形的面积，如图所示，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=++-=+=++43662412423ππππz y x z y z y x ， 解得331π+-=xOBADCE训练1. 已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．【解析】 如图，设AB 是圆内接正方形的边长，CD 是外切正三角形的边长，EF 是外切正六边形的边长，连结OA OB OC OE 、、、．∵AB 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2，∴290AB OA OB AOB ==∠=︒，，， ∴1OA OB ==．∵CD 是外切正三角形的边长， ∴60OA CD AOC ⊥∠=︒，，∴22OC OA ==．∵EF 是外切正六边形的边长， ∴602OC EF OEF OE EF CE ⊥∠=︒==，，， ∴323CE OC ==， ∴43EF =，∴263436683EOFS S ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△．训练2. 如图，等腰三角形ABC 的顶角36A ∠=︒．O ⊙和底边BC 相切于BC 的中点D ，并与两腰相交于E F G H ，，，四点，其中点G F ，分别是两腰AB AC ，的中点．求证：五边形DEFGH 是正五边形．【解析】 连接GD ，FD∵D F G ，，分别是BC AC AB ，，的中点，∴DG AC ∥，DF AB ∥，∴36BGD FDG CFD A ∠=∠=∠=∠=︒， ∴72B C ∠=∠=︒，∴72DGF DFG BDG CDF ∠=∠=∠=∠=︒， ∴72BHD CED ∠=∠=︒， ∴36BDH CDE ∠=∠=︒， ∴36HDG EDF ∠=∠=︒，∴108HDE DEF EFG FGH GHD ∠=∠=∠=∠=∠=︒， 且DE EF FG GH HD ====， ∴五边形DEFGH 是正五边形．思维拓展训练(选讲)O H GFE BAABDE FGH O训练3. ⑴ 如图，ABC △是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆1O 的直径，半圆2O 过C 点且与半圆1O 相切，则图中阴影部分的面积是______________．⑵ 如图，四边形ABCD 是菱形．10cm AB =，60ABC ∠=°， 分别以ABCD 的四条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________． 【解析】 ⑴ 2536a ；⑵ 50π-训练4. 请阅读下列材料：问题：如图⑴，一圆柱的底面半径为5，高AB 为5，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC ．如下图⑵所示：设路线1的长度为1l ，则()22222221552525l AC AB BC ==+=+π=+π．路线2：高线AB +底面直径BC ．如上图⑴所示：设路线2的长度为2l ，则()()2222510225l AB BC =+=+= ∵222221225252252520025(8)0l l -=+π-=π-=π-> ∴2212l l >，∴12l l >所以要选择路线2较短．⑴ 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高AB 为5”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：221l AC ==___________________； 路线2：()222l AB BC =+=__________． ∵2212_____l l ，∴ 12_____l l （填>或<）所以应选择路线____________（填1或2）较短．⑵ 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线较短．【解析】 ⑴ 22222221525l AC AB BC ==+=+π=+π，()()22225249l AB BC =+=+=∴2212l l < ∴12l l <所以要选择路线1较短．⑵ 2222221(π)l AC AB BC h r ==+=+，()()22222l AB BC h r =+=+∴()()()()222222212π2π44π44l l h r h r r r r h r r h ⎡⎤-=+-+=--=--⎣⎦O 1∴当244hr=π-时，2212l l=；当244hr>π-时，2212l l>；当244hr<π-时，2212l l<．知识模块一正多边形和圆课后演练【演练正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3 60︒234 16 3正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3 60︒120︒ 2 23 1 63334 90︒90︒2 2 1 8 46 120︒60︒ 2 2 312 63【演练2】O⊙的内接多边形周长为3，O⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A．6B．8C．10D．17【解析】C实战演练知识模块二 圆中的计算 课后演练【演练3】 一个扇形的半径为60cm ，圆心角为150︒，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________．【解析】 扇形的弧长15060π50π180l =⨯=，它作为圆锥的底面周长∴2π50πR =，∴25cm R =．【演练4】如果矩形纸片的两条邻边分别为18cm 和30cm ，将其围成一个圆柱的侧面，求圆柱底面半径．【解析】 如果将长为18cm 的边转化成圆柱的底面周长，设底面半径为cm r ，则2π18r =，所以底面半径9πr =；如果将长为30cm 的边转化成圆柱的底面周长，设底面半径为cm R ，则230R π=，所以底面半径15πR =．故这个圆柱的底面半径为9cm π或15cm π．【演练5】如图1，在O ⊙中，AB 为O ⊙的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=︒．⑴ 求AOC ∠的度数；⑵ 在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与O ⊙相切时，求PO 的长； ⑶ 如图2，一动点M 从A 点出发，在O ⊙上按逆时针方向运动一周，当MAO CAOS S =△△时，求动点M 所经过的弧长．图2图1【解析】 ⑴ ∵OA OC =，60OAC ∠=︒，∴AOC △是等边三角形，∴60AOC ∠=︒．⑵ ∵CP 与O ⊙相切，∴90OCP ∠=︒，∵60AOC ∠=︒，∴28PO AO ==． ⑶ 如图，① 作点C 关于直径AB 的对称点1M ．易得1M AO CAO S S =△△，160AOM ∠=︒ ∴14π460π1803AM =⨯=， ∴当点M 运动到1M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为4π3．② 过点1M 作12M M AB ∥交O ⊙于点2M ，易得2M AO CAO S S =△△．∴112260AOM M OM BOM ∠=∠=∠=︒，∴248π2π33AM =⨯=或24π8120π1803AM =⨯=，∴当点M 运动到2M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为8π3．③ 过点C 作3CM AB ∥交O ⊙于点3M ，易得3M AO CAO S S =△△，∴360BOM ∠=︒，∴234π16240π1803AM M =⨯=或23816π2π33AM M =⨯=，∴当点M 运动到3M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为16π3． ④ 当点M 运动到C 时，M 与C 重合，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为4π20300π1803⨯=或16420πππ333+=．ODBA测试1. 已知圆内接正六边形面积为33，求该圆外切正方形边长． 【解析】 如图，设CD 是内接正六边形的一边，AB 为外切正方形的一边，C 是切点，连结OA OB OC OD 、、、． ∵CD 是内接正六边形的一边，∴60COD ∠=︒，COD △是正三角形，∴26366COD S S CO ==⨯△ 设O ⊙的半径为r ，则23333r =，∴2r =，∵AB 是外切正方形的一边，∴90AOB ∠=︒，OA OB =， ∴2222AB OC r ===．测试2. ⑴ 半径为5的弧长等于半径为2的圆周长，则这条弧所对的圆心角的度数是______________．⑵ 若一扇形的弧长为12π，圆心角为120︒，则扇形的面积为_____________．【解析】 ⑴ 设弧所对圆心角的度数为n ，则5π22π180n=⨯， ∴144n =︒．⑵ 设扇形的半径为R ，则120π12π180R=，∴18R =∴212018π108π360S ⨯==扇形．测试3. 如图，有六个等圆按图()()()a b c 、、三种样式摆放，使相邻两圆互相外切，圆心连线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形，圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S P Q ，，，则（ ）(c )(b )(a )A. S P Q >>B. S Q P >>C. S P Q >=D. S P Q ==【解析】 D课后测。
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圆和正多边形的有关计算(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2０1５·凉山州期末)☉O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是 ( )A．∶2 ﻩB．1∶１ C.1∶ﻩﻩ D.∶【解析】选Ａ.如图所示,连接CO,过点O作OE⊥CD于点E,四边形AMNB是☉Ｏ的外切正方形,☉O切ＡB于点C,△CFD是☉O的内接正三角形,设圆的外切正方形的边长为a,则CO=,∠ＯＣＥ＝３０°，∴ＣE＝·coｓ3０°=,∴☉Ｏ的内接正三角形的边长为2EC＝,∶a＝∶２．2.（2０1５·广州越秀区期末)如图,ＡＢ与☉O相切于点B,OA=2,∠OAB＝３0°,弦ＢC∥OA,则劣弧的弧长是( )A.ﻩﻩﻩＢ.ﻩﻩＣ.ﻩﻩ D.【解析】选Ｂ．连接ＯB，OC，∵AB为☉O的切线,∴∠ABO=９０°，在Rt△ＡBO中，OA=２,∠ＯAB=3０°,∴ＯB=1,∠AOB=6０°,∵ＢC∥OＡ,∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB＝OＣ,∴△BOC为等边三角形,∴∠BＯＣ＝６0°,则劣弧的长为=.3．如图，☉O为正五边形ＡＢCＤE的外接圆,☉O的半径为2,则的长为（ )A.ﻩﻩB.ﻩC.ﻩＤ.【解析】选D.如图所示,∵☉O为正五边形AＢCDE的外接圆,☉Ｏ的半径为2,∴∠AOB==72°，∴的长为:=.【知识拓展】正n边形的有关计算(1)边长:ａｎ=２Ｒn·ｓin.(2)周长：P n=n·aｎ．(3)边心距:r n＝Rｎ·cos．（4)面积:Sｎ=aｎ·ｒn·ｎ.(5)每一个内角的度数为.（6)每一个外角的度数为.(7)中心角的度数为.4.如图,正方形ＡＢＣＤ中,分别以B,Ｄ为圆心,以正方形的边长a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为（ )A．πaﻩ B.２πaC.πaD.３a【解析】选A．∵四边形ABＣD是正方形,∴∠Ｂ=∠D=９0°．则扇形AＢＣ的弧长为ｌ=＝aπ,同理可求扇形ＡDC的弧长为aπ,∴树叶形图案的周长为aπ×2=πa.【一题多解】选A.由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周长的一半，∴树叶形图案的周长为×２πa=πａ.【互动探究】若求阴影部分的面积呢?提示：S阴影＝２×＝a2．二、填空题（每小题４分,共12分）５．如图所示,正六边形AＢＣDＥF内接于☉O，若☉Ｏ的半径为4,则阴影部分的面积等于___＿＿___.【解析】正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角形，阴影部分的面积转化为扇形ＯBD的面积,即为圆面积的.阴影部分的面积为=π．答案:π如图,在扇形ＯAB中,∠ＡOB=90°,半径OA=6,将扇形OAB沿过点B 的直线折叠,点Ｏ恰好落在上点D处,折痕交OA于点Ｃ,求整个阴影部分的周长和面积.【解析】连接ＯＤ,∵将扇形OＡB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上点D处,∴ＯB＝BD,OC=CＤ.又∵ＯD＝OB，∴△OＢD是等边三角形，∴C阴影部分=+AC+ＣD+BD＝3π＋12.∵△OBD是等边三角形，∴∠DＢＣ=∠ＯＢC＝30°．在Ｒt△ＯＣＢ中,tan∠OBC＝=,∴OC＝tａn30°×6=2.∴S阴影=S扇形OAＢ-2S△OＣB=-2×=9π-1２．6.如图,在△ABＣ中，ＡB=4cm,ＢＣ＝2ｃm,∠ABC=30°,把△ＡBC 以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到ＡB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是_______＿cm2.【解析】根据旋转的性质和全等三角形的性质可知,AC边扫过的图形(图中阴影部分）的面积=扇形BＡA′与扇形BCC′的面积差，为×（42－22)=5π(cm2)．答案：5π7.（２0１5·密云期末)如图,边长为1的正方形ABＣＤ放置在平面直角坐标系中,顶点A与坐标原点O重合,点B在x轴上.将正方形ABＣD沿x轴正方向作无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时,D 点的坐标是________,Ｄ点经过的路径的总长度是________;当点D 第20１4次落在x轴上时，D点经过的路径的总长度是______＿_.【解析】如图,正方形ABCＤ每滚动４次为一个周期,当点Ｄ第一次落在x轴上时,正方形ＡＢCD滚动2次，D点的坐标是(3,０);D点经过的路径的总长度是+=π.每一个周期中D点经过的路径的总长度是+×2=π,当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是:2013×π+π=π.答案：(3,0）ππ三、解答题（共22分)8．（6分)(2015·官渡期末)如图,已知☉Ｏ的半径为8ｃm,点A为半径OB延长线上一点,射线AＣ切☉O于点C,的长为.求∠ＡOC的度数和线段AＣ的长.【解析】设∠AOC=n°；＝,解得:n=60,∴∠AOC=6０°．∵AC切☉O于点Ｃ，∴∠ACＯ=9０°,∴∠A=９0°-∠AＯC=30°，∴AO=2OＣ=16,∴AC=＝＝8．9．（7分)（20１5·南昌期末）如图,边长为4ｃm的等边△ＡBC与☉O等高（即高与直径相等),☉O与BC相切于点C,☉Ｏ与ＡＣ相交于点E．求:(１）ＣＥ的长.(2）阴影部分的面积.【解析】(１)连接ＯC,并过点Ｏ作ＯF⊥CE于F,且△ABC为等边三角形,边长为4,故高为２,即OC=,又∠ＡＣB=60°,☉O与ＢC相切,∴OＣ⊥ＢC,故有∠ＯCF＝30°，在Rt△OFＣ中,可得OF=,ＦＣ=,即CE＝3.（2)连接OE,S阴影=S扇形OCE-S△OＣE=-×3×=π-. 【知识拓展】与直角三角形有关的计算公式(1)直角三角形外接圆半径等于斜边的一半（R=）．(2)直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半（r=）.（3)直角三角形两条直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积,即ａb＝ch．10．(9分)(20１5·龙岩期末)如图,△ＡＢC中,AB=AC,以AB为直径的☉O,交ＢC于点D,交AC于点F,过点D作ＤＥ⊥AC,垂足为Ｅ．(1)求证:=.(2）求证:DE为☉O的切线．(3)若CＥ=2，∠BAC=60°，求由ＤC,CF与所围成图形的面积Ｓ．【解析】(１）连接AD.∵AB为☉Ｏ的直径,∴∠ＡDB=90°,即AＤ⊥BＣ．∵ＡＢ＝AC，∴∠CＡD=∠ＢAD，∴=,(2）连接ＯD.∵ＡB为☉O的直径,∴AO＝BO．∵AD⊥BC,AB=AC,∴CD=DB．∴OD是△ABC的中位线，∴ＯD∥ＡC,∵ＤＥ⊥ＡC,∴OＤ⊥ＤE.∵ＯD是半径,∴DE为☉O的切线.(3）连接ＯF.∵AＢ＝ＡC,OF＝OＡ,∠BAC=60°,∴△AＢC,△AFO都是等边三角形．∴∠AFＯ=∠C=60°.∴ＯF∥CD.∵OＤ∥AＣ,∴四边形DCFO是平行四边形.∵OD＝OF,∴四边形DCFO是菱形.∴∠C=∠FOD=60°,OＤ＝DC＝CF．∵ＤE⊥ＡC,∴ＤC=2CE=４=OD=CF,∴ＤE==２.∴S=S四边形DCＦO-S扇形FＯＤ＝４×2－=8-π.【备选习题】1.（20１４·内蒙古中考)如图，菱形ABCD的对角线ＢD，AC分别为2,2,以点B为圆心的弧与ＡＤ，DC相切,则阴影部分面积为（ )A.2-πＢ．4-πC.2-πﻩD.4-π【解析】选Ａ.如图,连接AC,BD,相交于点Ｏ,设以B为圆心的弧与AD相切于E点,连接BE，则ＢE⊥AＤ,∵菱形ABCD的对角线BD,ＡＣ分别为２,２，∴S菱形ABCD＝·AC·ＢD＝×2×2=2,在Ｒt△ＡOＤ中，∵tａn∠DＡO＝=＝,∴∠ＤAＯ=3０°,∠ABC=120°,∴∠ＤAＢ=2∠DAＯ=６０°,∴△AＢＤ是等边三角形,∴BＥ=OA=，∴S扇形=·π·（)2=π，∴阴影部分的面积是S菱形ABCD-Ｓ扇形=2-π.2.(２014·河北中考）如图，将长为8ｃｍ的铁丝AB首尾相接围成半径为２cm的扇形,则Ｓ扇形=＿___＿_＿_cm2.【解析】由题意可知扇形的弧长为:l＝4ｃm,所以S扇形＝lｒ＝×4×２=4ｃm2．答案：４3.（2014·荆门中考)如图,在▱ＡＢCD中,以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E,延长BＡ与☉A相交于点F.若的长为,则图中阴影部分的面积为＿＿__＿＿__. 【解析】连接AＣ,设☉Ａ的半径为R,∵CD切☉Ａ于点C,∴ＡC⊥ＣD,即∠ACD=90°，在▱AＢＣD中,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD=９０°，∵ＡＢ＝AC，∴△BAC是等腰直角三角形,∠B=45°,∵AD∥BC,∴∠FAＤ＝∠Ｂ=45°，又∵的长为,∴＝,解得R=２,∵∠Ｄ=∠Ｂ=４5°,∴△ＡCＤ也是等腰直角三角形，即AC＝CD＝Ｒ=2,∠CAD=4５°,∴S阴影=S△AＣD-S扇形ACE=×２×2-=2－．答案:2－４.（2014·抚顺中考)如图，在矩形AＢCD中,E是CD边上的点,且BＥ＝BA,以点A为圆心、AD长为半径作☉A交AＢ于点M,过点B作☉A的切线BF,切点为Ｆ.(1)请判断直线ＢＥ与☉A的位置关系,并说明理由.(2)如果AＢ=10,BC=5,求图中阴影部分的面积．【解析】（1)过点A作AG⊥BE,垂足为G,连接AE．∵四边形ＡＢCＤ是矩形,∴AＢ∥CＤ,∠BAE=∠AED．又BE=ＢA,∴∠BAE＝∠ＡＥＢ,即∠BAE=∠ＡＥＧ.∴∠AEG＝∠AＥD.又∵∠AＧE=∠AＤE=90°,AE=AE，∴△ＡEG≌△ＡＥD（AAＳ).∴AG=AD.∴直线BE与☉A相切.(2)连接AF,∵ＢF与ＢG都是☉A的切线,由切线长定理得,△ABF≌△AＢＧ，∠ＢAF＝∠ＢAＧ,于是S阴影=S△ＡＢF－S扇形AＭＦ=S△ABG －S扇形AMG.由（1)知,ＡG=AD,∴AG=AD＝BＣ=5．在Rt△ＡBG中,AＧ＝５,ＡB=１0,∴∠ABＧ=３０°,∠BＡＧ＝6０°.∴ＢG=AＢ·cｏｓ∠ABG=１0×=5.∴S阴影=S△ABG－S扇形AMG=×5×5-=-．5．(20１4·昆明中考)如图，在△ABC中,∠ABC=9０°,Ｄ是边AＣ上的一点,连接BD,使∠A＝２∠1,E是BC上的一点,以ＢE为直径的圆O经过点Ｄ.(１)求证:AC是☉Ｏ的切线.(2)若∠A=60°,☉O的半径为２,求阴影部分的面积(结果保留根号和π).【解析】(１)连接OD,OＢ=OＤ,则∠１＝∠ＢDO,∴∠ＤOＣ=2∠1=∠A,在Rt△ABC中,∠Ａ+∠Ｃ＝９0°，即∠ＤOC＋∠C=90°∴∠OＤC＝９0°,即OＤ⊥DC．∴AＣ为☉O的切线.(2）当∠Ａ=60°时,即在Rt△OCＤ中,∠C=30°,OD=r＝2．∴∠DOC=6０°,ＣＤ=2.∴S△ODC＝ＯD×DC=2,S扇形==,∴S阴影=Ｓ△ＯDC-Ｓ扇形=２－.。