运筹学_分支定界法
分支定界算法
分支定界 (branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界算法：按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。
2 ．最小耗费或最大收益分支定界算法：在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。
如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。
又称分支定界搜索法。
过程系统综合的一类方法。
该法是将原始问题分解，产生一组子问题。
分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。
如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。
分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。
用该法寻求整数最优解的效率很高。
将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。
分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。
运筹学_分支定界法
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且 为 整 数 x1 , x 2 0 且 为 整 数
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且 为 整 数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
分支定界法概述（1）
分支定界法概述（1）分枝定界-简介分枝定界（branch and bound）是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-节点的扩充方式。
每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。
当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。
在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。
从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。
分枝定界-方法有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点（虽然也可能存在其他的方法）：1) 先进先出（F I F O）即从活节点表中取出节点的顺序与加入节点的顺序相同，因此活节点表的性质与队列相同。
2) 最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。
如果查找一个具有最小耗费的解，则活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费的活节点；如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用最大堆来构造活节点表，下一个E-节点是具有最大收益的活节点。
分枝定界-例子例5-1 【迷宫老鼠】考察图16-3a 给出的迷宫老鼠例子和图1 6 - 1的解空间结构。
使用F I F O分枝定界，初始时取（1，1）作为E-节点且活动队列为空。
迷宫的位置（1 , 1）被置为1，以免再次返回到这个位置。
（1，1）被扩充，它的相邻节点（1，2）和（2，1）加入到队列中（即活节点表）。
为避免再次回到这两个位置，将位置（1，2）和（2，1）置为1。
此时迷宫如图1 7 - 1 a所示，E-节点（1，1）被删除。
节点（1，2）从队列中移出并被扩充。
检查它的三个相邻节点（见图1 6 - 1的解空间），只有（1，3）是可行的移动（剩余的两个节点是障碍节点），将其加入队列，并把相应的迷宫位置置为1，所得到的迷宫状态如图17-1b 所示。
节点（1，2）被删除，而下一个E-节点（2，1）将会被取出，当此节点被展开时，节点（3，1）被加入队列中，节点（3，1）被置为1，节点（2，1）被删除，所得到的迷宫如图17-1c 所示。
运筹学课件第三节分支定界法
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
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运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结
运筹学基础(中文版第10版)哈姆迪塔哈课后习题答案解析
运筹学基础（中文版第10版）哈姆迪塔哈课后习题答案解析第一章线性规划模型1.1 线性规划的基本概念1.请解释线性规划模型的基本要素以及线性规划模型的一般形式。
答：- 线性规划模型的基本要素包括决策变量、目标函数、约束条件。
- 线性规划模型的一般形式如下：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 01.2 线性规划模型的几何解释1.请说明线性规划模型的几何解释。
答：线性规划模型在几何上可以表示为一个多维空间中的凸多面体（可行域），目标函数为该多面体上的一条直线，通过不同的目标函数系数向量c，可以得到相应的最优解点。
通过多面体的边界和顶点，可以确定最优解点的位置。
如果可行域是无限大的，则最优解点可以在其中的任何位置。
1.3 线性规划模型求解方法1.简要说明线性规划模型的两种求解方法。
答：线性规划模型可以通过以下两种方法进行求解： - 图形法：根据可行域的几何特征，通过图形方法确定最优解点的位置。
- 单纯形法：通过迭代计算，逐步靠近最优解点。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法。
第二章单变量线性规划2.1 单变量线性规划模型1.请给出单变量线性规划模型的一般形式。
答：Max/Min Z = cxSubject to:ax ≤ bx ≥ 02.2 图形解法及其应用1.请解释图形解法在单变量线性规划中的应用。
答：图形解法可以直观地帮助我们确定单变量线性规划模型的最优解。
通过绘制目标函数和约束条件的图像，可以确定最优解点的位置。
对于单变量线性规划模型，图形解法特别简单，只需要绘制一条直线和一条水平线，求解它们的交点即可得到最优解点的位置。
分支定界法原理简介
分支定界法原理简介分支定界法是一种广义搜索算法，人工使用非常繁琐，但由于计算机的运算速度快的特点，这种算法十分适合计算机进行。
分支定界法是计算机最擅长的广义搜索穷举算法。
基本思想：1. 松弛模型的最优解要优于其相应的整数规划的解由于松弛模型可行解的区域（多边形）包含了对应的整数规划的可行解的集合（多边形内的整数点），因而松弛模型的解要优于整数规划的解。
这就是说，如果问题是求最大值的，则松弛模型最优解对应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是求最小值的，则松弛模型的最优解对应的目标函数值必小于或等于整数规划最优解对应的目标函数值。
由此可以推出：2. 松弛模型的最优解如果是整数解，则必然也是整数规划的最优解。
3. 松弛模型的最优解如果不是整数解，则如果问题是求最大值的，松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个上界；如果问题是求最小值的，则松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个下界。
我们用例子来说明用分支定界法求解整数规划的步骤。
例 求下面整数规划的最优解1212121212max 4090s.t. 975672070 ,0x ,Z x x x x x x x x x =++≤+≤≥为整数解 从上述各约束条件可见，是一个可行解，对应的松弛模型目标函数值。
本问题是一个求最大值的问题，因而整数规划最优解的目标函数的下界可以取为0，即取整数规划模型最优值的下界(0,0)0Z =0Z =。
先考虑此整数规划问题的线性松弛模型0：其解为 松弛模型0 0123564.811.82Z x x ===由于松弛模型解的目标函数值是整数规划模型最优值的一个上界，可以取此处的0Z 为整数规划模型最优值的一个上界356Z =。
由于该松弛模型解不是整数解，分原问题为和两个子模型：子模型1和子模型2。
14x ≤15x ≥子模型1子模型2 14≤x 15≥x1123494.002.10Z x x ===2123495.001.57Z x x ===子模型1的形式： 121212112max 4090s.t. 975672070 4x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≤≥子模型2的形式：121212112max 4090s.t. 975672070 5x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≥≥所求整数规划模型的最优值不会超过这两个子模型的最优值中大的那个，即349。
分支定界法知识
分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有子结点；2 ．在产生的子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
分支定界法本质还是一种枚举法，但是是隐枚举法。
它是整数规划领域中非常重要的一类算法思想。
是很多重要算法的源头。
它能解决的实际问题很多，最著名的一个应该就是求解背包问题。
定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。
这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。
算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。
如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。
否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。
第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。
这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。
否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。
另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。
第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。
对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。
第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。
分支定界法——精选推荐
分⽀定界法分⽀定界法（branch and bound）是⼀种求解离散数据组合的最优化问题。
该算法执⾏的效率取决于你所找的问题解空间的上下界，如果找到⼀个很紧凑的上下界进⾏剪枝操作，该算法的执⾏效率会⾮常⾼，因此它是最有可能在多项式时间内求解NP问题的算法。
使⽤分⽀定界算法的⼀般步骤为：构造⼀棵搜索树，该搜索树指的是所有解空间，因此通过遍历该搜索树可以遍历到所有的解；构造问题解的上下界，上界⼀般为之前求出的最优解，下界为⽆约束条件下当前搜索路径的最优解，上下界的主要作⽤是对搜索树进⾏剪枝；通过回溯法遍历搜索树，并且不断更新上下界，如果当前解的下界已经超过上界，则进⾏剪枝；遍历结束时，所求的解为最优解。
接下来通过⼀个实例来讲解分⽀定界算法：某公司于⼄城市的销售点急需⼀批成品，该公司成品⽣产基地在甲城市。
甲城市与⼄城市之间共有 n 座城市，互相以公路连通。
甲城市、⼄城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。
每段公路均由地⽅政府收取不同额度的养路费等费⽤，具体数额由矩阵 M2 给出。
请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到⼄城市的最短运送路线。
(题⽬来源：北航研究⽣算法课)⾸先构造⼀棵搜索树，该搜索树并不需要显⽰的构建，⽽是在搜索过程中所遵循的⼀种搜索规则。
对于上述问题，以甲城市为根节点构建⼆叉树，其它节点由剩余城市表⽰，树的左⼦树表⽰当前路径包含该⽗节点，树的右⼦树表⽰当前路径不包含该⽗节点。
如图所⽰该搜索路径所表⽰的实际路径为1-3-4，即路径中不包含城市2。
然后分析该问题解的上下界：搜索路径的上界为当前已经求出的满⾜条件的最短路径长度。
搜索路径的下界为当前路径长度与⽆约束条件下路径终点到城市⼄的最短路径长度之和。
若上界⼤于下界，则可以继续搜索；若上界⼩于下界，则表⽰⽆更优解，此时可进⾏剪枝操作。
其中⽆约束条件下的任意点到城市⼄的最短路径长度可以使⽤Dijkstra或Floyd算法预先求出。
分支定界法步骤
分支定界法步骤嘿，咱今儿个就来唠唠这分支定界法的步骤。
你说这分支定界法啊，就像是在一个迷宫里找出口，得一步步来，还得有策略呢！首先呢，得有个目标函数，就像你要去一个地方，得知道往哪儿走才是对的呀。
然后根据这个目标函数，把问题给划分成一个个小部分，这就好比把迷宫分成了好多条路。
接下来，就开始在这些小部分里探索啦。
咱得给每个部分设定一个界限，就像给每条路设个关卡一样，超过了这个界限，咱就先不考虑啦。
这一步可得仔细咯，不能马虎。
然后呢，咱就选择一个最有希望的部分继续深入。
这就像在迷宫里选了一条感觉最有可能走到出口的路。
沿着这条路走啊走，看看能不能找到更好的结果。
要是在这个过程中发现了一个比之前更好的解，那可就太棒啦！赶紧把它记下来，这说不定就是咱要找的答案呢。
有时候啊，走着走着发现路走不通了，咋办呢？那就得换条路试试呀，不能在一棵树上吊死嘛。
这分支定界法啊，就像是一场冒险，每一步都充满了未知和挑战。
你得有耐心，还得有智慧，才能在这复杂的迷宫里找到正确的方向。
你想想看，要是没有这一步步的分析和探索，那岂不是像无头苍蝇一样乱撞呀？那可不行，咱得有方法，有策略地去解决问题。
在实际应用中，这分支定界法可帮了大忙呢！它能帮我们解决很多复杂的问题，让我们能更高效地找到最优解。
所以说呀，这分支定界法的步骤可真不简单，每一步都得认真对待。
就像建房子一样，一砖一瓦都得放好，才能建成坚固的大厦。
咱在运用分支定界法的时候，也得这样，一步一个脚印，踏踏实实地去做，才能得到满意的结果呀！你说是不是这个理儿呢？。
运筹学 第三节 分支定界法
的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原
线性规划问题的最优解的目标函数值更大。如果这两个问
题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，
继续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过
程称为“分支（Branch）”。
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每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于 或等于分支前问题的最优解的目标函数值。非整数解的 最大值作为新的上界。
意图），并设最优解位于C。如
果这个最优解中所有的变量都
是整数，则已经得到整数规划
的最优解。如果其中某一个变 量Xr不是整数，则在可行域中 X2
除去一块包含这个最优解但不 E
包含任何整数解的区域
DC
Ir<Xr<Ir+1（其中Ir是变量Xr
的整数部分），线性规划的可
行域被划分成不相交的两部分，
分别以这两部分区域作为可行
Z=4
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不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
X1 ，
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说明: 1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解 的2个最优解更好的解。 2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标函 数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子 问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分 支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数 值大于上界，则停止分支。
分支定界法的步骤
分支定界法的步骤
步骤一：如果问题的目标为最小化，则设定最优解的值Z=∞；
步骤二：根据分枝法则（Branching rule），从尚未被洞悉（Fathomed）节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的节点；
步骤三：计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）；
步骤四：对每一节点进行洞悉条件测试，若节点满足以下任意一个条件，则此节点可洞悉而不再被考虑，此节点的下限值大于等于Z值。
已找到在此节点中，具最小下限值的可行解；若此条件成立，则需比较此可行解与Z值，若前者较小，则需更新Z值，以此为可行解的值。
此节点不可能包含可行解；
步骤五：判断是否仍有尚未被洞悉的节点，如果有，则进行步骤二，如果已无尚未被洞悉的节点，则演算停止，并得到最优解。
Kolen等曾利用此方法求解含时间窗约束的车辆巡回问题，其实验的节点数范围为6-15。
当节点数为6时，计算机演算所花费的时间大约1分钟（计算机型为VAZ11/785），当节点数扩大至12时，计算机有内存不足的现象产生，所以
分枝定界法比较适用于求解小型问题。
Held和Karp指出分枝定界法的求解效率，与其界限设定的宽紧有极大的关系。
分支定界算法
分支定界算法
分支定界算法是一种全局最优解的搜索算法，它通过对搜索空间的分割和剪枝来求解最优解。
它是一种分支限定法，可以在多种优化问题中应用，用于求解最优解，如最大化目标函数、最小化目标函数等。
分支定界算法的基本思想是：在搜索空间中选择一个基本变量（未知变量），然后根据某种启发式规则，将它分成两个子空间，从而有效地减少搜索空间。
接着，对子空间中的每一个变量尝试求解，最终求得一个最优解。
分支定界法的优点在于可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。
分支定界法常用于解决复杂的优化问题，如最优路径搜索、最优调度等。
它可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。
虽然分支定界法可以有效地解决复杂的优化问题，但它也存在一定的局限性。
首先，搜索空间的大小会影响求解的效率，如果搜索空间太大，分支定界法就不能有效地求解最优解；其次，分支定界法要求基本变量的取值范围可以被明确定义，否则难以进行搜索；最后，分支定界法对于高维变量的搜索也不太友好。
分支定界法是一种有效的搜索算法，可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率，广泛应用于多种优化问题中，而且它还有一定的局限性。
分支定界法的步骤包含一下
分支定界法的步骤包含一下
步骤一：问题建模
首先，需要将原问题转化为组合优化问题，并确定优化目标。
例如，
可以将问题表示为一个最大化或最小化的目标函数，并确定变量的取值范围。
步骤二：初始化树
将原问题构建成一个树，其中每个节点代表问题的一个子问题。
开始时，树中只有根节点，而且根节点对应于原问题。
步骤三：选择分支
从树中选择一个节点来进行分支。
分支就是根据一些约束条件在一个
节点上拆分成多个子节点。
通常，选择一个约束条件，将问题拆分成两个
或多个子问题。
选择哪个分支方式取决于问题的性质和具体情况。
步骤四：剪枝
分支定界法的关键是剪枝，也就是剔除一些子问题和节点，以减少空间。
剪枝的原则是，如果一个子问题的最优解已经被找到并且它无法改进，那么可以剪去这个子问题的整个树。
这是因为在找到一个更优解之前，任
何不完整的解都不是最优解。
步骤五：线性松弛
在分支定界法中，可以使用线性松弛来计算目标函数的下界。
线性松
弛就是将问题中的约束条件进行线性化，从而得到一个更容易求解的松弛
问题。
通过求解松弛问题，可以得到问题的下界。
步骤六：最优解
按照上述步骤反复递归地划分、剪枝和线性松弛，直到树为空或无法再分出更多的子问题为止。
在的过程中，维护一个全局变量来记录当前已经找到的最优解。
通过比较每个子问题的上界和已经找到的最优解，可以确定是否需要进一步该子问题。
步骤七：输出最优解
当树为空时，找到了全局最优解。
可以根据过程中维护的最优解记录来输出最优解。
运筹学分支定界法知识点
运筹学分支：定界法知识点运筹学是一门研究优化问题的学科，旨在通过系统地分析和解决现实中的决策问题。
在运筹学中，定界法是一种常用的解决复杂问题的方法。
本文将介绍定界法的基本概念、步骤和应用。
1. 定界法的基本概念定界法是一种通过分析问题的上下界来缩小解空间的方法。
它通过不断确定上界和下界，逐步缩小可行解的范围，最终找到最优解或者一个接近最优解的解。
在定界法中，上界是指问题的一个可行解的上界限，即找到的某个可行解的最大值。
下界是指问题的一个可行解的下界限，即找到的某个可行解的最小值。
通过不断更新上下界，定界法可以逐步缩小搜索空间。
2. 定界法的步骤定界法的步骤可以概括为以下几个关键步骤：步骤1：建立数学模型首先，需要将实际问题转化为数学模型。
数学模型是问题的数学描述，包括目标函数和约束条件。
步骤2：确定上界确定上界是通过求解问题的松弛形式来实现的。
松弛形式是问题的一种更简单的形式，它放宽了一些约束条件，使问题更容易求解。
通过求解松弛形式，可以得到问题的上界。
步骤3：确定下界确定下界是通过求解问题的一些特殊情况来实现的。
通过求解特殊情况，可以得到问题的一个可行解，从而确定问题的下界。
步骤4：更新上界和下界根据已知的上界和下界，可以进一步缩小搜索空间。
通过一些启发式的方法，可以逐步更新上界和下界，从而缩小解空间。
步骤5：重复步骤2至步骤4定界法是一个迭代的过程，需要不断重复步骤2至步骤4，直到找到最优解或者接近最优解。
3. 定界法的应用定界法在实际问题中有广泛的应用，特别是在组合优化、排程问题和资源分配问题等领域。
例如，在生产调度问题中，可以使用定界法来确定最短调度时间。
首先，可以通过求解松弛形式来确定一个上界，即一个较短的调度时间。
然后，通过求解特殊情况来确定一个下界，即一个较长的调度时间。
通过不断更新上界和下界，可以逐步缩小调度时间的范围，最终找到最优的调度方案。
另一个例子是在资源分配问题中，可以使用定界法来确定最优的资源分配方案。
分支定界法
s.t.xr br
x 0, x为整数
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 分枝方法示意图
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 定界
1. 当前得到的最好整数解的目标函数值
2. 分枝后计算松弛的线性规划的最优解
➢ 整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有 最好解
➢ 整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分 支其中无最优解
➢ 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分 支
➢ 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删 除该分支其中无最优解
2. 分枝定界法计算步骤
2. 分枝定界法计算步骤-例题
❖
例3.3.1
minZ
( x1
x2 )
s.t.44
x1 x1
2x2 2 x2
1 11
2x2 1
x1x2 整数
例x3.(33,5.) 1z 解 4答 0
T0
z z 3x52xz(2,1()1,332.2)5xx((xPP2))(21.25,12) (2Px) (P1 ) (xP(x)P1) 3 x 无解(2,x32) 2无z 解(P )72 5 1 5 13 T T 1 3 115 T 2 3 12 1 6 2 2 T 2 4
1. 分枝定界法基本思想ห้องสมุดไป่ตู้
分枝
最优值比界坏
舍弃
最优解为整数 最优值比界好
最优解为非整 数最优值比界好
分 枝 边界
1. 分枝定界法基本思想续
0
N
I
B1N
cB B1b B 1b
xr br Z
br xr br 1
1. 分支定界法基本思想续
❖ 分枝的方法 min c x
运筹学解题方法技巧归纳
运筹学解题方法技巧归纳运筹学是一门研究如何进行有效决策和优化问题求解的学科。
在运筹学中，有许多解题方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种实际问题。
本文将对运筹学解题方法技巧进行归纳总结。
1. 线性规划：线性规划是解决线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题的方法。
线性规划常用的求解方法有单纯形法和内点法。
在使用单纯形法求解时，我们需要将问题转化为标准形式，并通过迭代的方式逐步逼近最优解。
内点法是一种更加高效的求解方法，它通过迭代算法在可行域的内部寻找最优解。
2. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，将决策变量的取值限制为整数的一种扩展。
整数规划的求解方法有分支定界法和割平面法。
分支定界法通过不断分割问题的可行域，并对每个子问题进行求解，从而逐步逼近最优解。
割平面法则通过添加一系列割平面约束来缩小可行域，并最终找到最优解。
3. 动态规划：动态规划是一种用于求解具有特定结构的最优化问题的方法。
它适用于那些可以通过子问题的最优解来构造整个问题最优解的情况。
动态规划的求解过程包括问题建模、状态定义、状态转移方程的确定和最优解的推导。
通过动态规划，我们可以高效地解决一些需要考虑历史决策和未来影响的问题。
4. 排队论：排队论是研究顾客到达和排队等待的现象以及如何有效组织排队系统的数学方法。
排队论可以用于优化客户服务水平和资源利用率等问题。
常用的排队论模型有M/M/1队列模型、M/M/c队列模型和M/G/1队列模型等。
在解决排队论问题时，我们需要确定顾客到达的规律、服务的规律以及排队系统的性能指标，从而确定最优的排队策略。
5. 调度问题：调度问题是指在给定约束条件下，合理安排任务的顺序和时间，从而使得整个系统达到某个性能指标的最优化问题。
常用的调度问题模型有单机调度、流水线调度和车间调度等。
解决调度问题时，我们需要考虑任务之间的先后关系、任务执行时间和资源约束等因素，通过建立相应的数学模型，找到最优的调度方案。
分支定界
5 x1 7 x2 35 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 2 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 问题 B 2 ： 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 3 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0, 全部为整数 1 2
解 :step1
确定与整数规划问题（记为问题 A）对应的松
弛线性规划问题 (记为问题 B)：
max z 2 x1 3 x2
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0 1 2
i 1, 2, , p
则约束条件组可表示为
n aij x j bi Myi , i 1, 2,, p j 1 p yi p q i 1 y 0,1; i 1, 2,, p i
例 3.4.2 固定支出问题 考察 n 种产品的产品计划问题。假定生产某种产品 j 就 发生单位可变成本 c j ，另外，不管产品 j 生产多少，还需 支出固定成本 k j ，但若不生产产品 j 也就无需支出固定成 本。因此，如何制定产品计划，使得总生产成本最小。
step2 先求出问题 B 的解，用单纯形方法得 问题 B 的最优解为：
x1 3
12 17
,
x2 2
6 17
,
* z0
14
8 17
step3
用观察法找问题 A的—个整数解，一般可取
x1 0, x2 0 ，进行试探，求得其目标函数值 z 0 ，以 z * 表示问题
A 的最优目标函数值；这时有 0 z* 14 8 step4
分支定界法
分支定界法分支定界法是一种基于数学理论的模型，它可以帮助我们做出最优的决策。
其基本概念是，首先通过给定一个目标函数，对其进行最优化，然后根据这个函数的极值，将其分割成不同的子区域，并依次在每个子区域内选择最优的结果。
在分支定界法的实践中，每个子区域内，我们都可以计算出最优的结果。
从此，如果我们需要做出一个明智的决定，就可以从这些子区域中选择最优的结果。
分支定界法的应用非常广泛，可以用于求解某些领域的优化问题，比如机器学习和运筹学等。
在机器学习领域，它可以用于求解某些非线性优化问题；在运筹学领域，它可以用于求解复杂的线性规划和非线性规划问题。
分支定界法的基本原理如下，首先建立一个数学模型，确定其中的目标函数以及约束条件；然后，利用最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法将最优解正确地确定在子空间中，即定界子空间，从而减少最优问题的搜索空间。
分支定界法的实现过程是：首先，根据求解问题，建立目标函数及约束条件；然后，通过最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法来确定最优解在子空间中的正确位置，从而减少搜索空间。
分支定界法具有很多优势，最主要的优势就在于可以大大减少求解最优解的搜索空间，这样可以大大提高求解最优解的效率，也可以有效避免解决问题时出现“陷入局部最优”的情况。
另外，分支定界法还可以更好地提高算法的可靠性，可以有效避免过拟合或欠拟合问题，也可以有效地减少数据的噪声影响。
分支定界法目前已经得到了广泛的应用，比如无约束优化问题、有约束优化问题、最短路径问题、线性规划问题、非线性规划问题等都可以使用分支定界法来求解。
另外，分支定界法还可以用于多目标优化问题，如多目标规划、多约束优化问题、多目标贝叶斯优化问题等。
总之，分支定界法是一种模型，它可以帮助我们做出最优的决策，并可以应用在求解复杂的优化问题中。
它的优势在于可以帮助我们更好地求解最优解，也可以避免出现陷入局部最优的情况，且可以更好地提高算法的可靠性，可以有效的减少计算的噪声影响，因此受到广泛的应用。
分支定界法
分支定界法求解整数规划时，如果可行域是有界的,首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，对于变量数较小的情况，这种方法是可行的，也是有效的。
对于大型问题,可行的整数组合数是很大的，穷举法是不可取的。
我们一般仅检查可行的整数组合的一部分,就能定出最优的整数解。
分支定界法(branch and bound method)就是其中一种。
分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
在20世纪60年代由Land Dakin和Dakin等人提出。
由于这方法灵活且便于计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B 开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数*z的上界,记作z;而A的任意可行解的目标函数值将是*z的一个下界Z。
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小z和增大Z, 最终求到*z。
下面以实例来说明算法的步骤：例1 求解下面整数规划解：先不考虑条件⑸，求解相应的线性规划问题L，得最优解x=4.81，2x=1.82，0z=356（见图）1x=4.81，对问题L分别增加约束条件：该解不是整数解。
选择其中一个非整数变量，如1≤4，≥5 将问题L分解为两个子问题，（分枝），也就是去掉问题L不含整数解的一部分可行域，将原可行域D变为、两部分（如图）因为没有得到整数解，所以继续对L1进行分解，增加约束：≤2，≥3 将分解成问题与，并求得最优解如下：问题的解已是整数解，它的目标值=340，大于问题L4的目标值，所以问题已无必要再分枝。
但由于问题的目标值大于，分解还有可能产生更好的整数解，因此继续对分枝。
增加约束≤1，≥2 将分解成问题与，并求解，结果如下：问题的，所以不必分解了；问题无可行解，于是可以断定问题的解：=4.00，=2.00即为最优整数解。
整个分枝定界过程如下图所示：用分枝定界法求解整数规划的步骤可总结如下：步骤1：求解与整数规划相对应的线性规划L，若L无可行解，则整数规划也没有可行解，计算停；若L 的最优解是整数解，则该解即为整数规划的最优解，计算停；若L的最优解不是整数解，则转步骤2。
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x1 x2 2
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
x1, x2 0且为整数
x1 x2 2
(IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x1, x2 0且为整数
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
(
LP
)
n j 1
aij
x
j
bi
(i 1.2m)
x j 0, ( j 1.2m)
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
max Z x1 5x2
x1 x2 2
5x1 6x2 30
x1
4
x1, x2 0且全为整数
记为（IP）
LP x1=18/11, x2=40/11
A
⑶ x1 4
1
3
x1
x1 5x2 Z
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
3
x1
1
x1, x2 0且为整数
此时B 在点取得最优解。
1
x1＝1, x2 =3, Z(1)＝16
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路
n
max Z c j x j j 1
考虑纯整数问题：
(
IP)
n
aij x j
j 1
bi
(i 1.2
m)
x
j
0,(
j
1.2
n)且为整数
n
max Z c j x j
j 1
整数问题的松弛问题：
(LP)
n
aij x j
j 1
bi
(i 1.2
m)
x
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=？, x2=？
Z(1) ＝？
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
3
x1
1
x1, x2 0且为整数
1
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
x1 x2 2
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
x2
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
max Z x1 5x2
3
x1 x2 2
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
⑶ x1 4
3
A B
⑶ x1 4
1
3
x1
x1 5x2 Z
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=？, x2=？
Z(1) ＝？
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x1, x2 0且为整数
在C 点取得最优解。 即x1＝2, x2 =10/3, Z(2) ＝56/3≈18.7
⑵ 5x1 6x2 30
x2
⑴ x1 x2 2
A
3
BC
⑶ x1 4
1
1
3
x1
x1 5x2 Z
x1
x1 5x2 Z
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
x2
即Z 也是（IP）最大值的上限。
max Z x1 5x2
3
x1 x2 2
5xx11 6x2
30 4
x1, x2 0
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
(18/11,40/11)
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
求（LP2） ,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x1, x2 0且为整数
⑵ 5x1 6x2 30
x2
⑴ x1 x2 2
A
B 3
⑶ x1 4
1
1
3
x1
x1 5x2 Z
求（LP2） ,如图所示。
＃
LP212 x1=3, x2=5/2 Z(212) ＝15.5
＃
例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
max Z x1 5x2
x1 x2 2
5x1 6x2 30
x1
4
x1, x2 0且全为整数
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
max Z x1 5x2
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1
x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
⑶ x1 4
3
x1
x1 5x2 Z
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
x2
即Z 也是（IP）最大值的上限。
对于x1＝18/11≈1.64，
3
取值x1 ≤1， x1 ≥2
对于x2 =40/11 ≈3.64， 取值x2 ≤3 ，x2 ≥4
先将（LP）划分为（LP1）和 （LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
(18/11,40/11)
⑶ x1 4
3
x1
x1 5x2 Z
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2，有下式：
max Z x1 5x2
max Z x1 5x2
j
0,(
j
1.2
n)
n
max Z c j x j j 1
考虑纯整数问题：
(Leabharlann IP)n j 1aij
x
j
bi
(i 1.2m)
x
j
0, (
j
1.2m)且为整数
整数问题的松弛问题：
判断题：整数问题的最优 函数值总是小于或等于其 松弛问题的最优函数值。
n
max Z c j x j j 1
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
＃
LP2 x1=2, x2=10/3
Z(2) ＝18.5
x2≤3
x2≥4
x1≤2
LP21 x1=12/5, x2=3 Z(21) ＝17.4
x1≥3
LP22 无可 行解
＃
LP211 x1=2, x2=3 Z(211) ＝17