运筹学_分支定界法
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＃
LP212 x1=3, x2=5/2 Z(212) ＝15.5
＃
例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
max Z x1 5x2
x1 x2 2
5x1 6x2 30
x1
4
x1, x2 0且全为整数
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
max Z x1 5x2
⑶ x1 4
3
x1
x1 5x2 Z
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
x2
即Z 也是（IP）最大值的上限。
对于x1＝18/11≈1.64，
3
取值x1 ≤1， x1 ≥2
对于x2 =40/11 ≈3.64， 取值x2 ≤3 ，x2 ≥4
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1
x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
先将（LP）划分为（LP1）和 （LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
(18/11,40/11)
⑶ x1 4
3
x1
x1 5x2 Z
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2，有下式：
max Z x1 5x2
max Z x1 5x2
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=？, x2=？
Z(1) ＝？
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
3
x1
1
x1, x2 0且为整数
1
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路
n
max Z c j x j j 1
考虑纯整数问题：
(
IP)
n
aij x j
j 1
bi
(i 1.2
m)
x
j
0,(
j
1.2
n)且为整数
n
max Z c j x j
j 1
整数问题的松弛问题：
(LP)
n
aij x j
j 1
bi
(i 1.2
m)
x
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x1, x2 0且为整数
在C 点取得最优解。 即x1＝2, x2 =10/3, Z(2) ＝56/3≈18.7
⑵ 5x1 6x2 30
x2
⑴ x1 x2 2
A
3
BC
⑶ x1 4
1
1
3
x1
x1 5x2 Z
A
⑶ x1 4
1
3
x1
x1 5x2 Z
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
3
x1
1
x1, x2 0且为整数
此时B 在点取得最优解。
1
x1＝1, x2 =3, Z(1)＝16
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
A B
⑶ x1 4
1
3
x1
x1 5x2 Z
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=？, x2=？
Z(1) ＝？
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
x1 x2 2
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
x1, x2 0且为整数
x1 x2 2
(IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x1, x2 0且为整数
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
求（LP2） ,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x1, x2 0且为整数
⑵ 5x1 6x2 30
x2
⑴ x1 x2 2
A
B 3
⑶ x1 4
1
1
3
x1
x1 5x2 Z
求（LP2） ,如图所示。
x1 x2 2
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
x2
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
max Z x1 5x2
3
x1 x2 2
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
⑶ x1 4
3
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
＃
LP2 x1=2, x2=10/3
Z(2) ＝18.5
x2≤3
x2≥4
x1≤2
LP21 x1=12/5, x2=3 Z(21) ＝17.4
x1≥3
LP22 无可 行解
＃
LP211 x1=2, x2=3 Z(211) ＝17
j
0,(
j
1.2
n)
n
max Z c j x j j 1
考虑纯整数问题：
(
IP)
n j 1
aij
x
j
bi
(i 1.2m)
x
j
0, (
j
1.2m)且为整数
整数问题的松弛问题：
判断题：整数问题的最优 函数值总是小于或等于其 松弛问题的最优函数值。
n
max Z c j x j j 1
(
LP
)
n j 1
aij
x
j
bi
(i 1.2m)
x j 0, ( j 1.2m)
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
max Z x1 5x2
x1 x2 2
5x1 6x2 30
x1
4
源自文库
x1, x2 0且全为整数
记为（IP）
LP x1=18/11, x2=40/11
x1
x1 5x2 Z
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
x2
即Z 也是（IP）最大值的上限。
max Z x1 5x2
3
x1 x2 2
5xx11 6x2
30 4
x1, x2 0
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
(18/11,40/11)
LP212 x1=3, x2=5/2 Z(212) ＝15.5
＃
例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
max Z x1 5x2
x1 x2 2
5x1 6x2 30
x1
4
x1, x2 0且全为整数
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
max Z x1 5x2
⑶ x1 4
3
x1
x1 5x2 Z
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
x2
即Z 也是（IP）最大值的上限。
对于x1＝18/11≈1.64，
3
取值x1 ≤1， x1 ≥2
对于x2 =40/11 ≈3.64， 取值x2 ≤3 ，x2 ≥4
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1
x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
先将（LP）划分为（LP1）和 （LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
(18/11,40/11)
⑶ x1 4
3
x1
x1 5x2 Z
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2，有下式：
max Z x1 5x2
max Z x1 5x2
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=？, x2=？
Z(1) ＝？
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
3
x1
1
x1, x2 0且为整数
1
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路
n
max Z c j x j j 1
考虑纯整数问题：
(
IP)
n
aij x j
j 1
bi
(i 1.2
m)
x
j
0,(
j
1.2
n)且为整数
n
max Z c j x j
j 1
整数问题的松弛问题：
(LP)
n
aij x j
j 1
bi
(i 1.2
m)
x
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x1, x2 0且为整数
在C 点取得最优解。 即x1＝2, x2 =10/3, Z(2) ＝56/3≈18.7
⑵ 5x1 6x2 30
x2
⑴ x1 x2 2
A
3
BC
⑶ x1 4
1
1
3
x1
x1 5x2 Z
A
⑶ x1 4
1
3
x1
x1 5x2 Z
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
3
x1
1
x1, x2 0且为整数
此时B 在点取得最优解。
1
x1＝1, x2 =3, Z(1)＝16
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
A B
⑶ x1 4
1
3
x1
x1 5x2 Z
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=？, x2=？
Z(1) ＝？
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
x1 x2 2
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
x1, x2 0且为整数
x1 x2 2
(IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x1, x2 0且为整数
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
求（LP2） ,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x1, x2 0且为整数
⑵ 5x1 6x2 30
x2
⑴ x1 x2 2
A
B 3
⑶ x1 4
1
1
3
x1
x1 5x2 Z
求（LP2） ,如图所示。
x1 x2 2
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
x2
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
max Z x1 5x2
3
x1 x2 2
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
⑶ x1 4
3
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
＃
LP2 x1=2, x2=10/3
Z(2) ＝18.5
x2≤3
x2≥4
x1≤2
LP21 x1=12/5, x2=3 Z(21) ＝17.4
x1≥3
LP22 无可 行解
＃
LP211 x1=2, x2=3 Z(211) ＝17
j
0,(
j
1.2
n)
n
max Z c j x j j 1
考虑纯整数问题：
(
IP)
n j 1
aij
x
j
bi
(i 1.2m)
x
j
0, (
j
1.2m)且为整数
整数问题的松弛问题：
判断题：整数问题的最优 函数值总是小于或等于其 松弛问题的最优函数值。
n
max Z c j x j j 1
(
LP
)
n j 1
aij
x
j
bi
(i 1.2m)
x j 0, ( j 1.2m)
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
max Z x1 5x2
x1 x2 2
5x1 6x2 30
x1
4
源自文库
x1, x2 0且全为整数
记为（IP）
LP x1=18/11, x2=40/11
x1
x1 5x2 Z
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
x2
即Z 也是（IP）最大值的上限。
max Z x1 5x2
3
x1 x2 2
5xx11 6x2
30 4
x1, x2 0
⑵ 5x1 6x2 30 ⑴ x1 x2 2
(18/11,40/11)