(河北衡水重点中学)高考数学总复习必修5

三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

——颜真卿BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论4，由正弦定理BbA a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。

2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bcac b A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理【了解】：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp qc p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++ 2（2）海伦公式：因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2 (1-cos 2A)=41b 2c 21614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2cb a p ++= 所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、基础例题【必会】1．面积法例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O 点发出的三条射线满足βα=∠=∠QOR POQ ,，另外OP ，OQ ，OR 的长分别为u, w, v ，这里α，β，α+β∈(0, π)，则P ，Q ，R 的共线的充要条件是.)sin(sin sin wv u βααβ+=+ 【证明】P ，Q ，R 共线ORQ OPQ OPR ΔPQR S S S S ∆∆∆+=⇔=⇔0 sin 21uv ⇔(α+β)=21uwsin α+21vwsin β vu w αββαsin sin )sin(+=+⇔，得证。

2．正弦定理的应用例2 如图所示，△ABC 内有一点P ，使得∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB 。

求证：AP ·BC=BP ·CA=CP ·AB 。

【证明】 过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，F ，则P ，D ，C ，E ；P ，E ，A ，F ；P ，D ，B ，F 三组四点共圆，所以∠EDF=∠PDE+∠PDF=∠PCA+∠PBA=∠BPC-∠BAC 。

由题设及∠BPC+∠CPA+∠APB=3600可得∠BAC+∠CBA+∠ACB=1800。

所以∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB=600。

所以∠EDF=600，同理∠DEF=600，所以△DEF 是正三角形。

所以DE=EF=DF ，由正弦定理，CDsin ∠ACB=APsin ∠BAC=BPsin ∠ABC ，两边同时乘以△ABC 的外接圆直径2R ，得CP ·BA=AP ·BC=BP ·AC ，得证：例3 如图所示，△ABC 的各边分别与两圆⊙O 1，⊙O 2相切，直线GF 与DE 交于P ，求证：PA ⊥BC 。

【证明】 延长PA 交GD 于M ，因为O 1G ⊥BC ，O 2D ⊥BC ，所以只需证.21AEAFAO A O MD GM == 由正弦定理βπαπsin )2sin(,sin )1sin(AEPA AF AP =∠-=∠-，三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。

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——颜真卿所以.sin sin 2sin 1sin αβ⋅∠∠=AF AE另一方面，2sin sin ,1sin sin ∠=∠=PMMD PM GM βα， 所以βαsin sin 1sin 2sin ⋅∠∠=MD GM ， 所以AE AF MD GM =，所以PA//O 1G ， 即PA ⊥BC ，得证。

3．一个常用的代换：在△ABC 中，记点A ，B ，C 到内切圆的切线长分别为x, y, z ，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4 在△ABC 中，求证：a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y ，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)zx yz xy ⋅⋅≥8=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)-2abc.所以a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。

例5 设a, b, c ∈R +，且abc+a+c=b ，试求131212222+++-+=c b a P 的最大值。

【解】 由题设=b acca -+1，令a=tan α, c=tan γ, b=tan β,则tan β=tan(α+γ), P=2sin γsin(2α+γ)+3cos 2γ≤31031031sin 32≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--γ， 当且仅当α+β=2π，sin γ=31，即a=42,2,22==c b 时，P max =.310 例6 在△ABC 中，若a+b+c=1，求证: a 2+b 2+c 2+4abc<.21【证明】 设a=sin 2αcos 2β, b=cos 2αcos 2β, c=sin 2β, β⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0π.因为a, b, c 为三边长，所以c<21, c>|a-b|，从而⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πβ，所以sin 2β>|cos 2α·cos 2β|.因为1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca), 所以a 2+b 2+c 2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin 2βcos 2β+sin 2αcos 2α·cos 4β·cos2β =41[1-cos 22β+(1-cos 22α)cos 4βcos2β] =41+41cos2β(cos 4β-cos 22αcos 4β-cos2β) >41+41cos2β(cos 4β-sin 4β-cos 2β)=41. 所以a 2+b 2+c 2+4abc<.21三、趋近高考【必懂】1．（全国10高考）在△ABC 中，cos210922=+=c c b A ，c ＝5，求△ABC 的内切圆半径． 【解析】：∵ c ＝5，1092=+c c b ，∴ b ＝4 又cos 2c c b A A 22cos 12+=+= ∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222 ∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形． a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．2．（全国10高考）R 是△ABC 的外接圆半径，若ab ＜4R 2cos A cos B ，则外心位于△ABC 的外部． 【解析】：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

——颜真卿∵ cos(A ＋B )＝-cos C ∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．3．（全国10高考）半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a -b )sin B ． (1)求角C ；(2)求△ABC 面积的最大值． 【解析】：(1)∵ RC cB b A a 2sin sin sin ===R bB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴ ∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴ 2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b2 ∴ a 2-c 2＝3ab -b 2 ∴232222=-+ab c b a ∴ cos C ＝23，∴ C ＝30°(2)∵ S ＝21ab sin C ＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝R 2sin A sin B ＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］ ＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值第二章 数列*******毋庸置疑，数列是历年各省市解答题中必出的内容。

因此同学要熟练百倍！一、基础知识【理解去记】定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。

其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。