菱形的判定PPT

菱形的判定
教学目标：
1.回顾菱形的定义及性质。 2.探索并掌握菱形的判定方法。 3.能利用菱形的判定方法解决实
际问题。
自学指导：
• 快速阅读课本p23—p24 思考：
我们可以根据菱形的定义 来判定一个四边形是菱形，除 此之外，你还能找到其他的判 定方法吗？
理论学习
1.菱形的性质 A 角 对角相等；邻角互补
∴ △AOF≌△COE ∴ AF=CE 又AF∥CE ∴四边形AFCE是平行四边形
∴平行四边形四边形AFCE是菱形
例2.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，
DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, EH⊥AC于H, FG⊥AB
于G.GF,EH相交于P.
A
求证：四边形PEDF是菱形。
证明：连接AD G
∴平行四边形四边形AFCE是菱形
例1.已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂
直平分线与边AD,BC分别交于E,F。
求证：四边形AFCE是菱形。
A 3
FD 1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 O
证明：平行四边形ABCD中
B
2 E
4 C
AD∥BC ∴∠1=∠2，∠3=∠4
EF垂直平分AC ∴AO=CO,AC⊥EF,
求证： 四边形ABCD是菱形
D
证明： ∵ AB=CD，BC=DA ∴四边形ABCD为平行四边形 A
O C
(两组对边分别相等的四边形为平行四边形) B
又∵AB=BC ∴平行四边形ABCD是菱形
(有一组邻边相等的平行四边形为菱形)
新 课 3、菱形的判定的证明
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知： 在□ ABCD中，对角线AC⊥BD于点O
∴ △BME≌ △CDM ∴BM=CM 是菱形
小结
我学会了什么？
求证：四边形AFCE是菱形。
A 3
FD 1
四条边都相等的四边形是菱形
O
证明：平行四边形ABCD中
AD∥BC
B
2 E
4 C
∴∠1=∠2，∠3=∠4
EF垂直平分AC ∴AO=CO,AF=CF,AE=CE
∴ △AOF≌△COE ∴ AF=CE
∴ AF=CF=AE=CE
∴四边形AFCE是菱形
例1.已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂
∴ □ ABCD是菱形
A
C
B
理论学习
2、菱形的判定 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义 ). (2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形,
使用判定定理是要注意基础图形是 四边形还是平行四边形
新 课 3、菱形的判定的证明
2.四条边都相等的四边形是菱形
已知： 在四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA
求证： □ ABCD是菱形
D
证明：在□ ABCD中
AO=CO ，BO=DO
O
A
C
又∵AC⊥BD B
∴BD为AC的中垂线
∴AB=AD (垂直平分线的性质)
∴ □ ABCD是菱形.
（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
思考与探索
你能用直尺和圆规作一个菱形吗？ 请作图并说明理由。
归纳
A
B
平行四边形 邻边相等 D
直平分线与边AD,BC分别交于E,F。
求证：四边形AFCE是菱形。
A 3
FD 1
一组邻边相等的平行四边形是菱形
O
证明：平行四边形ABCD中
B
2 E
4 C
AD∥BC ∴∠1=∠2，∠3=∠4
EF垂直平分AC ∴AO=CO,AF=CF,
∴ △AOF≌△COE ∴ AF=CE 又AF∥CE ∴四边形AFCE是平行四边形
边 对边平行且四条边都相等
D O
C B
对角线 互相垂直平分且每条对角线 平分一组对角
对称性 轴对称图形 ；中心对称图形
注意:菱形的面积等于其对角线乘积的一半 S 1
2 菱形ABCD= AC×BD
理论学习
2. 菱形的判定 菱形判定1.（定义）
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
几何语言： D
∵ 在□ ABCD, AB=BC
四边形AEMD是菱形?请给予证明. A
证明：∵EM∥AC,DM∥AB
∴四边形AEMD是平行四边形
D
若EM=DM,则□AEMD是菱形
E
∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C
又∵EM∥AC,DM∥AB ∴∠BEM=∠EMD=∠MDC
B
C
M
∴当M为BC
在△BME和△CMD中
的中点时，
∠B=∠C, ∠BEM=∠CDM, EM=DM 四边形AEMD
D
C AD=DC
A 平行四边形
B对角线互相垂直
D
DA
C
AC⊥BD
四边形 B 四边相等 D
D
AD=DC=CB=BA
AC

四边形 O
B对角线互相垂直平分D AC⊥BD,AO=CO,BO=DO
C
A
O
B
CA
O
B
AC
O
B
CA
O
B
C
例1.已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂
直平分线与边AD,BC分别交于E,F。
（3）邻角相等的四边形是菱形； X
（4）有一组邻边相等的四边形是菱形；
X
练习
（5）两组对角分别相等且对角线互相垂直 的四边形是菱形；
（6）对角线互相垂直的四边形是
菱形； X
（7）对角线互相垂直平分的四边形是 菱形；
（8）一条对角线平分一个内角的平行四边 形是菱形。
练习
• 2.下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣ Ｄ为菱形的是（ C ）．
DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， A
求证：AD⊥EF。 证明：∵DE∥AC ,DF∥AB
E
12
F
∴四边形AEDF是平行四边形
3
∵DE∥AC ∴ ∠2=∠3 B
D
C
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠3
∴ AE=DE
∴ □AEDF是菱形
∴ AD⊥EF
练习
1、判断下列命题是否正确，并说明理由： （1）对角线互相平分且邻边相等的四边 形是菱形； （2）两组对边分别平行且一组邻边相等 的四边形是菱形；
∵△ABC中，AB=AC, D为BC的中点
∴AD平分∠BAC
E
H
P F
∵DE⊥AB ,DF⊥AC ∴DE=DF B D C ∵ DE⊥AB , FG⊥AB ∴∠DEG=∠FGA=90° ∴DE∥FG 同理可证∴DF∥EH
∴四边形PEDF是平行四边形
∴四边形PEDF是菱形。
例3.如图，已知AD是△ABC的角平分线，
• Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分
• Ｂ、AB=BC=CD=DA
• Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
• Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
A
D
O
B
C
3、如图, 在△ABC中, AB=AC, 点M在边BC上,
过点M分别作AB、AC的平行线, 与AC、AB分别
相交于点D、E. 当点M位于BC的什么位置时,