大学物理第一章机械振动

第四部分 振动、波动和波动光学

第1章 机械振动

一．基本要求

1．掌握简谐振动的定义和特征，以及描述简谐振动的三个特征量：振幅、圆频率和初相位，学会简谐振动的判断方法。

2．掌握简谐振动的三种描述方法——解析法、曲线法以及旋转矢量法，并能从这些描述中确定简谐振动的特征量，能用旋转矢量法分析有关问题。

3．了解简谐振动的能量特点。

4．掌握两个同方向、同频率简谐振动的合成，能计算合成振动的振幅和初相位。

5．理解两个同方向、不同频率简谐振动的合成，了解“拍”的定义。 6．了解受迫振动和共振。 7．了解非线性振动的基本概念。

二．容提要和学习指导

（一）简谐振动的定义（简谐振动的判据）

1．简谐振动的运动学定义：物体离开平衡位置的位移满足

0cos()x A t ωϕ=+

2．简谐振动的动力学定义：物体受到的合外力满足 kx F -= （k 常数）

3．用运动微分方程定义：0222=+x dt

x

d ω

由这一定义可以推广简谐振动的概念：一个物理量x （可以是力学量、电学量、磁学量等）如果满足上述微分方程，就可称物理量x 作简谐振动．

（二）简谐振动的三个特征量

1．振幅A ：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值，其值由振动的初始条件

（即0t =时物体的位移0x 和速度0v ）决定 2

020⎪⎭

⎫

⎝⎛+=ωv x A ；

2．频率ν（圆频率ω、周期T ）：表征物体振动的快慢，由振动系统的固有性质决

定，三者之间的关系为 2,2T π

ωνω

π

=

=

３．相位0t ϕωϕ=+（初相位0ϕ）

①相位完备地描述质点的振动状态．振动状态和相位之间一一对应，也就是说知道了任一时刻质点振动的相位，就知道了这一时刻质点的位置、速度和加速度．关于这一点可从位移、速度和加速度的表达式中看出：

0cos()x A t ωϕ=+，0sin()v A t ωωϕ=-+，

20cos()a A t ωωϕ=-+；

其中初相0ϕ由初始条件决定 0

00

arctan(

)v x ϕω-=。 ②相位可用来比较两个同频率简谐振动的步调。设有两个简谐振动

111cos()x A t ωϕ=+， 222cos()x A t ωϕ=+， 则两者间的相位差与步调的关系为

（三）简谐振动的描述方法

当采用某种方法描述简谐振动时，此方法必须能很好地体现简谐振动的三个特征量．

1．解析法：0cos()x A t ωϕ=+ 2．曲线法(x t -曲线)

如图1.1所示，x -t 曲线的峰值表示振

图1.1

ω

幅；运动状态完全相同的最邻近两点之间的时间间隔表示周期；t =0时，0x 以及0v 的正负可以确定初相位。

3．旋转矢量法

表示方法如图1.2所示．在旋转矢量法中很直观地体现了简谐振动的三个特征量：旋转矢量A 的模表示振幅A ；任意t 时刻，旋转矢量A 与x 轴的夹角0t ωϕ+表示t 时刻的相位；旋转角速度ω表示圆频率．

注意：用旋转矢量法能够很方便地判断振动的相位，关于这一点将在习题解答与分析中加以说明，请务必掌握．

（四）简谐振动的能量特征 1．振子的动能 2222011

sin ()22k E mv m A t ωωϕ=

=+ 2．振子的势能 222011cos ()2

2

p E kx kA t ωϕ==+ 3．振子的总能 22

1kA E E E p k =+=

结论：①振动系统的动能和势能是时间的周期函数，其周期为位移周期的一半。②在振动过程中，系统的动能和势能相互转换：动能最大时，势能最小；动能最小时，势能最大．在整个过程中系统的机械能守恒．

（五）简谐振动的合成

１．同方向、同频率简谐振动的合成：1110cos()x A t ωϕ=+，

2220cos()x A t ωϕ=+；

合振动：0cos()x A t ωϕ=+（仍为简谐振动，且与分振动的频率相同）

其中

A =，

1

110220

0110220

sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ-+=+；

2．同方向、不同频率简谐振动的合成

1110cos()x A t ωϕ=+ ， 2220cos()x A t ωϕ=+， 合振动： 2010

2010

21

21

2cos(

)cos(

)2

2

2

2

x A t t ϕϕϕϕωωωω-+-+=+

+

① 合振动不是简谐振动；

② 若21ωω≈，即1212ωωωω->>+，合振幅

2010

21()2cos(

)22

A t A t ϕϕωω--=+；