勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的几种证明方法
我们刚刚学了勾股定理这重要的知识，老师告诉我们，勾股定理的证明方法非常得多，其数量之大足可以撰写出一部书来，我对知识的探求欲望被激发了出来，随即到网络上查找了勾股定理的证明方法，现在我收集到了几种。

【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即
ab
c ab b a 21
4214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.
这是课本上面为我们提供的毕达哥拉斯的证明方法，我在网络上查阅资料发现：毕达哥拉斯是
西方公认的发现勾股定理的数学家，因此，我们可以在外国的一些资料上发现，勾股定理在西方被称为毕达格拉斯定理。

【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21
.
把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线
上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c2.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴ ()2
22
14c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
这个证明对我来讲也很好理解，它利用了全等三角形的性质和因式分解的知识，这对于我们初
二的学生来说，是能够领会的。

【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB .
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，
∴ ABCD 是一个边长为c
∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.
∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2
a b -.
∴ ()2
2
214c a b ab =-+⨯. ∴ 2
22c b a =+.
赵爽的证明课本上也给出了，它不仅仅是单纯的对勾股定理的证明，更体现了我国古人在知识探求上的不懈努力和卓越成就。

【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21
.
把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
它的面积等于221c
.
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC.
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2
21
b a +.
∴ ()2
2212122
1
c ab b a +⨯=+. ∴ 2
2
2
c b a =+.
就连美国总统也给出了一种证明，这难道不能说明勾股定理的普遍性么？其中还有一个故事。

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的
平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了上面介绍的简洁的证明方法。

【证法5】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点 L.
∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于2
21a
，
ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
∴ 矩形ADLM 的面积 =2
a .
同理可证，矩形MLEB 的面积 =2
b .
∵ 正方形ADEB 的面积
= 矩形ADLM 的面积 + 矩形
∴ 222b a c += ，即 2
22c b a =+.
欧几里德的经典证明方法！！！！！！！！！！
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【证法6】（利用相似三角形性质证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，
∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .
AD ∶AC = AC ∶AB ，
即 AB AD AC •=2
.
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2
.
∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 2
22c b a =+.
这个证明非常好啊，郑樑成天和我讲相似三角形，这也是妙处之所在啊！
【证法6】（利用反证法证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分
别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
假设222c b a ≠+，即假设 2
22AB BC AC ≠+，则由
AB AB AB •=2=()BD AD AB +=
BD AB AD AB •+• 可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2
. 即 AD ：
AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .
在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，
∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则
K
∠ADC ≠∠ACB .
在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，
∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，
∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.
这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，2
22AB BC AC ≠+的假设不能成立.
∴ 2
22c b a =+.
与上题有异曲同工之妙！
从上面的六种证明里面，我们不难看出：每一种定理都凝聚了前人的努力与智慧，每一种定理都少不了前人对知识的不懈探究，每一种定理都蕴藏了前人独特的智慧……因此我们今天学习勾股定理，不但要学会利用它进行计算、证明和作图，更要学习和了解它的历史，了解其中体现出来的“形数结合”、“形数统一”的思想方法，这对我们今后的数学发展和科学创新都将具有十分重大的意义。

从这一次论文的写作里面，我不仅学到了许多勾股定理的证明方法，扩展了视野，积累了知识，而且更重要的是，明白了严谨、坚持不懈的数学精神，这对我的今后的学习和生活都将有重要的好的影响。