北京四中八年级下册数学三角形的中位线 知识讲解

三角形中位线定理

【学习目标】

1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．

2. 掌握中点四边形的形成规律.

【要点梳理】

要点一、三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个

小三角形的周长为原三角形周长的1

2

，每个小三角形的面积为原三角形

面积的1

4

.

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状

顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

【典型例题】

类型一、三角形的中位线

1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）

A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小

C．线段EF的长不变D．无法确定

【答案】C；

【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则

1

2

EF AR

，而

AR长不变，故EF大小不变.

【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．

举一反三：

【变式】如图，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.

【答案】5；

解：∵四边形OABC是长方形，

∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．

∵B点坐标为（3，2），

∴OA＝3，AB＝2．

∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，

∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．

∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．

2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC ＝6，则DF的长是（）

A．2 B．3 C.5

2

D．4

【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．

【答案解析】

解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点

∴DE∥AB

∴∠EDC＝∠ABC

∵BF平分∠ABC

∴∠EDC＝2∠FBD

在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD

∴∠DBF＝∠DFB

∴FD＝BD＝1

2

BC＝

1

2

×6＝3．

【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．

3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB

＝12，AC ＝18，求MD 的长．

【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．

【答案与解析】

解：延长BD 交AC 于点N ．

∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，

∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，

在△ABD 和△AND 中，

BAD NAD AD =AD

ADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩

＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)

∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．

∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，

∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，

∴ DM ＝

12CN ＝162

⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：

【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．

A ．先变大，后变小

B ．保持不变

C ．先变小，后变大

D ．无法确定

【答案】B ；

解： 连接AQ ．∵ E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点，

∴ EF 是△PAQ 的中位线，即AQ ＝2EF ．

∵ Q 是CD 上的一定点，则AQ 的长度保持不变，

∴线段EF的长度将保持不变．

4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；

（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】

（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；

（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．

【答案与解析】

解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF

∵点E为BC中点

∴EH为△ABC的中位线

∴EH∥AB，且EH=1

2

AB

同理FH∥DC，且FH=1

2

DC

∵AB=AC，DC=AC

∴AB=DC，EH=FH

∴∠1=∠2

∵EH∥AB，FH∥DC

∴∠2=∠4，∠1=∠3

∴∠4=∠3

∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°

∴∠AGE=∠GEC

∴四边形AGEC是邻角四边形

（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．

【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．

举一反三：