清华大学概率论与数理统计复习

的一个容量为n简单随机样本，求参数的极大
似然估计量。
这个题目和2005级 224学时的类似。
二、有关区间估计及假设检验方面的题型
考题（1 2009级 24学时） 四、(本题12分)测定某种溶液中的水分，它的10个 测定值给出样本均值为：x 0.452%, 样本均方差为：
s 0.037%,设测定值总体服从正态分布N(, 2 ),试在 5%显著水平下，分别检验假设（1）H0： 0.5%; （2）H0： 0.04%。
L( xi , ) 0, 其他。当xi ,(i 1, 2, , n)时，
L( xi , ) 0；取对数并求导得：
d ln L =2n 0,所以L单调增加。
d
因此当取x1, x2, , xn的最小值时，L( )取最大值。
所以的极大似然估计为ˆ min{ x1, x2, , xn}.
考题（5 2007级 32学时） 六、(本题10分)设随机变量X的概率密度为
i 1
得 d ln L = n
d
n i 1
ln
xi令
d ln L
d
0, 可得
n
n
ln Xi
i 1
故的最大似然估计量为 ˆ n n .
ln Xi
i 1
考题（8 2005级 224学时）
三、(本题8分)设X1, X2,
,
X
为总体的样本，
n
X的密度函数为：
f
(
x)
(1
)
0,
x
,
0 x 1, 1
题型分析
一、有关矩估计法及极大似然估计法方面的题型 考题（1 2009级 24学时） 五、(本题18分)设随机变量X的分布函数为：
F
(
x;
,
)
1
(
x
)
,
x ，其中参数 0, 1,
0,
x
设X1,
X
，
2
,
X n是来自X的简单随机样本，
（1）当 1时，求未知参数的矩估计量；
（2）当 1时，求未知参数的极大似然估计量；
x3
,
0,
似然函数为：
x x
L( )
n
f
(
xi
)
(
2n
x1 x2
2n
xn )3
,
xi ,(i 1, 2
, n)
i 1
0,
其它
当xi 时,越大，L( )越大，所以的极大似然估计 量为 ˆ min{ X1, X2, , Xn}
考题（2 2008级 24学时） 三、(本题14分)设随机变量X的概率密度为：
f
(
x)
2
x
2
,
0 x ，其中未知参数 0,
0, 其他
X1, , Xn是样本，求的矩估计和最大似然估计。
（此题和2008级的第三大题一样的.)
考题（6 2007级 64学时 作业P153 四）
七、(本题8分)设X1, , Xn为总体X的样本， X的密度函数为：
, 0 x 1 f ( x, ) 1 , 1 x 2；其中未知参数 0
（3）当 2时，求未知参数的极大似然估计量。
解：（1）当 1时，X的概率密度函数为：
f
(
x)
x 1
,
0,
x1 x1
E( X )
x f ( x)d x
1
x
x 1d x
1
X,
解得的矩估计量为ˆ X .
X 1
（2）似然函数为：
L( )
n
f
(
xi
)
(
x1 x2
n
xn )
1
n i 1
2 xi
2
2n
2n
n i 1
xi ，0
xi
,(i 1, 2,
, n)
而L( )是的单调减少函数，所以的极大似然估计
量为ˆ max{ X1, X2, , Xn}.
考题（3 2008级 48学时）
三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布， 其中 ( 0)未知，(X1, , Xn)为来自总体X的样本， 求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
,
xi 1,(i 1, 2
, n)
i 1
0,
其它
n
当xi 1时, 对数似然函数为ln L( ) nln ( 1) ln xi
i 1
令
d
ln L( ) d
n
n i 1
ln
xi
0
解得的极大似然估计量为ˆ n n
ln Xi
i 1
（3）当 2ຫໍສະໝຸດ Baidu，X的概率密度函数为：
f
(
x)
2 2
, 1
令 X，解得参数的矩估计量ˆ X .
1
X 1
n
2 似然函数为:L( xi , ) f ( xi , )
i 1
(
x1 x2
n
xn
)
1
,
xi 1(i 1, 2,
, n)
0,
其他
当xi 1(i 1, 2, , n)时，L( ) 0,取对数得
n
ln L( ) nln ( 1) ln xi , 两边对 求导，
f
(
x)
2
x
2
,
0 x ，其中未知参数 0,
0, 其他
X1, , Xn是来自X的样本，求（1）的矩估计；
（2）的极大似然估计。
解：1，E( X )
x f ( x)d x
0
2x2
2 dx
2
3
令1
E( X )
A1
X
2，
3
得ˆ 3 X为参数的矩估计量。
2
2 似然函数为:
L( xi , )
考题（7 2006级 32学时）
三、(本题14分)设总体X的概率密度为：
f
(
x,
)
x 1
,
0,
x 1, 其中未知参数 1,
x 1.
X1, , Xn为来自X的简单随机样本，
求（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量。
解：1，由于E( X )
x f ( x; )d x
1
x
x 1d x
考题（4 2008级 48学时）
七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为
f
(
x)
2e2( x
0,
),
x ，其中
其他
0为未知参数,
又设x1, , xn是X的一组样本观察值，求参数的
极大似然估计。
解：似然函数为:
n
L( xi , )
2n
e
2
i 1
(
xi
)
,
当xi
,(i
1, 2,
, n)；
0,
其他
设N为样本值x1, , xn中小于1的个数，求的极
大似然估计。
解：似然函数为:
n
L( xi , ) f ( xi , ) N (1 )nN
i 1
ln L() N ln (n N ) ln(1 )
令 d ln L = N n N 0, 解得：ˆ N
d 1
n
所以的极大似然估计为ˆ N n
其他
求参数的极大似然估计。
考题（9 2005级 256学时）
三、(本题8分)设X1, X2,
,
X
为服从泊松分布
n
()的总体X的一个样本，求的极大似然估计量。
考题1（0 2004级 32学时）
三、(本题8分)设总体X的概率密度为：
f
(
x)
(
1) 0,
x
,
0 x 1, 其它
其中 1是未知参数，X1, X2, , Xn为总体X