数学模型实验报告

数学模型实验报告

陈雪松20111002107 杨阳20111002106

廖圆圆20111002211

第二题

问题描述：一条河流和河湾与大湖相连，位于湾上游的小河是造成湾污染的主要因素，另有一座铝厂恰好建在湾旁,也造成污染。当湾中污染物平均浓度达到1.6mg/L时，铝厂将被迫暂时关闭。假使该湾的容量为4,000,000公升，流入和流出河湾的水流速度均为40,000公升/天，若当前该河湾水中的污染物浓度为0.8mg/L，河水中污染物的浓度为0.5mg/L。要求：

1）建立湾中水污染状况的模型；

2）计算30天后该河湾水的污染物浓度；

3）该河湾水的污染物浓度是否能达到一个稳定值？

4）如将4,000,000mg污染物瞬间排入河水中，求铝厂必须关闭多长时间？列出并讨论影响河湾污染的模型中未考虑到的因素至少四种。

模型假设：

（1）河湾污染物只有小河流入和铝厂排放两种流入方式，并且只有河流流出这一种排出方式；

（2）河湾的降水量和蒸发量相等，不考虑河湾自我净化等其他因素；（3）河流的污染物浓度稳定在0.5mg/L不变，流入河湾的污染物能以很快的速度与湖水均匀混合，也就是说任意时刻河湾污染物都是均

匀分布的；

（4）假设t 时刻河湾的污染物浓度为q （t ），初始时刻q （0）=0.8mg/ L ，河湾体积V=4000000 L ，河湾流水的流出量与流入量相等，均为40000L/天，铝厂每天向河湾中排放m mg 的污染物。

模型分析求解：

1） 设在不考虑铝厂关闭的前提下，t 时刻的污染物浓度为p （t ）。

在极短时间dt 内，河湾污染物浓度增加dp ，根据河湾中污染

物的改变量=输入量-输出量，得到微分方程：

V*dp=[m+40000(0.5-p)]*dt,化简即得：

dt dp =V

1*[m+40000(0.5-p)]……………………………………...(1) 代入数据V=4000000，并注意到初始条件p （0）=0.8，可以

解出p （t ）=0.5+40000m +c 100t -e ………………………………….(2) 其中常数c=0.3-40000

m 。下面开始考虑铝厂的关闭，当河湾浓度达到1.6时，铝厂将会关闭，这时因为流入的河水浓度为0.5，因此河湾污染物的浓度将会降低，当降到-

6.1时，铝厂又将开

放，这样浓度增加到 6.1时，铝厂将会关闭；如此循环，即浓度q （t ）将会在1.6附近波动，可视为浓度稳定在1.6。因此，河湾污染物的浓度q （t ）= min （1.6,p （t ））............................(3)其中p （t ）由(2)式给出。讨论m 的大小，可以得到q （t ）的4种大致情况，用matlab 画出，如下图所示。

0 m<12000

m=12000

12000

m 44000

2） 在(2)式中令t=30，即得到p （30）= 0.5+40000

m +c 103-e ,其中c 为常数且c=0.3-40000

m ，m 亦为常数,如前面所假设。 于是得到30天后的浓度q （30）=min(1.6,p （30）)。

3） 先考察(1)式所确定的常微分方程的平衡点及其稳定性。令F （p ）

= V*[m+40000(0.5-p)]=0，解出唯一一个平衡点0p =4000020000+m =0.5+40000

m 。同时因为对任意一个p ，有F ’（p ）=-40000<0,因此该平衡点0p 是稳定点。又注意到在(2)式中令

t →+∞,有p →0p ，对应1）问中第一，二，三个图像所对应的情

况。再考虑到铝厂可能关闭的条件，在m ≥44000时，浓度在某一时刻1t 将会达到1.6，这时铝厂暂时关闭，如（1）中的讨

论，这种情况下浓度将会稳定在1.6，即此时稳定点为1.6。综合上面的论述，我们得到河湾浓度q （t ）的稳定值lim q =min （1.6，0.5+40000

m ）。 4） 若在初始时刻，将4,000,000mg 污染物瞬间排入河水中，则初

始浓度1p （0）=1.8mg/L ，此时铝厂应该关闭，并且铝厂未开放

前q （t ）=1p （t ）。 类似于第一问的分析得铝厂关闭时的浓度方程为dt dp 1=V

1*40000*(0.5-1p )…..…………………………….(4)注意到1p （0）=1.8，解之得1p （t ）=1.3*100t

e -+0.5 (5)

因为当河湾中污染物的浓度小于等于1.6mg/ L 时，铝厂方可开

放，所以在(5)式中令1p （t ）=1.6，解出t=-100ln

3.11.1 16.7，

即铝厂必须关闭16.7天。

下面定性地来讨论以上未考虑到的其它因素。 自然净化：若考虑河湾的自然净化，设河湾中的微生物每天可以使1m mg 的污染物净化，则在(1)式中的中括号内添上一项-1m 即可，得到的方程为dt dp 2=V

1*[m+40000(0.5-p)- 1m ]………………………(6)并且初始条件为2p （0）=0.8。由（6）式以及q （t ）= min （1.6,

2p （t ）

）即可以确定污染物浓度的变化情况（求解从略）。 降水与蒸发：若考虑河湾的降水与蒸发因素，在降水量等于蒸发量的情形下，模型与（1）到（3）问中讨论的一致；在降水量大于蒸发量的情形下，会将污染物的浓度稀释，因此可能使污染物浓度的增加速度将会减慢，亦或可能会使污染物浓度下降；在降水量小于蒸发量的情形下，污染物的浓度会愈加增长，并且最终的稳定点的浓度值也会变大。

湖水的渗透：若考虑湖水的渗透，则湖中水的体积会随时间减少，由此直观的得到污染物的浓度会进一步上升。

人工处理：若人为的干预这个系统，即假设每天可以人工处理掉河湾中的2m mg 污染物，则与自然净化中类似的讨论，得到微分方程为dt dp 3=V

1*[m+40000(0.5-p)- 2m ]……….………………………...(7) 并且初始条件为3p （0）=0.8。由(7)式以及q （t ）= min （1.6, 3p （t ））即可确定在考虑人工处理河湾污染物的情形下其浓度变化情况。