估计量的评价标准幻灯片

三、相合性
定义 如果对0,有
ln im P{ˆn}0，
则 称 ˆn 是 的 相 合 估 计 量 。
即当 n时, ˆ(X1,X2, ,Xn)依概率收敛于 .
直观上看,当n增大时,样本信息增多,当然希望估计 量越来越靠近真值的概率也越来越大, 这种想法就 引出了上面的一致性概念. 一致估计量一般地是当 样本容量很大时,才能显示其优点.
E(B2)nn1D(X)，说 明 B 2是 D (X )的 有 偏 估 计 .
例1 设 总 体 X 服 从 均 匀 分 布 U (0,)， 试 证 的 矩 法 估 计 量 ˆ2X是 的 无 偏 估 计 量 。
证 E(ˆ)E(2X) 2E(X)2E(X) 2 .
2
例2 设 D (X ) 0 , E (X ), 试 问 X 2是 否 为 2
设 ( X 1 , ,X n )为 取 自 总 体 X 的 样 本 ，
E(X)E(X)，
说 明 X 是 总 体 均 值 E (X )的 无 偏 估 计 ；
样本方差 S2 n11in1(Xi X)2，E(S2)D(X)，
说 明 S 2 是 总 体 方 差 D ( X )的 无 偏 估 计 .
二阶中 B2 心 n 1i n1矩 (Xi X)2，
定义 设 总 体 有 一 未 知 参 数 ,样 本 (X1, ,Xn)， ˆ1,ˆ2 均 为 的 无 偏 估 计 ， 如 果
D(ˆ1)D(ˆ2)
则 称 ˆ1比 ˆ2有 效 。
例3 设 (X 1 ,X 2 ,X 3 )为 取 自 总 体 X 的 样 本 ,试 证 明 下 列 三 个 统 计 量 均 为 E X 的 无 偏 估 计 量 ， 并 比 较 有 效 性 .
E(ˆ2)(3 21 21 6)EXEX,
所 以 ˆ1 , ˆ2 , ˆ3 均 为 EX 的无 偏
E(ˆ3)(1 31 31 3)EXEX, 估 计 量 。
ˆ11 5X1130X21 2X3, ˆ23 2X11 2X21 6X3, ˆ31 3X11 3X21 3X3.
证 D (ˆ1)D (1 5X 11 3X 021 2X3)
由 切 比 雪 夫 大 数 定 律 ,对 0,有
ln i m Pn 1i n1Xi EX0，
可 知 X 是 E X 的 一 个 一 致 估 计 量 。
由辛钦大数定理可以证明，
S2n11in1(Xi X)2
是DX的一致估计量。
(191)D X0.3D 8X, 25104 0
D (ˆ2)(9 41 43 1)6 D X0.7D 2 X, 所 以 ˆ3 最 D (ˆ3)(1 91 91 9)D X0.3D 3 X. 为 有 效 。
定理 从正态总体X~N(,2) 中分别抽取容量
为n1和n2的两个相互独立的样本， 其样本方差分别为
的 无 偏 估 计 ？
证 E (X 2)D (X )[E (X )2 ]
1 D(X)2 2 ,
n
故 X2 不是2 的无偏估计。
二、有效性
一般来说,一个参数往往有多个无偏估计量.
若 有两个无偏估计量: ˆ1 ,ˆ2 , 则 ˆaˆ1bˆ2 当a+b=1时也是 的无偏估计量。
估计量的无偏性只保证了估计量的取值在参数 真值周围波动,但是波动的幅度有多大呢?自然的, 我们希望估计量波动的幅度越小越好,幅度越小,则 估计量取值与参数真值有较大偏差的可能性越小, 而衡量随机变量波动幅度的量就是方差.这样就有 了我们下面要介绍的有效性的概念.
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优选第二节估计量的评价标准
一、无偏性
估计量是随机变量, 对于不同的样本值就会得到 不同的估计值, 希望估计值在未知参数真值左右徘徊, 最好它的数学期望等于未知参数的真值, 这就导致了 无偏性这个标准。
定义 设 ( X 1 , ,X n )是 总 体 X 的 一 个 样 本 , ˆ ˆ ( X 1 , ,X n ) 是 未 知 参 数 的 估 计 量 , 如 果 有
ˆ11 5X1130X21 2X3, ˆ23 2X11 2X21 6X3,
ˆ31 3X11 3X21 3X3.
ˆ11 5X1130X21 2X3, ˆ23 2X11 2X21 6X3,
ˆ31 3X11 3X21 3X3.
证 E (ˆ1)E (1 5X11 3X 021 2X3)
(131)EXEX, 5 102
S12和S22 ，它们都是 2 的无偏估计。当 n1n2 时，
有D(S12)D(S22)。
此定理说明,增加样本容量可提高估计量的有效性。 有效性概念说明,在无偏估计量中,方差越小越
有效,那末,方差是否有下界呢？
Rao-Cramer不等式
Dˆ
nLeabharlann Baiduln
1
f (X;)2
取 到 等 号 时 , ˆ称 为 的 有 效 估 计 量 .
E(ˆ) ，
则 称 ˆ为的 无 偏 估 计 量 。
E(ˆ) ，
无偏估计量的含义是：ˆ 作为样本的函数 是一个随机变量，它在 的真值附近波动，但其 平均值恰好是 的真值。比如用一台秤去称物
品，误差有两个来源：一是秤本身制作结构上的 问题，这属于系统误差；另一种是操作上或其它 随机因素的干扰，这属于随机误差。无偏性即要 求没有系统误差。