常用的参数曲面

六、Bezier曲面

基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier 曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。

1．定义

设为个空间点列，则次张量积形式的Bezier曲面定义为：

其中，是Bernstein基函数。依次用线

段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。Bezier曲面的矩阵表示式是：

在一般实际应用中，不大于4。

2．性质

除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面：

（1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即

，，，。

（2）Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；

Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且

P00P10P01、、和（图打上斜线的三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的顶点及相邻两排顶点有关。

（3）几何不变性。

（4）对称性。

（5）凸包性。

3．Bezier曲面片的拼接

如图所示，设两张m×n次Bezier曲面片

分别由控制顶点和定义。

如果要求两曲面片达到连续，则它们有公共的边界，即：

于是有。

如果又要求沿该公共边界达到连续，则两曲面片在该边界上有公共的切平面，因此曲面

的法向应当是跨界连续的，即：

下面来研究满足这个方程的两种方法。

（1）鉴于式

，最简单的取解是：

这相当于要求合成曲面上v 为常数的所有曲线，在跨界时有切向的连续性。为了保证等式两边关于v 的多项式次数相同，必须取

（一个正常数）。于是有：

即

。

（2）方法一使得两张曲面片在边界达到

连续时，

只涉及曲面

和

的两

列控制顶点，比较容易控制。用这种方法匹配合成的曲面的边界，u 向和v 向是光滑连续的。但实际上它的限制是苛刻的。

为了构造合成曲面时有更大的灵活性，Bezier 在1972年应用了更具普遍性的连续

条件：

这仅仅要求

位于

和

所在的同一个平面内，也就是曲面片

边界上相应点处的切平面，这样就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的边界时就不再连续了。

同样，为了保证等式两边关于v 的多项式次数相同，须为任意正常数，是v 的

任意线性函数。

4．Bezier 曲面的de Casteljau 生成算法

Bezier 曲线的递推(de Casteljau)算法，可以推广到Bezier 曲面的情形。若给定Bezier 曲面特征网格的控制顶点

和一对参数值（u0,v0），则递推公式为：

⎪⎩

⎪⎨⎧==+-==+-===-+--+-)

,,2,1,()1()0;,,2,1()1()0(1

,1,01,,00,1,10,1,,n l m k vP P v l m k uP P u l k P P l m j l m j k j

i k ij ij l

k j

i

或

上面给出了确定Bezier 曲面上一点的两种方案。当按第一种方案执行时，先以u 参数值对控制网格u 向的n+1个多边形执行曲线de Casteljau 算法，m 级递推后，得到沿v 向由n+1

个顶点 构成的中间多边形。再以v 参数值对它执行曲线的de Casteljau 算法，n 级递推以后，得到一个 ，即所求曲面上的点 。也可以按第二式方案执行，

先以v 参数值对控制网格沿v 向的m+1个多边形执行n 级递推，得沿u 向由m+1个顶点

构成的中间多边形。再以u 参数值对它执行n 级递推，得所求点 。

七、 B 样条曲面 1．定义

基于B 样条曲线的定义和性质，可以得到B 样条曲面的定义。给定)()(11+⨯+n m 个空间点列n ,,,j m;,,,i ,, 1010==j i P ，则

)()(),(0,,0

,∑∑===

m

i l

j k i n

j j

i w N

u N w u P

S 定义了l k ⨯次B 样条曲面， )(,u N k i 和)(,w N l

j 是k 次和l 次的B 样条基函数，u 和w 为B

样条基函数)(,u N k i 和)(,w N

l

j 的节点参数，由j i ,P 组成的空间网格称为B 样条曲面的特征

网格。上式也可以写成如下的矩阵形式：

[][]

k n s k m r w u T

l

T

l kl k k s r -+∈-+∈=2,1,2,1),(,W M P M U S

上式中r ，s 分别表示在u ，w 参数方向上曲面片的个数。

[

][

]

[][]

21 21 1

12

1

2

1

-+-∈-+-∈===----l s s j k r r i w w

w

u u

u

j i kl l l l k k k ,,,][,,...,,,,,...,,,P P W U

kl P 是某一个B 样条曲面片的控制点编号。

⎪⎩

⎪⎨⎧==+-==+-===-+--+-);,,2,1()1()

,,2,1;0()1()0(,10,1,101

,01,1,0,n l m k uP P u n l k vP P v l k P P n k i n k i l j i l ij ij l k ij ),,1,0(0

0n j P m j

=),(v u P mn

P 00),,1,0(00m i P n

i =mn P

00