高二数学竞赛培训讲义-集合的概念与容斥原理.doc
高中数学竞赛第一讲集合与容斥原理
第一讲集合与容斥原理李宁本讲主要内容有：集合的有关概念、运算和容斥原理。
学习这一讲，要注意深刻理解集合的概念，掌握集合的思想方法和容斥原理，善于运用集合的语言和方法表示数量关系，并会用集合分拆、容斥原理等方面的知识和方法解决有关的数学问题1集合1.1集合与集合的关系若A中元素都是B中元素，则称A为B的子集，记作A⊆B，若A⊆B，且B 中至少有一元素b/∈A，则称A为B的真子集，记作A B若A⊆B，且B⊆A，则A=B集合与集合的关系，有如下性质：1.ϕ⊆A，特别地，若A=ϕ，则ϕ A2.A⊆B,B⊆C，则A⊆C3.A∪B=B⇔A⊆B;A∩B=A⇔A⊆B4.若A中元素有n个，则A的子集共有2n个，真子集有2n−1个1.2集合的运算A∩B={x|x∈A且x∈B}A∪B={x|x∈A或x∈B}C S A={x|x∈S且x/∈A}关于集合运算有以下常用结论：1.等幂律：A∩A=A,A∪A=A2.同一律：A∩U=A,A∪U=U,A∩ϕ=ϕ,A∪ϕ=A3.交换律：A∩B=B∩A,A∪B=B∪A4.结合律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C5.分配率：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A BA BC图1-1:文氏图2容斥原理若记有限集合A中的元素个数为|A|，则由图(1-1)可知：|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|(1)一般地，对于n个有限集合S1,S2,···,S n，则有|S1∪S2∪···∪S n|=∑1 i n |S i|−∑1 i j n|S i∩S j|+∑1 i j k n|S i∩S j∩S k|−···+(−1)k−1∑1 i1<i2<···<i k n |S i1∩S i2∩···∩S ik|+···+(−1)n−1|S1∩S2∩···∩S n|(2)其中符号∑1 i1<i2<···<i k n |S i1∩S i2∩···∩S ik|表示S1,···,S n中任取k个集合的交的元素个数的总和。
计数入门之容斥原理
一、知识站点：
1．集合的概念；
2．两个集合的容斥原理；
3．三个集合的容斥原理。
知识加油站
1．集合的概念：
⑴什么是集合；
⑵并集、交集、补集；
⑶集合的图形表示。
(★)
集合A＝﹛100以内的所有自然数﹜，集合B＝﹛100以内的所有的奇数﹜，集合C＝﹛0﹜。
请求出：
⑴A和B的交集；
⑵集合C在集合A中的补集；
⑶集合B和集合C的并集。
2．两个集合的容斥原理：
⑴什么是容斥原理；
⑵两个集合的容斥公式。
(★★)
求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
(★★★)
某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人，问既会游泳又会体操的有多少人？
计数入门之容斥原理
3．三个集合的容斥原理：
⑴三个集合的容斥原理。
(★★★)
在1~1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？
(★★★★)
某校有学生1000人，其中500人订阅A报，300人订阅B报，200人订阅C报；其中有250人只订阅两种报刊，有60人订阅三种报刊。
问：这个学校中没有订阅任何报刊的学生有多少人？
【本讲小结】
1．集合的概念；
2．两个集合的容斥原理；
3．三个集合的容斥原理。
学习感悟：。
高中数学奥林匹克竞赛讲座：20容斥原理
竞赛讲座20-容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集合A的元素个数(新教材中用CardA表示有限集合A的元素个数)。
原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。
原理二：给定三个集合A，B，C。
要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：第一步求|A|+|B|+|C|；第二步减去|A∩B|，|A∩C|，|B∩C|；第三步加上|A∩B∩C|。
例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上的有38人。
问两科都在90分以上的有多少人？例3 某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。
参加围棋比赛的共有42人，参加中国象棋比赛的共有51人，参加国际象棋比赛的共有30人。
同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有13人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11人，其中三种棋赛都参加的3人。
问参加棋类比赛的共有多少人？例4边长分别为6，5，2的三个正方形，如图8—5所示放在桌面上。
问它们盖住的面积是多大？例5求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少？练习题1. 某班共有48名学生，都参加了语文兴趣小组或数学兴趣小组，其中参加语文兴趣小组的有30人，参加数学兴趣小组的有28人，问同时参加语文、数学兴趣小组的人数是多少．2.纸片面积为7，一张边长为2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌面上覆盖的面积为8，问两张纸片重合部分的面积是多少？3. 不超过110且与110互质的自然数有几个？4.求在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个。
高中数学竞赛标准教材1人教版 集合与简易逻辑【讲义】
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉．例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示．集合分有限集和无限集两种．集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法．例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集．定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆．规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等．如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集．定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集．定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且．定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成．（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有.)(111B C A C B A C ⊆定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法．定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法．二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合．例1 设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈ [证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()(（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）．2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B ．例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）． 【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈．所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =3．分类讨论思想的应用．例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3． 因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m ．4．计数原理的应用．例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个．5．配对方法． 例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值．【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k ．综上，12-=n k ． 6．竞赛常用方法与例问题． 定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑∑∑∑=≠≤<<≤=+-=n i k j i j i n k j i j i i n i i A A A A A A A111 .)1(11 n i i n A =--+-定义8 集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分．定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素．例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤== ，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个．例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素．例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足：}.2)1(,,2,1{}1}{-=≤<≤-n n n j i a a j i 【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a ．下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21 满足条件． 令n a a a <<<= 210，则.2)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a 或2)1(-=n n a n ，12=a ． （ⅰ）若1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾，所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．（ⅱ）若1,2)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a ．考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾．因此32-=-n n a a ，所以12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n ．故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i 求n 的最小值．【解】 .16min =n设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k ．若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合．i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n ．当16=n 时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}． 例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i =则1+2+…+∑==n i i zn 1,43所以∑==+n i i z n n 142)13(3．当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5．三、基础训练题1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________．2．若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________．3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个．4．已知集合}01{},023{2=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =___________．5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________．6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个．7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________．8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________．9．集合}01{},06{2=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________． 10．集合},9{},,12{2R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则=B A ___________．11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a∈-11．如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由．12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围． 四、高考水平训练题1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________．2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________．3．已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是___________．4．若实数a 为常数，且=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈a x ax x A a 则,1112___________． 5．集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________．6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________．7．集合}0,,{},,,{2222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________．8．已知集合}04{},021{<+=<-+=px x B xx x A ，且A B ⊆，则p 的取值范围是___________．9．设集合},05224),{(},01),{(22=+-+==--=y x x y x B x y y x A }),{(b kx y y x C +==，问：是否存在N b k ∈,，使得∅=C B A )(，并证明你的结论．10．集合A 和B 各含有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）B A C ⊆且C 中含有3个元素；2）∅≠A C ．11．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，}),{(222r y x y x C r ≤+=，若对任何0≥r ，都有B C A C r r ⊆，则必有B A ⊆，证明你的结论．五、联赛一试水平训练题1．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ⊆∅≠>+-==<=且,},2,11{},0{2，则实数m 的取值范围是___________．2．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ∉+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________．3．已知集合}2,,{},,,{2d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________． 4．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________．5．集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的关系是___________．6．设集合}1995,,3,2,1{ =M ，集合A 满足：M A ⊆，且当A x ∈时，A x ∉15，则A 中元素最多有___________个．7．非空集合}223{},5312{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，≤则使B A A ⊆成立的所有a 的集合是___________．8．已知集合A ，B ，aC （不必相异）的并集},,2,1{n C B A =, 则满足条件的有序三元组（A ，B ，C ）个数是___________．9．已知集合}1),{(},1),{(},1),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A ，问：当a 取何值时，C B A )(为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10．求集合B 和C ，使得}10,,2,1{ =C B ，并且C 的元素乘积等于B 的元素和．11．S 是Q 的子集且满足：若Q r ∈，则0,,=∈-∈r S r S r 恰有一个成立，并且若S b S a ∈∈,，则S b a S ab ∈+∈,，试确定集合S ．12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1．321,,S S S 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，如果i S x ∈，j S y ∈，则i S y x ∈-．求证：321,,S S S 中必有两个相等．2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集)117,,2,1( =i A i ，使得（1）每个i A 恰有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和相同．3．某人写了n 封信，同时写了n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4．设2021,,,a a a 是20个两两不同的整数，且整合{120}i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，求集合{120}i j a a i j -<≤≤中不同元素个数的最小可能值．5．设S 是由n 2个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．6．对于整数4≥n ，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合}1,,1,{-++n m m m 的任一个)(n f 元子集中，均有至少3个两两互质的元素．7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数k ，使S 的任意一个s 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足ab b a )(+．8．集合+∈=N k k X },6,,2,1{ ，试作出X 的三元子集族&，满足： （1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2））k 的元素个数表示&&(6&2=． 9．设集合}21{，m ，，A =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1421,,,A A A ，一定存在某个集合)141(≤≤i A i ，在i A 中有两个元素a 和b 满足43b a b <≤．。
集合与容斥原理
x1x2=(a2+b2) (c2+d2)= (ac+bd)2 +(ad-bc)2,
显然x1x2 ∈A.
第一讲 集合与容斥原理
例2、已知A={y|y=x2-4x+3,x∈R}, B={y|y=-x2-2x+2,x ∈ R}, 求A∩B. 分析：画出两抛物线的图象，观察可知， 两条抛物线没有交点，这是否意谓 A∩B = ? 解;A={y|y≥－1}，B={y|y≤3}, 它们的元素都是“实数”， 从而有A∩B={y|－1≤y≤3}
第一讲 集合与容斥原理
三、有限集元素的个数(容斥原理)
请看以下问题： 开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游 泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加 游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的 有3人，没有人同实参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类 比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题。 我们用|A|或 card(A)表示集合A中元素的个数，（例如若A={1，2 3}，则|A|=3）可以证明： 1、|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 2、∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣|C∩A|+|A∩B∩C∣
第一讲 集合与容斥原理
例5、 学校教导处对100名同学进行调查，结果有 58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人 喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢 看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看 电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人， 三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电 影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但 不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）
丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：集合的概念与容斥原理 含答案
集合的概念与容斥原理一、基础知识本讲内容包括集合概念及其性质（集合的元素满足确定性、互异性、无序性)；元素与集合、集合与集合的关系（属于、包含、子集、空集、全集)；集合的运算（交、并、补）及容斥原理等.“交、并、补"是集合的三种运算，它们的含义可以用“且、或、非”来理解.这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助.集合及其运算有如下一些常用的性质和公式：A B B =⇔B A ⊆，A B B =⇔A B ⊆；A B B A =,A B B A =；()()A B C A B C =，()()A B C A B C =；()()()A B C A B A C =,()()()A B C A B A C =；()()()I I I C A B C A C B =,()()()I I I C A B C A C B =。
容斥原理：()()()()card AB card A card B card A B =+-； ()()()()card A BC card A card B card C =++()()()card A B card B C card CA ---()card A B C +。
该结论可以推广到n 个集合：一般地，对于n 个有限集合12,,,n S S S ，则有12111||||||||n ii j i j k i n i j n i j k n S S S S S S S S S ≤≤≤<≤≤<<≤⋃⋃⋃=-⋂+⋂⋂-+∑∑∑ ∑≤<<<≤-⋂⋂⋂-n i i i i i i k k k S S S 212111||)1(+…+||)1(211n n S S S ⋂⋂-- ,其中∑≤<<<≤⋂⋂⋂n i i i i i i k k S S S21211||表示12,,,n S S S 中任取k 个集合的交的元素个数的总和。
组合数学之容斥原理
对个人学习建议
01
深入理解容斥原理的 基本概念
要学好容斥原理，首先要深入理解其 基本概念和公式，掌握其基本原理和 思想。
02
多做练习题
通过大量的练习题，可以加深对容斥 原理的理解和掌握，提高解题能力和 思维水平。
03
拓展相关数学知识
容斥原理涉及到许多相关的数学知识 ，如集合论、概率论等。为了更好地 理解和应用容斥原理，建议学习者拓 展相关数学知识，建立完整的知识体 系。
THANK YOU
感谢聆听
有限制的排列问题
在n个元素中取出m个元素进行排列，要求某些元素必须相邻或某些元素不能相邻。可以 利用容斥原理，通过计算不满足条件的排列数，进而求得满足条件的排列数。
棋盘多项式问题
在n×n的棋盘上放置k个棋子，要求任意两个棋子不在同一行或同一列上。可以利用容斥原理， 通过计算至少有两对棋子在同一行或同一列上的放置方式数，进而求得满足条件的放置方式 数。
图论基本概念
01
图
02
顶点
03 边
04
度
路径
05
由顶点集和边集构成的一种数据结构，表示对象及其之间的 关系。 图中的基本元素，表示对象。
连接两个顶点的线段，表示对象之间的关系。
与顶点相关联的边的数目。
从一个顶点到另一个顶点的一条边的序列。
容斥原理在图论中应用
计算图的着色数
利用容斥原理，通过计算不同 颜色着色的子图个数，进而求 得图的着色数。
当某些元素不能同时选取或某些选取 方式不符合要求时，可以通过容斥原 理来求解符合条件的排列组合数。
典型问题解析
错排问题
n个元素进行排列，要求每个元素都不在原来的 位置，求这样的排列有多少种。
高中数学竞赛讲义-容斥原理
§24容斥原理相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。
容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。
n阶集合的全部子集数目为。
例题讲解1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。
那么，对于n=7。
求所有子集的“交替和”的总和。
2．某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。
化学数学都优秀8人。
这个班有5人任何一科都不优秀。
那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。
3．计算不超过120的合数的个数4．1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。
5．把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。
6．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。
7．在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。
证明：其中必有两个，它们恰有一个公共元。
例题答案：1．分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。
容斥原理讲义
容斥原理例题在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理。
为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑。
如：A= ｛五（1）班全体同学｝ o我们称一些事物的全体为一个集合。
A= ｛五（1）班全体同学｝就是一个集合。
例1. B二｛全体自然数｝ = ｛1, 2, 3, 4,・・・｝是一个具体的有无限多个元素的集合。
例2. C=｛在1, 2, 3,…，100中能被3整除的数｝ = ｛3, 6, 9, 12, 99｝是一个具有有限多个元素的集合。
例3.通常集合用大写的英文字母A、B、C、…表示。
构成这个集合的事物称为这个集合的元素。
如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素。
又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素。
像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集。
像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集。
有限集合所含元素的个数常用符合丨A |、| B |、| C |、…表示。
例4.记号AUB表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，就是下边示意图中两个圆所覆盖的部分。
集合AUB叫做集合A与的并集。
“U”读作“并”，“AUB”读例5.设集合A二｛1, 2, 3, 4｝,集合B二｛2, 4, 6, 8｝,贝ijAUB二｛1, 2, 3, 4, 6, 8｝ o元素2, 4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。
记号ACB表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体。
就是上面图中阴影部分所表示的集合。
即是由集合A、B的公共元素所组成的集合。
它称为集合A、B的交集。
符号“Q” 读作“交” ,“ACB”读作“A交B” o如例3中的集合A、B, 贝IJADB= ｛2, 4｝ o例6.设集合I二｛1, 3, 5, 7, 9｝,集合A二｛3, 5, 7）, A=｛属于集合，但不属于集合A的全体元素｝二｛1, 9｝。
我们称属于集合I但不属于集合A的元素的集合为集合A在集合I 中的补集（或余集），如下图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）,常记作刁。
集合的概念文档讲课文档
当 2a2+a=3 时,a=1(舍去)或 a=- 3 . 2
经检验 a=- 3 满足题意,故 a=- 3 .
2
2
方法技巧 利用集合中元素的确定性和互异性可以求与集合中元素有关 的参数值,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再 根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元 素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.
变式训练3-1:已知集合A是由0,x,x+1三个元素组成的集合且2∈A,则实数
x的值为( )
(A)1
(B)2
(C)1或2 (D)不确定
解析:由已知可得x=2或x+1=2,解得x=1或x=2,经检验x=1或x=2均满 足题意.故选C.
类型四 易错辨析 【例4】 方程(x-a)(x-1)=0的解集中含有元素的个数是( )
思路点拨:判断待求元素是否能够化为集合中元素的一般形式.
解:因为 a=- 3 =0+(-1)× 3 ,而 0,-1∈Z,故 a∈A,
因为 b= 1 =
3 3
= 1 + 3 ,而 1 , 1 ∉Z,故 b∉A,
3 3 3 3 3 3 2 6 2 6
因为 c= 1 2 3 2 =13-4 3 ,而 13,-4∈Z,故 c∈A.
(A)1
(B)2
(C)1或2
(D)不能确定
错解:B 纠错:错解中没有注意到字母a的取值具有不确定性,认为方程的解为x1=a, x2=1,所以解集中含有2个元素,事实上,若a=1,则解集中只有1个元素. 正解:C
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方法技巧 元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系,判断一个元素 是否属于某集合,一是明确集合中的所含元素的共同特征;二是看元素是否 满足集合中元素的共同特征,满足即为属于关系,不满足即为不属于关系.
高一数学竞赛辅导(一)集合(1)
元素的集合？
2当a为何值时， A B C为含有三个
元素的集合？
例4、设关于x的不等式 x a 12
a 12
2
2
和x2 3a 1 x 23a 1 0a R的解集
依次为A、B，求使A B的实数a的取值范围.
例5、设n N,且n 15, A、B都是1,2, ,n 的真子集，A B ，且A B 1,2, ,n
证明：A或B中必有两个不同数的和为完全平 方数.
例6、设S为集合{1，2，3，……，50}的 一个子集，且S中任意两个元素之和不能 被7整除，则S中元素最多有多少个？
第1讲： 集 合(1)
竞赛中涉及的问题：
• 差集：A－B＝{x|x∈A且xB}(有时用“A\B”表示) • 集合运算律：①德摩根定律：
Cu(A∩B)=(CuA)∪(CuB), Cu(A∪B)=(CuA)∩(CuB); • ②分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); • n个元素的集合所有子集个数为2n ;必含某个元素k的
例1、设A a a x2 y2, x, y Z ,
求证：1 2k－1 Ak Z ； 2 4k 2 Ak Z ； 3若s、t A，则st A；
4若s、t A，t 0,则 s p2 q2,
t 其中p、q是有理数
例2、设S为满足下列条件的有理数的集合：
1若a S,b S,则a b S, ab S; 2 对任一有理数r，三个关系r S, S, r 0
有且仅有一个成立.证明：S是由全体正有理数 组成的集合.
例3、已知集合：A {(x, y) | ax y 1}, B {(x, y) | x ay 1},C {(x, y) | x2 y2 1}
高中数学竞赛 容斥原理
第四专题 容斥原理一、容斥原理的基本形式容斥原理：对任何有限集合C B A 、、，有B A B A B A ⋂-+=⋃；C B A C B C A B A C B A C B A ⋂⋂+⋂+⋂+⋂-++=⋃⋃)(对任何n 个有限集合n A A A ,,,21 ，容斥原理一般形式为： ∑∑∑≤<<≤≤<≤=⋂⋂+⋂-=⋃⋃⋃n k j i k j i n j i j i n i i n A A A A A A A A A 11121()n n A A A ⋂⋂⋂-++- 2111 逐步淘汰原理：C B A S C B A ⋃⋃-=⋂⋂n n A A A S A A A ⋃⋃⋃-=⋂⋂⋂ 2121逐步淘汰原理的另一种描述：设有n 个元素，其中)(1a n 个元素具有1a 特性，)(2a n 个元素具有2a 特性，…，)(21a a n 个元素既具有1a 和2a 特性，…，)(321a a a n 个元素既具有1a 、2a 和3a 特性，…，则完全不具有 ,,,321a a a 中任何一种特性的元素个数为+++----=)()()()()()'''(3121321321a a n a a n a n a n a n n a a a n ---)()(432321a a a n a a a n 。
为了便于记忆，逐步淘汰原理可采用符号形式：约定：)()()(b n a n b a n +≡+，)()(a n a n -≡-，)1(n n ≡，a a -=1'，则])1)(1)(1[()'''(321321 a a a n a a a n ---=二、例题选讲例1、在1~600中，能被6整除，但不能被8整除的数有多少个？ 例2、在一个代表团里，懂英语、法语的有10人，懂英语、法语、俄语的有5人，懂英语、法语、汉语的有3人，懂四种语言的有2人，问只懂英语、法语而不懂俄语、汉语的有几人？例3、7个人站一排，求甲不站最左边，乙不站中间，丙不站最右边的站法有多少种？例4、从自然数1、2、3、4、5、……中依次划去3和4的倍数但保留其中是5的倍数，划完后将剩下的数依次构成一个新的数列：7,5,2,14321====A A A A ，求2002A 。
高中数学,容斥原理
容斥原理是一种常见的统计原理，它主要应用于多个集合的交集和并集的计算。
在高中数学中，容斥原理的应用非常广泛，尤其是在解决组合问题、排列问题、计数问题等方面。
下面我将从定义、应用和注意事项三个方面，详细介绍高中数学中的容斥原理。
一、容斥原理的定义容斥原理的基本思想是，当两个集合不重叠时，它们的并集的数量可以看作是两个集合数量的和，减去重叠数量的两倍。
具体来说，假设我们有两个集合A和B，它们的并集数量为N，重叠数量为K，那么A中元素属于B或B中元素属于A的数量为N-K。
同时，我们需要减去A和B完全重叠的元素数量，即K。
这个原理可以用公式表示为：(A∪B)个案数= A个案数+ B个案数- (A∩B)个案数。
二、容斥原理的应用1. 组合问题：在解决组合问题时，常常需要考虑多个事件同时发生的情况。
例如，从n个人中选出m个组成一个小组，需要考虑到每个人是否被选中。
这时，我们可以用容斥原理来计算选出小组的总人数和被选中的人数。
2. 排列问题：在解决排列问题时，也常常需要考虑多个事件同时发生的情况。
例如，将n 个元素按照一定的顺序排列，需要考虑元素之间的顺序关系。
这时，我们可以用容斥原理来计算所有可能的排列数和满足某种条件的排列数。
3. 计数问题：在解决计数问题时，需要考虑到一些条件对计数的影响。
例如，计算从n个元素中取出k个元素的方案数时，需要考虑k的取值范围和元素之间的相关性。
这时，我们可以用容斥原理来计算总的方案数和满足条件的方案数。
三、注意事项1. 容斥原理的前提条件是两个集合之间没有重叠。
如果两个集合之间有重叠，那么需要使用其他的方法来计算它们的并集数量和重叠数量。
2. 在使用容斥原理时，需要正确理解公式中的各个量所代表的含义，并且需要仔细考虑问题中的条件和限制。
3. 容斥原理的应用范围比较广泛，需要灵活运用公式和方法来解决不同类型的问题。
总之，容斥原理是高中数学中一个非常重要的统计原理，它可以帮助我们更好地理解和解决组合、排列、计数等问题。
三集合容斥原理非标准型a+b+c=总数
一、概述集合容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，常用于解决各种计数问题。
它的基本思想是通过对不同集合的交集和并集进行计算，从而得到所需计数的结果。
在集合容斥原理的应用中，有一类特殊问题是求解满足某些条件的非标准型a+b+c=总数的问题。
本文将就这一类问题展开讨论。
二、基本概念在应用集合容斥原理解决a+b+c=总数的问题时，我们首先需要了解几个基本概念：1. 集合：在该问题中，集合通常代表满足某种条件的对象的集合。
集合A表示满足条件A的对象的集合，集合B表示满足条件B的对象的集合，集合C表示满足条件C的对象的集合。
2. 交集：两个集合的交集指的是同时属于这两个集合的对象组成的集合。
在集合容斥原理中，交集的计算是重要的一步。
3. 并集：两个集合的并集指的是属于其中任意一个集合的对象组成的集合。
在集合容斥原理中，并集的计算也是必不可少的。
三、集合容斥原理的应用在解决a+b+c=总数的问题时，我们可以将集合A、B、C分别代表满足条件A、B、C的对象的集合。
根据集合容斥原理，我们可以得到如下公式：总数 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A|表示集合A的大小，|A ∩ B|表示集合A和B的交集的大小，依此类推。
根据这个公式，我们可以通过分别计算集合A、B、C的大小，以及它们的交集的大小，进而求解满足a+b+c=总数的问题。
四、示例分析为了更好地理解集合容斥原理在求解a+b+c=总数的问题中的应用，我们以一个具体的例子进行分析。
假设有一组数{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，我们希望找出其中满足以下条件的数字组合：a+b+c=15。
我们可以将集合A表示满足条件a的数字的集合，集合B表示满足条件b的数字的集合，集合C表示满足条件c的数字的集合。
根据集合容斥原理，我们可以得到如下公式：总数 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|我们逐一计算集合A、B、C的大小，以及它们的交集的大小，得到最终满足条件的数字组合。
集合问题(容斥原理)1丨两者集合基本概念
集合问题（容斥原理）1丨两者集合基本概念基础知识在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
两者集合问题公式法1.两集合的容斥关系公式：A∪B＝A＋B－A∩B。
2003年山东8.停车场有50 辆汽车,其中红色轿车35 辆,夏利轿车28辆,有8辆既不是红色轿车又不是夏利轿车,问停车场有红色夏利轿车多少辆?A.14B.21C.15D.22模板解析：本来50辆，除去8辆都不属于的，应该还有42辆红色35辆，夏利28辆，这样数下来63辆。
多数了21辆，这21量就是满足两个条件（红色且夏利）2004年山东13.某单位有青年员工85人,其中68人会骑自行车,62人会游泳,既不会骑车又不会游泳的有12人,则既会骑车又会游泳的有（）人。
A.57B.73C.130D.69【解析】A两个集合问题。
令所求为X，则有：85-12=68+62-X，根据尾数法得知X=572012年浙江60.如右图所示，正方形ABCD的边长为5cm，AC、BD分别是以点D和点C为圆心、5cm为半径作的圆弧。
问阴0影部分a的面积比阴影部分b 小多少？（π取3.14）A.13.75cmB.14.25cmC.14.75cmD.15.25cm 【解析】B。
两个1/4 圆＋a -b＝正方形面积，所以得到0.5×3.14×25－b＋a＝25，得知：b－a＝14.25。
2016年江苏A62.某班有38名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有26人，答对第二题的有24人，两题都答对的有17人，则两题都答错的人数是（）A.3 B.5 C.6 D.7【解析】B。
简单两者集合问题及差量思维。
满足A的个数＋满足B的个数－两者都满足的个数=总个数－两者都不满足的个数。
(完整版)1集合的概念及其关系-拔高难度-讲义
集合的概念与关系知识讲解一、集合的概念1.集合a∈；某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉；若b不是集合A的元素，记作A2.集合的性质确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、集合的表示1.集合的三种表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}L描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}Z∈>x x方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}图示法具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．2.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +； 整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、集合之间的关系1.子集关系定义：若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）；简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；2.真子集关系对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B Ü（或B A Ý） 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =3.空集定义：不含任何元素的集合叫做空集性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。
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集合的概念与容斥原理一、基础知识本讲内容包括集合概念及其性质(集合的元素满足确定性、互异性、无序性)；元素与集合、集合与集合的关系(属于、包含、子集、空集、全集)；集合的运算(交、并、补)及容斥原理等.“交、并、补”是集合的三种运算，它们的含义可以用“且、或、非”來理解.这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助.集合及其运算有如下一些常用的性质和公式：= B « Be A, A\JB = B « AcB；(A|JB)UC = AU(BUC), (A门B)门C = A门(fine);AU(Bnc)=(AUB)n(xuc), xn(BUc)=(AnB)u(/inc)；C f (A U fi) = (C, A)门(C, 5), C, (A 门 fi) = (C, A) U (C, 5).容斥原理：card(A\J B) = card(A) + card(B) - card(A B) •，card(A\J B\JC) = card(A) + card(B) + card(C)-card(Ar\B)-card(0 C) - card(C0 A)+card( Ar\Br\C).该结论可以推广到n个集合：一般地，对于"个有限集合'，&，…，S。
，则有…J；| 尽…+\<i<n \<i< j<n \<i< j<k<n(-1/—1 Zl 八叫n…叭 |+…ns2…AS，, I，其屮…I表示，…，乂中任取々个集合的交的元素个数的总和.I^i, <i2二、基础训练1、己知集合从中的元素都是自然数，且若xe ,则8-xeM,则满足这样条件的集合有____________ 个.【解】列举法可得有31个.2、若非空集合A={X|26Z +K X S3“一5},B={X\3<X<22},则能使？1。
(4门5)成立的所有“的集合为 _____________【解】由题意可得AeB,从而可得6St/<9.3、不大于1000的自然数屮，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有 ____________ 个.【解】设不大于1000的自然数集合为全集/,其中3的倍数的集合为A ,5的倍数的集合为 WJ| A| = [^^] + l = 334JB| = [^^] + l = 201,|AnB| = [^^] + l = 67,因此，| AUB| = | A| + |S|-| ADB| = 334 + 201-67 = 468,所以，不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有| C,(AU B)|= 1001-|/IUB|= 5331.4、设Al 是集合5 = {1，2,3，-.，2002,2003}的子集，且A/中每一个自然数(元素)仅含一个 0,则集合所含元素最多有 ____________________【解】将集合S 划分为四个子集S,={1，2，〜，9}， S 2={10，ll ，."，99}, 53={100,101,---,999},= {1000，1001，...,2003}.用 A/,■表示》(/• = 1，2,3,4)中仅含一个 数码0的所有元素组成的子集，显然，4巾每一个元素都不含0,则|A^ 1=0.在52巾仅个位 数为0的元素有9个，贝ij|W 2 |=9 .在&中仅个位或十位数为0的元素各有92个，则 | M, \= 2x92 .在S 4中仅个位或十位或百位数为0的元素各有92个，WU |从41= 3x92 .故 \M\^=\M i \ + \M 2\^\M 3\^-\M 41=414.5、设5 = {(又，)’)|22'—32>’=55，x ，jve ；V}，则S 中元素个数为_____【解】由 22x - 32y = 55 得(2A — 3V )(2X + 3y ) = 55，9r _3^ — i f 2X — 3y = 5[ v = 3 _或<^ _ ，解得j ，故元素个数为1个.2A +3)’=55 [2x + 3y =11 [y = l 6、设A/={1，2,3，-"，1995}, A 是从的子集且满足条件：当xeA 时，15x^ A,则A 屮元 素的个数最多是 _______________【解】见奥数金版教程P8第6题.{ 15三、例题分析例1、没集合A = {x| —3 < x< 2,xe/?}，己知x，)，eiV，x〉>，且满足x3+ 19)’ = )’3+19又，判断“ =log, (x + y)与集合A的关系.2【解】因为又3- y3 = 19(%-少，)，且X，)?e W，x> y r所以x2 + x< x2+ xy + )’2 = 19<3x2，因此，由xe TV 得x = 3 从而知y = 2，所以一3 < <3 = log^ (3 + 2) < —2，即aeA.2【说明】该题在求解Ay的值时用到了放缩的思想，容易想到的是x2<x2+；Q，+ y2<3x2, 这种放缩的方法可得到％ = 3或％ = 4,再验证.例2、设集合A/ = {w | w = 12m + 8" + 4/，m，"，/e Z}，TV = {v| v = 20p + 16<y + 12r，p,q,re Z},求证：M = N.【分析1】通过化简，认识这两个集合屮元素的特征，进而作出判断.【解1】12/714-8/1+ 4/= 4(3/72+ 2/t + /),而3m + 2n + /可取任意整数，得集合M表示4的倍数的集合，即W = =20/7 +1+12厂=4(5/? + 4(7 + 3r), /) = =々，/• = 0 得J V = {“ | w 二e Z}.所以A/二TV.【分析2】证明集合之间包含关系的一般方法是“若fi,则AeS”；证明集合[A cz B,相等关系的一般方法是“若_ ’则[ScA,【解2】若we Al => w = 12m + 8zi + 4/，後m = r,n = 2q,1 = 5p，(此处只要说明存在)则w = 20p + 16q + 12re 7V=>A1若we TV => w = 20p + 16g + 12r，'後p = -q = 2n +1，r = m，则w = 12m + 8A: + 4/ e M N M .(zN由乂一=>M = N.[N^M例3、集合A =沁，ci，b，c,d，eeN'，计算A屮的二元子集两元素之和组成的集合为B = {3,4,5,6,7,8, 9,10,11，13}，求集合A.【分析】要求集合A ,只需求出集合A中的5个元素而集合B中有10个元素，但不知道集合B中的每一个元素是集合A中的哪两个元素的和，于是，必须把A中的5个元素进行排序.【角率】不妨设0<6<c<d<e，则tz + 6 = 3，① d + e = 13, ②由于在A的二元子集中，每个元素出现4次，所以集合B的元素和为4(“ +/? + c + 6? + = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 +11 +13，得6Z + /? + c + t/ + e = 19，③由③-①-②得c = 3，又由于G + C仅大于“ + /?,故《 +(? = 4,得a = l, ②由于c + e仅小于d + e,故c + e = ll，得e = 8，⑥把⑤⑥代入①②得二2，d = 5,所以A = {1，2,3,5,8}.例4、有限集S的全部元素的乘积，称为数集S的“积数”，今给出数集似={丄，丄，丄，...，丄，丄},试确定M的所有偶数个(2个，4个，…，98个)元素子集的234 99 100“积数”之和的值.【分析】对于集合…，6Z,,},要求偶数个元素子集的“积数”之和，即求67,6/0 + Cl}Qy H --- h d\d n + Cl H ------------- h W H --------- h Cl n_}Cl/t H ----- h Cl}d2…“"较为W难.如果我们求集合A的所有非空子集的“积数”和，就容易联想到公式+ + +l + €/, +a2-\ ------ H a H + a}a2 +a}a3 H -- H a n_}a n -{-a}a2a3 H -- H ci n_2a n_}a tl + -\-a}a2•••“".【解】数集M中共有99个不同元素，设M的所有偶数个元素子集的“积数”之和记为G , 所有奇数个元素子集的“积数”之和记为//,由公式(1 + 4)(1 + 6/2)*"(1 + &；)=1 + €/| + % --- + “|“2 + “1七---- ^n-\ -- 以,,_2“"-1“" + +“外…易知<;+// = (1+丄)(1+丄)(1+丄)...(1+-!-)(1+-!-)_1=^ 2 34 99 100 2111 11 99G - " = (1 ——)(1 ——)(1 ——)…(1 ——)(1 ----------- )-1 = ,2 3 4 99 100 100两式相加得G = 24.255,故W的所有偶数个元素子集的“积数”之和为24.255.例5、在数理化三科竞赛辅导中，高一10、11、12班参加数学辅导的有168人，参加物理辅导的有187人，参加化学辅导的有165人，数学、物理两科都参加的有139人，数学、化学两科都参加的有127人，物理、化学两科都参加的有135人，数理化三科都参加的有102人，问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导？【解】根据容斥原理，至少参加一科辅导的学生人数力：168+187+165-139-127-135 + 102=231.例6、一次会议有1990位科学家参加，每人至少有1327位合作者。
求证：可以找到4位数学家，他们中每两个人都合作过.【分析】按题意，可以构造一种选法，找出符合条件的叫位数学家.【解】由题意，可任选两位合作过的数学家A设与6/合作过的数学家的集合力A，与b合作过的数学家的集合为fi，贝|J|A|21327，|B|>1327, X| AU B |< 1990,于是| | = | A| + |B卜| AU1327 + 1327-1990 = 664,因此，在集合A门B屮，有数学家且不是A/?,从屮选出数学家C,并设与c合作过的数学家的集合为C，则|G4UB)UCgl990，|C|>1327 ,于是|A门B^C|=| Ap|fi| + |C卜|(ADB)UCg3xl327-2xl990 = l，因此，在集合4门5门C屮，有数学家且不是c，又可从屮选出数学家V，则数学家他们中每两人都合作过，原命题得证.例7、设S为集合｛1,2,3,…，50｝的一个子集，且S中任意两个元素之和不能被7整除，则S 中元素最多有多少个？【解】将这50个数按照7的余数划分成7个集合A0=｛7,14,21,28,35,42,49｝； A,=｛1,8,15,22,29,36,43,50｝； A2=｛2,9,16,23,30,37,44｝；A3=｛3,10,17,24,31,38,45｝； A4=｛4,11,18,25,32,39,46｝； A5=｛5,12,19,26,33,40,47｝；A6=｛6,13,20,27,34,41,48｝；除去A0中的7个元素外，其余集合中的元素都不能被7整除，而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除，但是，AJDA6、八2和人5、八3和^中如果各取一个元素的话，这两个元素之和能够被7整除，因此，所求集合中的元素可以这样构成：Ao中収一个，然后在AjUA6、人2和八5、AjUA4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素，为了“最多”，必须取Ai屮的8个，然后可以取A2、A3屮各7个元素，因此S屮元素最多有1+8+7+7=23 个.例8、已知集合>1屮有10个元素，且每个元素都是两位正整数，证明：一定存在这样两个A的子集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等.【解】这10个元素的总和S<100xl0=1000,而A的子集总共有21()=1024〉1000〉S,故A的子集的元素和最多有1000种可能，(制造抽屉)根据抽屉原理，至少存在两个子集，他们的元素之和相等，记为M、N,如果M、N没有公共元素，则M、N就是满足题意的子集，命题得证.如果M、N中有公共元素，记MAN = Q,考査集合M' = M-Q, N'=N-Q,则M\ N•中没有公共元素，且M\ N•的元素之和相等，同吋它们都是A的子集.即M\ N*为所求集合.四、课后作业阅读：金版奥数教程高一分册P1-5,作业：金版奥数教程高一分册P7-8,能力测试exl-10。