第七章--滤波器

切比雪夫多项式 n
0 1 2 3
Tn(x)
1 x 2x2-1 4x3-3x
n
4 5 6 7
Tn(x)
8x4-8x2+1 16x5-20x3+5x 32x6-48x4+18x2-1 64x7-112x5+56x3-7x
阶次n分别为2、3、5时的切比雪夫低通滤波器 幅频曲线如下：
滤波器阶数n为通带内等 幅波动的次数，即等于 通带内最大值和最小值 的总数。N为奇数时， w=0处为最大值；w为偶 数时，w=0处为最小值。
例： 设计 IIR LP DF ，给定
p 3dB, s 20dB
DF: f p 100Hz,
及
f s 300Hz, Fs 1000H
可求出：
AF: p 2 109(Hz), s 2 438(Hz)
求出：
由：
0.06745 0.1349 z 0.06745 z H ( z) 1 1.143z 1 0.4128 z 2
第七章 滤波器
滤波器的概述 模拟滤波器设计 数字滤波器设计
7.1 滤波器概述
一.滤波的概念及其基本原理
一般的“滤波”概念是指消除或减弱干扰噪声， 从而提取有用信号的过程；
随着信号分析、处理技术的发展以及应用领域的扩大， “滤波”的概念得以拓展，“滤波”为从原始信号
中获取目标信息的过程。
| H (0) | a=20lg 20lg | H (w) | 10lg | H (w) |2 | H ( w) |
工作损耗取决于系统频率特性的幅度平方函数|H(w)|2
通带的最大衰减称为通带衰减：
| H (0) | a p =20lg 20lg | H ( wp ) | | H (wp ) |
DF : f p 100 Hz, f s 300 Hz, Fs 1000 Hz
p 0.2 ,
s 0.6 ,
2 AF : p tan( p / 2) 685.8 2 109(Hz) Ts 2 s tan( s / 2) 2452.76 2 438(Hz) Ts 设计的 AF 并不是按给定的技术指标，但再 由 s 变回 z 后，保证了 DF的技术要求。
7.4 用冲激响应不变法设计 IIR DF
给定数字滤波器的技术指标
p ,s , p ,s （更多）
转换成模拟滤波器的技术指标 p , s , p ,（更多） s
转换成模拟低通滤波器的技术指标
p , s , p , s
设计模拟低通滤波器 G ( p )
s z
得到模拟高通、带通、带阻滤波器 H ( s )
从系统的角度看，滤波器是在时域具有冲激响 应h (t)或脉冲响应h(n)的可实现的线性时不 变系统。 如果利用模拟系统对模拟信号进行滤波处理则 构成模拟滤波器h(t)，它是一个连续时不变系 统； 如果利用离散时间系统对数字信号进行滤波处 理则构成数字滤波器h(n).
1.模拟滤波器特性
BW 3 1
BW
BW 3 1
带 通
BW
带 阻
例： 设计一 IIR BP DF,要求：
通带频率范围： 300Hz~ 400Hz ;
阻带频率范围：200Hz、500Hz
要求： p 3dB, s 18dB, Fs 2000Hz
按上述转换办法，可以求出：
与本章内容有关的MATLAB文件
1．buttord.m 确定 LP DF、或 LP AF的阶次； （1） [N, Wn] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs)；
幅频响应曲线见书 P284
1
2
7.6 数字高通, 带通及带阻滤波器的设计
给出 数字高通 的技术要求 得到 模拟高通 的技术要求 得到 模拟低通 的技术要求
最后得到 数字高通转移 函数
得到 模拟高通转移 函数 设计出
step3
数字高通滤波器设计步骤
对 带通（BP）、带阻（BS）数字滤波器的设 计，只需改变图中 Step2 和 Step4：
1 2n
wc e
j[
2 k 1 ] 2n 2
k 1, 2,..., 2n
即为H(s)和H(-S)的极点
4.巴特沃思低通滤波器的传递函数
5.归一化频率的各阶巴特沃思多项式
例：求三阶巴特沃思低通滤波器的传递函数， 设wc=1rad/s. 例：若巴特沃思低通滤波器的频域指标为：当 w1=2rad/s时，其衰减不大于3db，当 w2=6rad/s时，其衰减不小于30db，求此 滤波器的传递函数H(s)。
数字低通滤波器的设计步骤：
Step1. Step2. 频率转换：
Step3.
Step4.
所以： 这样：系数 2 Ts 可以省略，因此，双线性Z变 换可定义为 ：
这一组定义和前面的定义，对最后的 DF H ( z ) 而言，结果是一样的，差别是中间设计的 AF， 由于缺少了频率定标，将无法给出符合要求的 幅频响应。
器
a)
b)
c)
d)
图.模拟滤波器幅频特性 （实线表示实际特性，虚线表示理想特性） a).低通滤波器 b).高通滤波器 c).带通滤波器 d).带阻滤波器
低通滤波器是使具有某一截止频率以下频带的信号能给顺 利通过，而具有截止频率以上频带的信号则给予很大的衰 减，阻止其通过；
高通滤波器是使具有截止频率以上频带的信号能给顺利 通过，而具有截止频率以下频带的信号给予很大的衰 减，阻止其通过； 带通滤波器是使具有某一频带的信号通过，而具有该频 带范围以外的信号给予很大的衰减，阻止其通过； 带阻滤波器是抑制具有某一频带的信号，而让具有该频 带之外的其它信号通过； 通频带：将信号能通过滤波器的频率范围； 阻频带：阻止信号通过滤波器的频率范围；
若滤波器的输入、输 出都是离散时间信号 时，该滤波器的冲激 响应也必然是离散的， 称这样的滤波器为数 字滤波器。
3.滤波原理
输入信号x(n)通过滤波器h(n)的结 果是使输出信号y(n)中不再含有 |Ω|>Ωc的频率成分，而使|Ω|>Ωc 得频率成分不失真地通过。 Ωc为滤波器的截止频率
二.滤波器的分类
将平面上的低通特性变换 为平面上的高通特性
当wL从0→1时，wH 则从∞ →1；当wL从1 →∞时，wH则从1→0. 这时滤波器低通的通 带变换到高通的通带， 而低通的阻带变换到 高通的阻带。
当给定高通滤波器的技术指标时，设计步骤：
将设计的归一化高通滤波器进行反归一化处理， 得到实际的高通滤波器。
数字滤波器的 单位抽样响应 令：
模拟滤波器 的冲激响应
冲激响应 不变法
基本转换单元：
线性转换关系
7.5 用双线性Z变换法设计 IIR DF
放弃上一节的线性转换关系，找新的关系：
s z
令：
双线性z变换

非线性关系，但是 一对一的转换
非线性关系 又称为频率的预变形（Freq. Warping) 。例如 ：
1.巴特沃思低通滤波器的幅频特性
n为滤波器的阶数；wc为滤波器的截止角频率， 当w=wc时，|H(wc)|2=1/2,所以，wc对应的是 滤波器的-3db点。
2.巴特沃思低通滤波器阶次的确定
3. 巴特沃思低通滤波器的零极点分布
s 2n 1 (1) ( ) 0 wc
n
则有 sk jwc (1)
n
(10
0.1amax 1
)
]
ws cosh ( ) wc
1
4.切比雪夫低通滤波器的极点分布
令s=jw，带入切比雪夫低通滤波器的幅度平方 函数，有
需求解方程
s 1 T ( )0 jwc
2 2 n
I型切比雪夫低 通滤波器的幅 度平方函数的 极点分布在s平 面的椭圆上
对于切比雪夫低通滤波器的系统传递函数式， 如果已知阶数n和波动系数，可以利用计算机求 出其分母多项式。下表给出了不同阶次的切比 雪夫低通滤波器归一化系统传递函数H(s)的分 母多项式D(s)=sn+bn-1sn-1+„+b1s+b0的各系数。
3.切比雪夫低通滤波器的阶次
Hale Waihona Puke Baidu
阻带内允许的最小衰减amin为：
amin
ws as 10lg(1 T ( )) wc
2 2 n 2 2 1
滤波器的阶次为：
ws 10lg(1 cosh (n cosh ( ))) wc
(100.1amin 1 ) cosh 1[
阻带的最小衰减称为阻带衰减：
7.2 模拟滤波器
一.相关概念与方法
除以上条件外，还希望所设 计滤波器的冲激响应h(t)为 t的实函数。
例：给定滤波特性的幅度平方函数
二.巴特沃思低通滤波器
巴特沃思低通滤波器是以巴特沃思函数作为滤 波器的传递函数，以最高阶泰勒级数的形式逼 近滤波器的理想矩形特性。
给定数字滤波器的技术指标
p ,s , p ,s（更多）
转换成模拟滤波器的技术指标 p , s , p ,s （更多）
转换成模拟低通滤波器的技术指标
p , s , p , s
设计模拟低通滤波器 G ( p )
得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器 H ( s ) 得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器 H ( z )
例：试求二阶切比雪夫低通滤波器的传递函数， 已知通带波纹为1db，归一化截止频率 wc=1rad/s。 例：设计一个满足下列技术指标的归一化切比 雪夫低通滤波器：通带最大衰减amin=1db,当 ws≥4rad/s时，阻带衰减as ≥40db.
四.模拟滤波器的频率转换
1.低通滤波器转换成高通滤波器
2.低通滤波器转换成带通滤波器
3.低通滤波器转换成带阻滤波器
7.3 数字滤波器
冲激响应不变法； 双线性Z变换法； 数字高通、带通及带阻滤波器设计；
1. 给定所设计的滤波器的技术指标：
LP, HP
BP, BS 2. 设计出一个 H ( z ) ，使
j
H (e )
满足给定的 技术要求 没有考虑相位
三.滤波器的技术要求
理想滤波器所具有的矩形幅频特性不可能实际实现， 其原因是不能实现从一个频带到另一个频带之间的突 变。为了使理想滤波器具有物理可实现性，要具有如 下特性：
滤波器规定一些技术指标：
中心频率w0
w0 wc1wc 2 式中，wc1为上截止频率， wc 2为下截止频率
衰减函数a:又称为工作损耗，为
三.切比雪夫低通滤波器
1. 巴特沃思低通滤波器与切比雪夫低通滤波器的比较
三阶巴特沃思低通滤波器与切比雪夫低通滤波器幅频特性
2.切比雪夫低通滤波器的幅频特性
| H ( w) |
2
1 w 1 T ( ) wc
2 2 n
cos(n cos1 ( x)) | x | 1 Tn ( x) 1 cosh(n cosh ( x)) | x | 1
“滤波”的内容有：传统的滤除噪声、确定在干扰背 景下目标信号是否存在的信号波形检测、为识别信号 而确定信号参量的参数估计。
滤波是根据有用信号与噪声或干扰的不同特性， 从含有噪声或干扰的信号中消除或减弱噪声， 提取有用信号的过程。 滤波问题在信号传输与处理中无处不在，如： 音响系统的音调控制、通信中的干扰消除； 实现滤波功能的系统称为滤波器。它是一种具 有一定传输特性的信号处理装置，它利用所具 有的特定传输特性实现有用信号与噪声信号的 有效分离。
得到数字高通、带通、带阻滤波器 H ( z )
最直接到方法，将：
p , s , p , s
利用：
利用上一节的方法，可设计出模拟滤波器
G( p), G(s)
H ( z)
H ( z ) G(s)
s 1 ln z Ts
H 但这样做， ( z ) 将不再是 z 的有理多项式，给 极－零分析带来困难。
在实际应用中，将模拟信号经 带限滤波后再通过A/D转换完 成采样与量化，得到数字信号 经数字滤波器实现滤波处理， 最后将处理后的数字信号经 D/A转换和平滑滤波得到输出 的模拟信号
模拟滤波器通常采 用硬件实现，其元 件是R、L、C及运 算放大器或开关电 容
2.数字滤波器的特性
数字滤波器可以由硬件实现，也 可以由相应的软件实现，还可以 软硬件结合来实现，故数字滤波 器的实现要比模拟滤波器方便， 且较易获得理想的滤波性能