全局和局部拟合的活动轮廓

2 相关背景 2.1 PC 模型
PC 模型假定图像 I ( x) 是由两个同质区域 （目标和背景） 组 成的， 故可通过二值 PC 函数来近似。其能量泛函为：
E(C c1 c 2) = μLength(C ) + λ1in C | I ( x) - c1 | dx +
( )
2
3
本文模型
λ 2 out C | I ( x) - c 2 | dy
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2011， 47 （11）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
全局和局部拟合的活动轮廓模型
陈 强， 何传江 CHEN Qiang， HE Chuanjiang
重庆大学 数理学院， 重庆 400030 College of Mathematics and Physics， Chongqing University， Chongqing 400030， China CHEN Qiang， HE Chuanjiang.Active contour model based on global and local fitting.Computer Engineering and Applications， 2011， 47 （11） ： 204-206. Abstract：In the existing active contour models， both Piecewise Constant （PC） model and Region-Scalable Fitting （RSF） model are two of the popular region-based models.PC model is much less sensitive to the initialization of the contours and noise； however， it cannot handle images with intensity inhomogeneity.RSF model is able to deal with intensity inhomogeneity； however， it is sensitive to initialization and noise.Based on PC and RSF models， this paper proposes a novel region-based active contour model in a Partial Differential Equation （PDE） formulation.This model can address the segmentation of images with intensity inhomogeneity， while it allows for flexible initialization of the contours and is significantly less sensitive to noise. Key words： image segmentation； active contour model； Region-Scalable Fitting （RSF） model； Piecewise Constant （PC） model； Partial Differential Equation （PDE） 摘 要： 在现有的活动轮廓模型中， PC 模型和 RSF 模型是两个著名的基于区域的模型。PC 模型对活动轮廓的初始化和噪声不敏
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引言
经过十余年的发展， 几何活动轮廓模型已成为图像分割 领域一个热门的研究课题， 受到国内外学者的广泛关注。 几何活动轮廓模型基于曲线演化理论和水平集方法。其 基本思想是： 把演化曲线 （活动轮廓） 隐含地表示为一个高一 维函数 （水平集函数） 的零水平集， 水平集函数在一个偏微分 方程 （组） 的控制下进行演化， 直到零水平集演化到图像的目 标边缘为止。 几何活动轮廓模型通常可分为基于边缘的模型和基于区 域的模型两大类。它们在图像分割应用中各有千秋， 分割效 果的优劣取决于图像所具有的特征。本文讨论基于区域的模型。 在基于区域的几何活动轮廓模型中， PC 模型 [1] 是一个著 名的模型 （常称 C-V 模型） 。该模型要求图像的目标和背景的 灰度变化不大， 但两者平均灰度相差较大， 故可用二值 PC 函 数 （目标区域取一个值， 背景区域取另一个值） 近似代替待分 割的图像， 得到图像的卡通图， 从而提取目标的边缘。这就决 定了该模型不能分割灰度不均一 （intensity inhomogeneity） 图 像。该模型的主要优点是计算复杂性低， 演化结果对初始曲 线的位置不敏感， 并有较好的抗噪性。 文献[2]提出的 PS 模型， 部分解决了灰度不均一图像的分
对于每个水平集函数 ϕ ，fi ( x) 为图像在点 x 局部邻域的 加权灰度平均 （邻域大小由高斯函数的方差 σ 决定） ， 是一种 与方差 σ 有关的局部量， 没有涉及图像的全局信息。可见 RSF 能量是一种局部能量。RSF 能量的引入， 使得 RSF 模型能 够较好分割灰度不均一图像， 但也带来了新的问题： 分割结果 依赖于演化曲线的大小与初始位置， 对噪声较为敏感。
感， 但不能分割灰度不均一图像。RSF 模型能够分割灰度不均一图像， 但对活动轮廓的初始化和噪声较为敏感。基于 PC 和 RSF 模型， 提出一个以偏微分方程形式表达的基于区域的活动轮廓模型。实验表明该模型能够分割灰度不均一图像， 对初始轮廓的 大小和位置不敏感， 抗噪性也较强。 关键词： 图像分割； 活动轮廓模型； RSF 模型； PC 模型； 偏微分方程 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2011.11.058 文章编号： 1002-8331 （2011） 11-0204-03 文献标识码： A 中图分类号： TP911.73
其中，c1 和 c 2 分别是图像在演化曲线内外的平均灰度值，
基金项目： 重庆市科委自然科学基金计划资助项目 （No.CSTC， 2007BB2123） 。 作者简介： 陈强 （ 1985— ） ， 博士研究生， 研究方向为几何偏微分方程与图像处理； 何传江 （ 1964— ） ， 博士， 教授， 博士生导师。E-mail： chuanjianghe@sina.com 收稿日期： 2009-10-09； 修回日期： 2009-11-29
é ù æ Ñϕ ö 2 2 ¶ϕ = δ (ϕ) ê μ div ç ˉ1) + λ 2 ( I - c ˉ 2) ú ÷ - λ1( I - c ê ú+ ¶t è | Ñϕ | ø ë û æ æ Ñϕ ö ö νç ç Dϕ - div ç | Ñϕ | ÷ ÷ ÷ è øø è
( )
2
（1）
in(C ) 和 out (C ) 分别表示演化曲线的内 其中， C 是演化曲线， c1 和 c 2 分别为图像在区域 in(C ) 和 out (C ) 中 部和外部区域， λ1 、 λ 2 > 0 是权重系数。 的平均灰度值，μ ³ 0 ，
前面已经指出， 基于全局信息的 PC 模型对初始曲线位置 不敏感并具有较好抗噪性， 但不能分割灰度不均一图像。与 此相反， 基于局部信息的 RSF 模型能够较好分割灰度不均一 图像， 但是分割结果依赖于演化曲线的大小与初始位置， 对噪 声较为敏感。 为了吸纳 PC 模型和 RSF 模型的优点， 文献[4]结合这两个 模型提出了一个新模型——LGIF 模型。该模型的能量泛函是 PC 模型与 RSF 模型的能量泛函的一个形如 ωE PC + (1 - ω)E RSF （ ω Î[0 1] ） 的线性组合， 通过适当选择控制系数 ω ， LGIF 模 型既能分割灰度不均一图像， 又能避免对初始曲线位置敏感 的问题。 受文献[4]的启发， 基于 PC 和 RSF 模型从另一个角度提出 一个新的模型。该模型直接从 PC 模型的水平集演化偏微分 方程入手。本文模型定义为：
2 2
（2）
ϕ 是水平集函数， Ω 是图像区域，H (u) 是 Heaviside 函 其中，
根据变分法和最速下降法， 不难导出控制水平集演化的 偏微分方程：
é ù æ Ñϕ ö 2 2 ¶ϕ = δ (ϕ) ê （3） êμ div ç | Ñϕ | ÷ - λ1( I - c1) + λ 2 ( I - c 2) ú ú ¶t è ø ë û 对于每个水平集函数 ϕ ， 常数 c1 和 c 2 分别是图像在演化
（7）
பைடு நூலகம்
在演化方程 （7） 中： （1）c ˉ1 和 c ˉ 2 定义为：
c i = 1 2 ˉi ( x) = ωci + (1 - ω) fi ( x) ，
（8）
曲线内外的平均灰度值， 是一种全局量， 没有包含图像的任何 局部信息。可见 PC 模型完全基于图像的全局信息， 这是该模 型对初始曲线位置不敏感并具有较好抗噪性的原因。然而， 当图像呈现灰度不均一时， 由于 c1 和 c 2 没有包含任何的局部 信息， 用 c1 和 c 2 分别近似图像在演化曲线内外的灰度值必会 产生较大的误差， 从而导致 PC 模型不能分割灰度不均一图像。
割问题。PS 模型不是用一个 PC 函数而是用两个光滑函数 u+ 和 u- 逼近待分割图像， 其中， u+ 和 u- 分别定义于图像区域 Ω + 的两个互不相交的子区域 Ω 和 Ω -（ Ω = Ω + Ω - ） 。最后导 + 出的水平集演化方程是关于 u 和 u 的偏微分方程组。 为了解决灰度不均一图像的分割问题， 文献 [3] 提出 RSF 模型。该模型把 PC 模型的全局二值拟合能量泛函改为以高 斯函数为核函数的可变区域拟合能量定义的能量泛函， 较好 地克服了 PC 模型不能分割灰度不均一图像的困难。 PS 模型和 RSF 模型可以看成是 PC 模型的改进或扩展， 它 们从不同方面扩大了 PC 模型适用的范围。但是， 与上面提到 的 PC 模型的三大优点比较， 它们都存在一定的不足。对于 PS 模型， 计算复杂性高， 且没有完全解决灰度不均一图像的分割 问题。对于 RSF 模型： （1） 分割结果依赖于演化曲线的大小和 初始位置； （2） 对噪声较为敏感。 为了克服 RSF 模型的上述缺点， 文献[4]基于 PC 和 RSF 模 型提出了 LGIF （Local and Global Intensity Fitting） 模型。该 模型从能量泛函入手， 把能量泛函定义为 PC 模型与 RSF 模型 的能量泛函的一个线性组合。通过适当选择组合系数， 该模 型能够分割灰度不均一图像， 并较好解决了 RSF 模型对初始 曲线的位置敏感的问题。
在能量泛函 （1） 中， 第一项对应于演化曲线的长度， 起正 则化作用； 后两项是全局二值拟合项， 其作用是使演化曲线更 好地拟合目标边缘。 采用水平集方法， 得到能量泛函 （1） 的水平集表示形式：
E = μ Ω δ (ϕ)| Ñ(ϕ) |dx + λ1Ω| I - c1 | H (ϕ)dx + λ 2 Ω| I - c 2 | (1 - H (ϕ))dx δ(u) 是 Dirac 函数。 数，
陈
强， 何传江： 全局和局部拟合的活动轮廓模型
fi ( x) = K ( x)*[Mi (ϕ( x)) I ( x)] ， i = 1 2 K ( x)*Mi (ϕ( x))
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205 （6）
受文献[4]的启发， 本文基于 PC 和 RSF 模型从另一个角度 提出一个新的模型。新模型直接从 PC 模型的水平集演化偏 微分方程入手。实验表明， 该模型同时具有 RSF 模型和 PC 模 型的优点， 不但能够分割灰度不均一图像， 而且具有对初始曲 线的大小和位置不敏感以及抗噪性强的优点。