单位阶跃响应时 - 360文档中心

单位阶跃响应和单位冲激响应关系

单位阶跃响应和单位冲激响应关系嗨，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——单位阶跃响应和单位冲激响应关系。

让我们来了解一下这两个概念。

啥是单位阶跃响应啊？其实就是当我们把一个信号从0突然变成1的时候，系统会产生一种反应。

这种反应就是单位阶跃响应。

想象一下，你正在玩电脑游戏，突然有人在门口大喊一声“开门”，你的电脑屏幕上的画面就会发生一个瞬间的变化，这就是单位阶跃响应的体现。

那么，什么是单位冲激响应呢？这个概念就有点儿深奥了。

简单来说，当我们把一个信号从0突然变成1或者从1突然变成0的时候，系统会产生一种反应。

这种反应就是单位冲激响应。

想象一下，你正在看电视，突然画面从黑屏变成了一个画面，然后又瞬间变回了黑屏，这就是单位冲激响应的体现。

那么，这两个响应之间有什么关系呢？其实，它们之间的关系就像是一对亲兄弟一样。

虽然它们都是信号的变化，但是它们的性质是不同的。

单位阶跃响应是一种线性的、短暂的响应，而单位冲激响应则是一种非线性的、持续的响应。

当然啦，这并不是说它们之间没有任何关系。

实际上，它们之间的关系非常密切，而且还相互影响着对方。

接下来，我们来聊聊它们之间的具体关系。

我们要知道一个重要的概念——卷积。

卷积就是把两个信号叠加在一起，然后通过一定的数学运算得到一个新的信号的过程。

在这个过程中，原来的信号会发生变化，产生一种新的响应。

而这种新的响应就是卷积的结果。

那么，卷积和单位阶跃响应有什么关系呢？其实就是这样子的：当我们把一个单位冲激信号和一个单位阶跃信号进行卷积的时候，就会得到一个单位脉冲响应。

这个响应就是一个短暂的脉冲信号，它的作用就是让系统对单位冲激信号做出快速的反应。

那么，卷积和单位冲激响应又有什么关系呢？其实就是这样子的：当我们把一个单位冲激信号和一个单位阶跃信号进行卷积的时候，就会得到一个单位脉冲响应。

这个响应就是一个短暂的脉冲信号，它的作用就是让系统对单位冲激信号做出快速的反应。

单位阶跃响应和单位冲激响应之间的关系是非常密切的。

根据单位阶跃响应求传递函数

根据单位阶跃响应求传递函数分析：这是一道由传递函数改写为阶跃响应的问题，要想求出单位阶跃响应必须明确“信号”是什么。

设定变量代换，则得：故答案为：由于方法一：将单位阶跃响应中每个微分量的值取为零，将微分方程变形为：为保证未知量均能达到零，不能使用二阶导，故可考虑二阶全微分：进而可得：利用均值定理即可得到全微分方程：最后可得：同时，因为所以，即解得：依次类推得：再利用积分上限求得：或即方法二：将单位阶跃响应中每个微分量的值取为零，化为一个线性方程：方法二：将单位阶跃响应中每个微分量的值取为零，化为一个线性方程，然后根据方程的系数，可得：代入微分方程，可得：解得：将两式代入，得：或即：代入已知，即解得：结合方程的系数和未知数的范围，可得：此时只需验证对应的一阶导数等于零，就可求出单位阶跃响应的具体形式，从而求出各个未知数。

解答过程如下：10。

将实际问题转化为一个线性微分方程的求解问题，关键是找准主、客观变量之间的相互关系，注意对象参量的确定与单位阶跃响应变化趋势一致； 11。

将微分方程与均值定理联立，建立起一个线性方程，其解是特殊的实际问题，即将实际问题转化为一个线性微分方程的求解问题，关键是找准主、客观变量之间的相互关系，注意对象参量的确定与单位阶跃响应变化趋势一致； 12。

根据方程的系数，可得：同样地，根据方程的系数，可得：将以上两式代入方程，得：代入已知条件，得：结合方程的系数和未知数的范围，可得：此时只需验证对应的一阶导数等于零，就可求出单位阶跃响应的具体形式，从而求出各个未知数。

解答过程如下：方法三：选择特殊的阶跃函数，将该阶跃函数看成正弦函数的一阶导数，将其代入微分方程，可得：解得：也可得：进而得到解。

注意，此处只需验证对应的一阶导数等于零，就可求出单位阶跃响应的具体形式，从而求出各个未知数。

解答过程如下：总之，本题的关键是先确定出客观事物，并转化为一个线性微分方程，然后在根据方程的系数和未知数的范围，可求出单位阶跃响应的具体形式，从而求出各个未知数。

二阶系统的阶跃响应

瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频
率的为衰减速d，度称取为决阻于尼指振数荡函频数率的，幂瞬，态称分量为
衰减系数。
二阶系统的阶跃响应
经过实验知，过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最
快；欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升
时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量合适，调节时间短；若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度快.
一、二阶系统的阶跃响应 0 1
当 R(s) 1/ s 时，由传递函数性质有
C(s) R(s)G(s)
n2
1
s2 2ns n2 s
1 s
s 2 n
2 2 s
s n
2 n

1 s

(s
s )2 d2

(s
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根
单位阶跃响应为
h(t) 1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态过程为发散的形式
c(t) 1
et /T1
et /T2
T2 / T1 1 T1 / T2 1
对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周
期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此
时系统为过阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1

n (
1

2
1)
由此可见
1

3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应

1
是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界
o
t
临界阻尼响应
（四）无阻尼（ 0 ）的情况
系统有一对共轭纯虚数极点 p1, 2 j n ,它们在S平面上的位置如将 0 代入图所示。
C (t ) 1 e nt (cos d t

C (t ) 1 cos n t
0
2
P 1 n n
1
系统具有实部为正的极点，
P2 n n 2 1
输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。
根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特
点。因此阻尼比

是二阶系统的重要特征参数。
若选取
n t为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。
j
1
2
sin d t )
系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为 [s] C(t) 1 o
n
n
P 1
o
P2

(a)
0
(b)
t
无阻尼时的极点分布和响应
综上所述，不难看出频率
n 和
的物理意义。 d
——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡 n 阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。 —— d 分析
如图所示，此时曲线只和阻尼比

有关。
C (t )
0.1
0.3 0.5 0.7
越小，响应特性振荡得越厉害, 随着增大到一定程度，响应特
性变成单调上升的。

系统无振荡时，以临界阻尼时过渡过程的时间最短，此时，系统具有最快的响应速度。

一阶系统的单位阶跃响应

图3－5所示系统。

其输入－输出关系为11111)()(+=+=Ts s Ks R s C （3-3）式中KT 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。

实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。

一、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 sTs s C 111)(+=将)(s C 展开成部分分式，有11()1C s ss T=-+（3-4）对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 11)(--=0t ≥ (3-5)由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。

常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。

方程(3-5)中第二项由11/()s T+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加，它将逐渐衰减，最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。

可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。

显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即Te T dt dh t t T t 1|1|010===-= (3-6)这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。

实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T1一直下降到∞=t 时的零值。

因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，98.2%和99.3%。

一阶系统的单位阶跃响应

图3－5所示系统。

其输入－输出关系为11111)()(+=+=Ts s Ks R s C （3-3）式中KT 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。

实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。

一、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 sTs s C 111)(+=将)(s C 展开成部分分式，有11()1C s ss T=-+（3-4）对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 11)(--=0t ≥ (3-5)由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。

常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。

方程(3-5)中第二项由11/()s T+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加，它将逐渐衰减，最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。

可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。

显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即Te T dt dh t t T t 1|1|010===-= (3-6)这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。

实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T1一直下降到∞=t 时的零值。

因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，98.2%和99.3%。

三阶系统的单位阶跃响应主导极点

第三章线性系统的时域分析法
3
卢p45
1.三阶系统的单位阶跃响应

极点对三阶系统系统性能的影响
两个复数极点闭环主 P3> n 导极点－p3 附加闭环极点三阶简化为二阶
极点愈靠近虚轴，其对应分量的衰减愈慢，即起主导作用
－p3向虚轴移动，超调量，上升时间，调节时间。单调响应，无超调量
n
PD阻尼比d
二阶系统
t sr t cs (t ) 2 / n
第三章线性系统的时域分析法
R(s)=1/s2
R( s) E ( s) 2 n (s 1) 1 s ( s 2 n )
esr lim sE ( s) 2 / n
s 0
8
卢p49
3. 扰动作用下的系统瞬态分析

带零点的二阶闭环系统－PD控制
增大阻尼比，减少超调量，但也导致稳态误差的增大。
输出比例加微分 PD 负反馈的系统相同－超调量降低优势－稳态误差不变带零点的二阶闭环系统－PD控制
稳态误差 - tsr
2 n (s 1) G( s ) 2 2 s 2( ) s n n 2
Cd ( s ) T1s 1 K1K 2 / T1 D( s ) K1 s 2 s / T1 K1 K 2 K b / T1 稳态误差 K b K1K 2 / T1 (T1s 1) 1 K1 K b s 2 s / T1 K1 K 2 K b / T1
2 2
0<<1
=-1/
e nt l c(t ) 1 sin( d t ) (t 0) 2 z 1
零点与闭环复数极点相距愈远，零点影响愈小，系统则与不带零点的系统响应相同。

(单位)阶跃响应

（单位）阶跃响应阶跃响应（Unit Step Response）是描述信号系统对于阶跃信号输入的响应特性的一种方式。

在时间域中，阶跃信号是一种由零一瞬间跃变为一的信号，其数学表示为U(t)，其中当t≥0时，U(t)=1，否则U(t)=0。

阶跃信号可以看作是理想的刺激信号，因为它在瞬间改变系统的输入，并能够清晰地显示系统的响应过程。

在信号系统中，当输入为阶跃信号时，输出信号的形态称为阶跃响应。

单位阶跃响应是指当输入为单位阶跃信号的时候，系统输出的响应函数表达式。

引入单位阶跃函数U(t)，系统的阶跃响应可以表示为：h(t) = L^-1[H(s)] = L^-1[(1/s)·H(s)·U(s)]其中，H(s)是系统传输函数，L^-1表示拉普拉斯逆变换。

对于连续时间信号系统，其单位阶跃响应有一般阶跃响应和特殊阶跃响应两种情况。

一般情况下，连续时间系统的阶跃响应具有指数衰减和振荡的性质。

衰减性质来自于系统的稳定性，振荡性质则是由于系统的固有性能造成的。

当系统存在共轭复根时，其阶跃响应将呈现振荡特性，当系统的根全部或部分为实根时，其阶跃响应则通常表现出衰减特性。

因此，在设计某些信号系统的时候，需要对系统的极点进行分析，以了解系统的稳定性和响应特性。

特殊情况下，连续时间系统的阶跃响应可以是简单的直线函数或锯齿状函数。

这种特殊情况通常发生在理想的积分器中，即当系统传输函数为1/s时，其阶跃响应为线性函数。

在实际应用中，由于信号传输过程中存在噪声和非线性因素的干扰，使得系统很难达到理想的积分效果，因此需要对积分器进行补偿，如引入微分环节或使用改进的积分器结构，以提高系统的响应特性和稳定性。

对于离散时间信号系统，其单位阶跃响应也具有指数衰减和振荡的特性。

在离散时间信号系统中，单位阶跃响应可以表示为：h[n] = IDTFT[H(ejw)] = IDTFT[(1/z)·H(ejw)]其中，H(ejw)是系统的z变换，IDTFT表示离散时间傅里叶反变换。

单位阶跃响应单位斜坡响应

r(t)
A

0
矩形脉冲
令ε→0，即得脉冲信号的数学表达式为

t
,

r ( t )dt A
A=1时单位脉冲函数，记作δ(t)
8
⑤
正弦信号
A sin( t ), r( t ) 0 , t 0 t0
A为振幅，ω 为角频率，φ为初始相角。
s sin cos R( s ) s2 2
其中 s1 ,2 n n 2 1
特点：有两个负实数极点，y (t)单调收敛 s1 , 2 收敛的快速性
1 时，y( t ) 1 e
n t
1 时，y( t ) 1 e t ( 1 n t )，响应曲线？
n
第2式对 1 也成立，对应的y( t ) ?
系统
13
3.3
控制系统的暂态响应特性
单位阶跃响应与性能指标一阶系统的暂态响应特性二阶规范型系统的暂态响应特性零点对二阶系统暂态响应的影响高阶系统的暂态响应
14
3.3.1 单位阶跃响应与性能指标
性能指标：优化类，非优化类
如 e ( t )dt ,
2 0

t1
0
∴ K↑ u↑
u图
K与稳态误差 ess 的关系：
e图
10 K lim y( t ) K 0 ，其期望值 = 5 t 1 2K 10 K 5 e ss 5 即 K↑ ess↓ 1 2K 1 2K
24
抗扰性分析
10 1 ，设 D( s ) ，其余同前，即P ( s ) 2s 1 s F ( s ) 0.2 ， C ( s ) K

单位样值响应和单位阶跃响应的关系

单位样值响应和单位阶跃响应的关系在谈到单位样值响应和单位阶跃响应的关系时，咱们先得理清个头绪。

你可以把单位样值响应想象成一个小孩子，听到声音后马上做出反应，就像“啊，来了！”而单位阶跃响应呢，就像那孩子听到突然的鼓掌声，吓得一跳，然后再慢慢平静下来。

这俩家伙的关系就像青梅竹马，互相牵扯，互相影响。

单位样值响应就像是一种“闪电战”，它简洁明了，只给你一个瞬间的刺激。

想象一下，咱们在操场上，玩着跳绳，突然有人喊“停！”那一瞬间，大家都停下来了，这就是单位样值响应的感觉。

它就像是打开了一个开关，瞬间的变化让人意外又兴奋，仿佛生活中的每个小惊喜。

可惜，这种反应过于短暂，像是流星划过夜空，美丽却稍纵即逝。

而单位阶跃响应可就不同了，听起来像是一场轰轰烈烈的派对。

一旦那声“跳！”出来，所有人都在一瞬间做出了反应，但接下来的变化就开始慢慢展开，像是气氛渐浓的舞会。

你会看到大家从慌乱中恢复，逐渐找到节奏，开始享受这个派对。

那种从兴奋到平静的过程，就像是在描绘人生的起伏，波澜壮阔，令人神往。

单位样值响应就像是一道闪电，而单位阶跃响应则是一场交响乐。

两者之间的关系就像茶和水，水是基础，茶则是调味品。

你可以把单位样值响应看作是单位阶跃响应的一个小小插曲，虽然它的表现短暂却足以影响整个演出。

就像一杯水，你加一点点茶叶，立马就变得色香味俱全。

它们之间那种相辅相成的关系，不得不说是太有意思了。

再来说说这俩响应在实际应用中的角色。

比如在控制系统里，设计师们总是先关注单位样值响应，因为它能快速给出系统的反馈。

就像是餐厅的厨师，先得知道食材的新鲜程度，才能做出美味的菜肴。

然后，单位阶跃响应就像是整个菜单的呈现，随着顾客的需求变化，才决定上什么菜。

这俩的互动让整个系统变得更加顺畅，像极了舞蹈中的默契配合。

理解这些概念不是为了让你成为一个数学天才，而是为了让你在生活中更灵活地应对各种变化。

就像生活中的小插曲，总是有意想不到的惊喜。

你可以把单位样值响应视作是那些瞬间的闪光点，而单位阶跃响应则是生活的整体走势，波动起伏，生动鲜活。

单位阶跃响应函数

5
第三节一阶系统的瞬态响应
Wednesday, July 24,
2019
1
一阶系统的数学表现形式：其微分方程是一阶的，或其传递函数的特征方程是 s的一次方程。
典型的一阶系统的结构图如下：
R(s) E(s) k C(s)
-
s
其闭环传递函数为：(s) C(s) 1
式中，T 1
R(s) ,称为时间常数。
Ts 1
k
Wednesday, July 24,
2019
2
单位阶跃响应函数
单位阶跃响应函数：R(s) 1 s
C(s) 1 1 , Ts 1 s
c(t )

L1[ 1 Ts 1
1] s

L1[ 1 s

s
1
1
]

1
t
eT
T
这是一个单调上升的响应，见下图。瞬态性能指标只有调
定常系统都是适用的。
表3-1 列出了一阶系统在各种典型输入下的响应。
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
R(s) E(s) 1
-
Ts 1
Wednesday, July 24, 2019
C(s)
通过反馈，使得时间常数减小了一半。反馈后的传递函数如下：
节时间。
计算调节时间 t s
：1

1

ts
eT
C(t)

斜率=1/T
C(∞)
解之得：ts

4T，当 3T，当
2时 5时
0.8
0.95 0.98
0.6

自动控制原理实验报告

⾃动控制原理实验报告实验评价：指导教师（签名）年⽉⽇实验名称：线性定常系统的稳态误差⼀、实验⽬的和要求：（⼀）通过本实验，理解系统的跟踪误差与其结构、参数与输⼊信号的形式、幅值⼤⼩之间的关系；（⼆）研究系统的开环增益K 对稳态误差的影响。

⼆、实验内容：（⼀）观测0型⼆阶系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应，并实测它们的稳态误差；（⼆）观测I 型⼆阶系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应，并实测它们的稳态误差；（三）观测II 型⼆阶系统的单位斜坡响应和单位抛物波响应，并实测它们的稳态误差。

三、实验原理控制系统的⽅框图如图4-1所⽰。

其中G(S)为系统前向通道的传递函数，H(S)为其反馈通道的传递函数。

图4-1 控制系统的⽅框图由图4-1求得)()()(11)(S R S H S G S E +=（1）由上式可知，系统的误差E(S)不仅与其结构和参数有关，⽽且也与输⼊信号R(S)的形式和⼤⼩有关。

如果系统稳定，且误差的终值存在，则可⽤下列的终值定理求取系统的稳态误差：)(lim 0S SE e s ss →=（2）本实验就是研究系统的稳态误差与上述因素间的关系。

下⾯叙述0型、I 型、II 型系统对三种不同输⼊信号所产⽣的稳态误差ss e 。

1．0型⼆阶系统设0型⼆阶系统的⽅框图如图4-2所⽰。

根据式（2），可以计算出该系统对阶跃和斜坡输⼊时的稳态误差：图4-2 0型⼆阶系统的⽅框图1）单位阶跃输⼊（sS R 1)(=）3112)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=?+++++?=→S S S S S S e S ss2）单位斜坡输⼊（21)(s S R =） ∞=?+++++?=→2012)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim SS S S S S e S ss 上述结果表明0型系统只能跟踪阶跃输⼊，但有稳态误差存在，其计算公式为：Pss K R e +=10其中)()(lim 0S S H S G K p →?，R 0为阶跃信号的幅值。

高阶系统的单位阶跃响应

自动控制原理
第三章时域分析法
一、典型输入信号 1．阶跃函数
其表达式为
a t ≥ 0 r (t ) 0 0 t
当a=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有
1 t ≥ 0 1(t ) 0 0 t 单位阶跃函数的拉氏变换为 1 R( s ) L [1( t )] s
稳：即稳定性，在响应曲线上的反应是有界输入产生有界输出。它是系统固有性质，由系统的结构和参数决定，与外界因素无关。
自动控制原理第三章时域分析法由单位阶跃响应曲线判定系统的稳定性
自动控制原理
第三章时域分析法
过渡过程性能指标：描述快速性和平稳性。稳态性能指标：描述准确性。
①延迟时间td
单位脉冲函数δ (t)，其数学描述为
t 0 (t ) 且 0t 0

(t )dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为
R( s ) L [ ( t )] 1
自动控制原理
第三章时域分析法
r(t)
5．正弦函数其表达式为
o
a sin tt ≥ 0 r (t ) t 0 0
自动控制原理
第三章时域分析法
2．速度函数（斜坡函数）
其表达式为
at t ≥ 0，a为常量 r (t ) 0 0 t
当a=1时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变换为
1 R( s ) L [t 1( t )] 2 s
自动控制原理
第三章时域分析法
3．加速度函数（抛物线函数）其表达式为
%
h( tp ) h() h() 100%
②上升时间tr ③峰值时间tp ④超调量% ⑤调节时间ts

单位阶跃响应与单位脉冲响应

➢ 一阶系统的形式
C(s) 1 R(s) Ts 1
闭环极点(特征根)：-1/T
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
➢一阶系统的单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
第三章
1t
c(t) 1 e T
R(s)

1 s2
C(s)

1 Ts 1

1 s2
1T T s2 s s 1
T
1t
c(t) t T Te T
t0
第三章
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
CHANG’AN UNIVERSITY
第三章
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后时间T； 3）稳态误差=T。
o
t
R(s)

2A S3
当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为
r (t )

0 1 2
t
t0 t0
R(s)

1 S3
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
四．脉冲函数
r(t)
A
第三章
0
r (t )

A

t 0及t 0t
稳定边界
CHANG’AN UNIVERSITY
n ：无阻尼自然频率
长安大学信息工程学院
自动控制理论
临界阻尼：=1
C(s) R(s)

信号与系统阶跃响应例题

信号与系统阶跃响应例题
在信号与系统中，阶跃响应是一个常见的概念，它描述了系统在输入信号为阶跃函数时的响应情况。

下面是一个阶跃响应的例题：假设有一个系统的传递函数为H(s) = 1/(s+2)，求该系统在输入信号为阶跃函数时的阶跃响应。

解题步骤如下：
1. 将传递函数H(s)中的s替换为jω，得到H(jω) = 1/(jω +
2)。

2. 计算系统的单位阶跃响应h(t)，即系统在输入信号为u(t)
时的响应。

根据拉普拉斯变换的定义可知，h(t) = L^{-1}[H(s)/s]，其中L^{-1}表示拉普拉斯反变换。

将H(s)/s代入上式中，得到h(t) = L^{-1}[1/(s(s+2))]。

3. 对于L^{-1}[1/(s(s+2))]，可以使用部分分式分解的方法将其拆分为L^{-1}[1/s]和L^{-1}[-1/(s+2)]两部分。

具体地，对于1/(s(s+2))，可以拆分为A/s + B/(s+2)，其中A 和B是待求系数。

将A/s + B/(s+2)代入原式中，得到1/s = A/(s+2) + B/s。

将s分别取0和-2，得到A = -1/2，B = 1/2。

因此，1/(s(s+2)) = -1/(2(s+2)) + 1/(2s)。

将-1/(2(s+2))和1/(2s)分别代入拉普拉斯反变换的公式中，可得到L^{-1}[-1/(2(s+2))] = -1/2 e^{-2t}和L^{-1}[1/(2s)] = 1/2。

因此，h(t) = L^{-1}[1/(s(s+2))] = -1/2 e^{-2t} + 1/2。

这就是该系统在输入信号为阶跃函数时的阶跃响应。

阶跃响应、冲激响应

iS
iC +
(t)
R
C uC
定性分析
（1） t 在 0- ～ 0+ 间
uC(0)=0，电容相当于短路
iC (t )
0
Δq 0 iCdt 1
uC
(0
)
Δq C
uC
(0
)
1 C
（2） t > 0+ 零输入响应。
解（1） t 在 0- ～ 0+ 间
C duC uC (t )
dt R
0 C duC dt
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9.1 阶跃函数和冲激函数
一、单位阶跃函数（unit step function）
(t)
1. 定义
(t)
def
0 1
(t 0) (t 0)
1
0
t
用 (t )可描述开关的动作。
S
US
R+ uC C
–
开关在t =0 时闭合
US(t)
R+ uC C –
def 0 (t 0)
US (t) US (t 0)
(t) 线性网络 h(t)
一、卷积积分（convolution）定义设 f1(t) , f2(t)在 t < 0时均为零
t
f1(t )* f2 (t ) 0 f1( ) f2 (t )d
性质1 f1(t)* f2(t) f2(t)* f1(t)
t
证明 f1(t )* f2 (t ) 0 f1( ) f2 (t )d
01
t
(1< t) f (t) (t 1)
则 f (t) t [ (t) (t 1)] (t 1)
二、单位冲激函数（unit pulse function）

信号与系统§3.4 离散系统的单位抽样响应与单位阶跃响应

单位抽样序列 (n) 只有 n 0 时刻存在非零值1，当
n 为其他值时都为零。因而可便利地利用迭代法
次求依出 h(0),h(1),L h(n)；当 (n) 作为系统的输入激励信
号时，若 n 0 ，则其相当于一个零输入系统，激励
信号的作用已经转化为系统的储能状态的变化，在这种情况下，单位抽样响应 h(n)的函数形式为
N
h(n) ci in i 1
其中 ci 为待定系数，它由冲激函数 (n) 的作用转换
为初始条件来求解。
离散系统的单位阶跃响应
定义：单位阶跃响应是单位阶跃序列u(n) 作为离
散时间系统的输入激励信号而产生的零状态响应，用
g(n) 来表示。它与连续时间系统的单位阶跃响应类似。
ห้องสมุดไป่ตู้
n

由 u(n) (m) (n m), (n) u(n) u(n 1) u(n)
m
m0
若 T[ (n)] h(n), T[u(n)] g(n),
又因为系统是线性时不变系统，有
n

g(n) h(m) h(n m)
m
m0
号与系统信
§3.4 离散系统的单位抽样响应与单位阶跃响应
离散系统的单位抽样响应离散系统的单位阶跃响应
离散系统的单位抽样响应
单位抽样响应：单位抽样序列 (n)作为离散时间系统的输入激励信号而产生的零状态响应，用h(n) 来表示。它与连续时间系统的单位冲激响应类似。
单位抽样响应解法

§3.2 单位序列响应和阶跃响应

(λ+1) (λ – 2) = 0 h(k) = C1(– 1)k + C2(2)k ， k>0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= – C1+2C2 = 1 解得C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k , k≥0 或写为
h(k) = [(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k] ε(k)
■
第5页
单位序列响应例1
例1 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。
解根据h(k)的定义有 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) h(–1) = h(–2) = 0
（1）
（1）递推求初始值h(0)和h(1)。
h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k) h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1
■
第6页
(2) 求h(k)
对于k >0， h(k)满足齐次方程
h(k) – h(k – 1) – 2h(k – 2) = 0 特征方程
f (k) (k) f (0)
k
δ(k)
1 -1 o 1 k
3.2-3
▲
■
第2页
2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
•定义
(k
)
def
1, 0,
k 0 k 0
•ε(k)与δ(k)的关系
δ(k) = ε(k) –ε(k –1)

03 自动控制原理—第三章(2)

一,稳态误差的定义
1. 系统误差ε(t)定义为:系统响应的期望值c0(t)与实际值c (t)之差,即: ε (t ) = co (t ) c (t ) ε (s ) = co (s ) c(s ) 通常以偏差信号 R ( s ) H ( s ) C ( s ) 为零来确定希望值,即:
R (s ) H (s )CO (s ) = 0
3.6 系统稳态性能分析
评价一个控制系统的性能时,应在系统稳定的前提下,对系统的动态性能与稳态性能进行分析.如前所述,系统的动态性能用相对稳定性能和快速性能指标来评价.而系统的稳态性能用稳态误差指标来评价, 即根据系统响应某些典型输入信号的稳态误差来评价. 稳态误差反映自动控制系统跟踪输入控制信号或抑制扰动信号的能力和准确度.稳态误差主要与系统的结构,参数和输入信号的形式有关.
上述三种误差系数定量地描述了系统在稳态误差与给定信号种类和大小之间的关系,统称为系统静态误差系数. 4.控制系统的型别与无差度阶数系统的开环传递函数可以看成由一些典型环节组成,即:
G K (s) = K sν
∏ (τ s + 1)∏ (τ
i =1 n1 i k =1 n2 j j =1 l =1
2.传递函数: Gc(s)=Kp(1+τds) 若偏差正处于下降状态,则 d τ d e (t ) < 0 dt 说明比例微分控制器预见到偏差在减小,将产生一个适当大小的控制信号,在振荡相对较小的情况下将系统输出调整到期望值. 因此,利用微分控制反映信号的变化率(即变化趋势)的"预报"作用,在偏差信号变化前给出校正信号,防止系统过大地偏离期望值和出现剧烈振荡的倾向,有效地增强系统的相对稳定性,而比例部分则保证了在偏差恒定时的控制作用. 可见,比例—微分控制同时具有比例控制和微分控制的优点,可以根据偏差的实际大小与变化趋势给出恰当的控制作用. PD调节器主要用于在基本不影响系统稳态精度的前提下提高系统的相对稳定性,改善系统的动态性能.

一阶系统的单位阶跃响应

图3－5所示系统。

其输入－输出关系为11111)()(+=+=Ts s Ks R s C （3-3）式中KT 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。

实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。

一、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 sTs s C 111)(+=将)(s C 展开成部分分式，有11()1C s ss T=-+（3-4）对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 11)(--=0t ≥ (3-5)由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。

常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。

方程(3-5)中第二项由11/()s T+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加，它将逐渐衰减，最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。

可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。

显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即Te T dt dh t t T t 1|1|010===-= (3-6)这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。

实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T1一直下降到∞=t 时的零值。

因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，98.2%和99.3%。