建模报告-初等模型
数学建模第五部分-初等模型及简单优化模型
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
5.1 公平席位分配
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
• 空右轮盘半径记作 r ；
• 时间 t=0 时读数 n=0 .
建模目的
建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
5.2 录像机计数器的用途
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法
1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
5.3 双层玻璃窗的功效
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
5.1 公平席位分配
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A 题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。
根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。
如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。
出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。
（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。
B 题 铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o 的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。
最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。
以降落点为原点O建立直角坐标系。
数学建模之初等模型
情形3
p1 p2 ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 1 位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n p 1 2 ( p n 2 2 (n 1 2 ) 1 ) p 1 (p n 2 2 n 11 ) 1
若 r B (n 1 1 ,n 2 ) r A (n 1 ,n 2 1 ),
取 r 4 参 m /s ,I 3 数 6 2 c/0 s , m p 1 0 .3 1 9 60
C 6 .9 5 1 4 0 (0 .8 sin 6c o 1 s.5 v)
v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定 ，如何选择 v使得 C最小。
情形1 90
C6.95 1 04(0.81.5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 1.3 1 1 4 0 m 31.1升 3
情形2 60
C 6 .9 1 5 4 [ 0 1 .5 (0 .43 3 )/v ]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行度 走 v的 6米 /每 最秒 大， 速则计算 你在雨中 16行 秒 7 走 ， 2分 了 即 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。
C t (I/36 ) 0 .0 S 1 0 (米 3 ) 1(D 0 /v ) I/36 S （ 00升
数学建模实验二初等模型实验
数学建模实验⼆初等模型实验集美⼤学计算机⼯程学院实验报告课程名称：数学模型班级：计算12 实验成绩：指导教师：付永钢姓名：实验项⽬名称：初等模型试验学号：上机实践⽇期：实验项⽬编号：实验⼆上机实践时间：2014.11⼀、实验⽬的掌握初等模型的建⽴的基本思路和⽅法，并了解其求解过程。
对给定的初等模型问题能够借助Matlab ⼯具进⾏求解。
⼆、实验内容实验 1 ⽤Matlab 验证划艇⽐赛成绩模型的结果，通过数值结果来检验你所得到的模型正确性。
(⾸先要阅读本⽬录中的Matlab 数据拟合和matlab 数据处理的相关材料)实验2 求解汽车刹车距离的模型，⽤Matlab 给出你的求解结果。
验证应该遵循的t 秒准则的标准。
实验3 从教材P56中的第7，13，14题，任选⼀题，建⽴相应的初等模型，并借助matlab 进⾏求解，并给出合理的模型解释。
三、实验使⽤环境WindowsXP 、Matlab6.1四、实验步骤1、划艇⽐赛成绩的模型检验根据推导出的模型公式和数据，对参数βα,进⾏求解βαn t =。
⾸先转换成对数形式：,log 'log n t βα+=其中ααlog '=然后对给定数据进⾏拟合。
代码：n=[1 2 4 8]t=[7.21 6.88 6.32 5.84]lgn=log(n);lgt=log(t);p=polyfit(lgn,lgt,1);alpha=exp(p(2));belta=p(1);x=1:20;y=alpha*x.^belta ;plot(x,y,’c*-‘) ;xlabel(‘Number of Athlete ’);ylabel(‘Time Cost ’);Matlab 拟合函数图像：结果分析：划艇⽐赛模型的结果为t∞n-（1/9）.。
在matlab中检验得belta =-0.1035与-（1/9）接近。
因此，模型正确。
2、汽车刹车距离验证代码：function E=fun1(a,x,y)Y=a(1)*x.*x+0.75*x;E=y-Y;%M⽂件结束%⽤lsqnonlin调⽤解决:x=[29.3 44 58.7 73.3 88 102.7 117.3];y=[44 78 124 186 268 372 506];a0=[0.5];options=optimset('lsqnonlin');a=lsqnonlin(@fun1,a0,[],[],options,x,y)%绘图plot(x,y,'o');hold on;x=[0:200];y=a(1)*x.*x+0.75*x;plot(x,y,'-');hold off结果分析：汽车刹车距离求解结果在Matlab的模型如上所⽰。
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
数学建模初等模型ppt课件
61 1
61 1
21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
23
理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0
数学建模---初等模型
1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）
2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外)， 主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、 代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数 理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路) ,组合 数学,排队论等。 只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系 （如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决 哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不 必涉及模型的求解。
二、双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 假 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 材料均匀，热传导系数为常数
室 内 T1 室 内 T1 d l 墙 室 外 T2 d 室 外 T2
初等模型
一、选举中的席位分配 二、双层玻璃窗的功效
三、汽车刹车距离
四、划艇比赛的成绩 五、实物交换 六、核军备竞赛 七、启帆远航
一、选举中的席位分配
（一）比例代表制 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各 政党的选民数为： A党：199,000 B党：127,500 C党：124,000 D党： 49,500 要选出5名代表： A党：2席 B党：1席 C党：1席 D党：0席 缺少1席，如何分配这最后一席呢？
2、洪德(dHondt)规则
分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、3、… 除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。由于A 党代表的选民数的三分之一比D党代表的选民的人数还多， 那么给A党3席、给D党0席也是合理的。
数学建模第二章初等模型
市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)
数学建模-初等优化模型简介
优化模型二 货机装运问题
某架货机有三个货舱：前 舱、中舱、后舱。三个货舱 所能装载的最大重量和体积 都有限制。为了保持飞机的 平衡，三个货舱中实际装载 货物的重量与其最大容许重 量成比例。现有四类货物供 该货机本次飞行装运，其有 关信息如右表。应如何安排 装运，使该货机本次飞行获 利最大？ 前舱 中舱 后舱
优化模型四 选课问题
某学校规定，运筹学专业的学生毕业时至少要学 习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机。这 些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课程 由下表给出，那么毕业时学生最少可以学习这些课 程中的哪些课程。 如果某个学生既希望选修的课程数量少，又希望 所获的学分多，他可以选修哪些课程。
求量300千吨，此时水库供水量不能全部卖出，因 而不能将获利最多问题转化成引水管理费用为最少 的问题。 为此，我们首先计算A、B、C三个水库向各居 民区供应每千吨水的净利润，即从收入900元中减 去其它管理费用450元，再减去引水管理费用，得
净利润元/千吨 A B C 甲 290 310 260 乙 320 320 250 丙 230 260 220 丁 280 300 ---
利用数学建模方法来处理一个优化问题 第一步：需要确定优化的目标； 第二步：确定需要做出的决策； 第三步：写出决策需要受哪些条件的限制。 在建模的过程中，需要对实际问题作若干合理的 简化假设。 然后用相应的数学方法去求解。 最后对结果作一些定性、定量的分析和必要的检 验
优化模型一
生产安排问题
某工厂有三种原料 B1，B2，B3，其储量 分别170kg,100kg和 原料 150kg；现用来生产A1， 产品 A2两种产品；每单位 A1 产品的原料消耗量及各 产品的单位利润由右表 A2 给出，问工厂在现有资 资源限额 源的条件下，应如何安 排生产，可使工厂获利 最多？
数学建模-初等模型讲义
123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例 分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。 贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23
数学建模培训初等模型
人口增长模型
总结词
人口增长模型是用来描述人口随时间变化的 规律和趋势的数学模型。
详细描述
该模型通常由一组微分方程组成，表示人口 在不同年龄和性别的增长率。通过求解这组 微分方程，可以预测未来人口数量和结构的 变化，为政策制定提供依据。
经济增长模型
总结词
经济增长模型是用来描述一个国家或地区经 济随时间变化的规律和趋势的数学模型。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
求解模型
运用数学方法和计算工具对建 立的模型进行求解。
明确问题
首先需要明确建模的目标和问 题，理解实际问题的背景和需 求。
建立模型
根据问题的特点和收集的数据， 选择合适的数学模型进行建模。
验证与优化
对求解结果进行验证，并根据 实际情况对模型进行优化和改 进。
建立数学模型的步骤
收集数据
根据问题收集相关数据，包括 实验数据、观测数据、统计数 据等。
02
它能将现实世界中的问题转化为 数学问题，并运用数学方法进行 求解，进而对现实世界的问题作 出预测和决策。
什么是数学建模
01
数学建模是运用数学语言和方法 ，通过抽象、简化建立能近似刻 画并解决实际问题的一种强有力 的数学手段。
数学建模_初等模型
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =
= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。
数学建模实验答案初等模型
数学建模实验答案初等模型文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]实验02 初等模型（4学时）（第2章 初等模型）1.（编程）光盘的数据容量p23~27 表1 3种光盘的基本数据CAV 光盘：恒定角速度的光盘。
CLV 光盘：恒定线速度的光盘。
R2=58 mm, R1=22.5 mm ，d, ρ见表1。
CLV 光盘的信息总长度(mm) L CLV 2221()R R dπ-≈CLV 光盘的信息容量(MB) C CLV = ρL CLV / (10^6) CLV 光盘的影像时间(min) T CLV = C CLV / (0.62×60) CAV 光盘的信息总长度(mm) L CAV 222R dπ≈CAV 光盘的信息容量(MB) C CAV = ρL CAV / (10^6) CAV 光盘的影像时间(min ) T CAV = C CAV / (0.62×60) 1.1（验证、编程）模型求解 要求：①（验证）分别计算出LCLV, CCLV 和TCLV 三个3行1列的列向量，仍后输出结果，并与P26的表2（教材）比较。
程序如下：②（编程）对于LCAV, CCAV 和TCAV ，编写类似①的程序，并运行，结果与P26的表3（教材）比较。
1.2（编程）结果分析 信道长度LCLV 的精确计算：212R CLV R L dπ=⎰模型给出的是近似值：2221()CLV R R L L dπ-=≈相对误差为：CLV L LLδ-= 要求：① 取R2=58 mm, R1=22.5 mm ，d, ρ见表1（题1）。
分别计算出LCLV, L和delta三个3行1列的列向量，仍后将它组合起来输出一个3行3列的结果。
②结果与P26的表2和P27（教材）的结果比较。
[提示]定积分计算用quad、quadl或trapz函数，注意要分别取d的元素来计算。
要用数组d参与计算，可用quadv（用help查看其用法）。
数学建模 第一章 初等模型
型. 由此模型可解决这两个问题.
2V0
⑴炮弹发射后落地时纵坐标 y
2
0,
2
即
kx l (k 1) x , ( x 0), k x . 2 l (k 1)
dx 1 1 k 0 k 1. 2 2 dk l (k 1) k 1为函数的极大值点, 即最佳角度满足
第一章 初等模型
在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题,
用常用的数学工具即可求解此类问题.
一、微积分方法寻找最优点
问题一
铁路线上 AB 段的距离为100km, 工厂C 距 A 处
20km, 并且 AC AB.（见下图） 为了运输需要, 要在 AB上选定一点 D, 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里 货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3: 5, 问D 点
⑼
该方法就称为最小二乘法.
最小二乘法的几何意义
y
y ax b
O
x
进一步地, 若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方 程.
曲线拟合关系中的方程⑼常称为法式方程.
利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各 项系数. MatLab中曲线拟合命令是 polyfit.
基本格式 polyfit
应选在何处? 建模 设 AD xkm, 则
A x D B
DB 100 x,
20km
C
CD 400 x 2 .
再设铁路上货运的运费为 3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从 B 到 C 的总运费为 y, 则
y 5k CD 3k DB
数学建模初等模型
模型3（经典模型）
经典模型是根据生理学中的已知结果和比例关系推导出来的 公式，应当说，它并不属于经验公式。为建立数学模型，先 提出如下一些假设：
(1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截 面积A，即L=k1A
(2)A正比于身高 l的平方，即 A=k2l2 (3)体重正比于身高 l的三次方， 即B=k3l3
则可作 y
变量y替=a换x+使b之转化为线性in1关[ y系i 或 (用ax类i 似b方)]2
法拟最合小。
此式对a和b的偏导数均 为0，
解相应方程组，求得：
其中(xxi ,y和i) y
分别为xi和yi 的平均值 x O
a
n i1
(
xi
x)( yi
y)
n i1
(
xi
块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
经验模型
当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知 识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据 进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系 即函数关系。
解得：
Ta
1 k1l k2d
2 (k1l) /
T1 T2
(k2d )
Q
k1
T1
(1
k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1 2
T2 k1l k2d
f(h)
室
室
1内
外
0.9 0.8 T1
建模例子综述
一、初等模型——汽车刹车距离刹车问题考虑的是对刹车距离进行分析，以判断出后车与前车在行驶时相距多远为一个安全距离。
题目中分析了刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，从而得出影响刹车距离的因素有反应时间、车速、制动力、车重、车速、以及道路、气候等，把这些因素进行了定量分析，从而得到一个刹车距离关于行驶速度的式子，从式子里面我们可以根据不同的行驶速度得到一个可以参考的安全距离。
在建立模型时，运用了物理知识进行分析，对于假设的时间、比例系数等参数采用经验估计和数据拟合的方法进行估计，从而得到一个相对比较有参考价值的数据。
二、简单的优化模型——最优价格优化问题通俗来讲指的是在做决策时，如何在众多选择中做出一个最优决定。
在具体处理这类问题时，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制，然后通过数学工具来表示定量它们，在这个过程中要对实际问题作出若干合理的假设，最后在求出最优决策时，要对结果进行一些定性、定量的分析和必要的检验，从而得到我们期望的最优结果。
最优价格问题指的就是寻求使工厂利润最大的最优价格，总收入和总支出都可以直接进行定量分析，但是涉及到销售量这个变量x，而这个变量依赖于价格p，这时就用了一个函数来表示两者之间的关系，中间涉及的假设通过对实际工作中的统计数据用最小二乘法拟合来确定，最后得到最优价格与成本、绝对需求量及市场需求对价格的敏感系数的关系。
三、简化的优化模型——消费者的选择本例利用无差别曲线族的概念讨论，当一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时作出的选择，即在消费时，怎样安排使得最后得到最满意、最实惠的商品，也可以理解为获得一个最优选择的问题。
在分析人们对商品的偏好程度时引入一个效用函数进行定量分析，在满足一定的约束条件下，求使得效用函数达到最大的那个解。
在构造效用函数时，给出了常见的几种形式，可根据实际分析情况决定选用哪一种形式的效用函数，并由经验数据确定其参数。
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墙
室 外 T2
热传导定律
T Qk d
Machine Learning Center
2d
Q2
墙
模型建立
记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
室 内 T1 Ta T b
d l d
室 外 T2
Tb~外层玻璃的内侧温度
k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
Q1
墙
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
Machine Learning Center
录像机计数器的用途
经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到 问题 尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到 6061。 在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。 计数器读数是均匀增长的吗？ 计数器读数增长越来越慢！
将绝对度量改为相对度量
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
Machine Learning Center
要求 思考 观察
问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘 右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 0000 计数器
录像带运Байду номын сангаас方向
录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
Machine Learning Center
右轮转速不是常数
模型假设
该席给Q值最大的一方
Machine Learning Center
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3 2
用Q值方法分配 第20席和第21席
103 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 1011 67 3 4 Q1最大，第20席给甲系
房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。 双层窗的功效不会如此之大
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实物交换
问 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
用x,y分别表示甲(乙)占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图： y yo•
2 2
3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有
[(r wkn) r ] wvt (r wkn)2kdn vdt
t
wk
v
2
2rk n n v
2
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思 考
m
3种建模方法得到同一结果
2 (r wi ) vt
i 1
[(r wkn) r ] wvt
2 2
t
wk
v
2
(r wkn)2kdn vdt
2rk n n v
2
思 考
模型中有待定参数
r , w, v, k ,
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
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参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析
双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失
室 内 T1 室 外 T2
d
l
d
Q1
假 热量传播只有传导，没有对流 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态
材料均匀，热传导系数为常数 建 Q ~单位时间单位面积传导的热量 室 模 T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 内 T1
• 录像带的运动速度是常数
• 计数器读数
v；
n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； w；
• 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 • 空右轮盘半径记作 • 时间
r；
t=0 时读数 n=0 . 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
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建模目的
60 2760 160 5525
80 3413 184 6061
a 2.61 10 , b 1.45 10 .
2
6
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模 型 检 验
应该另外测试一批数据检验模型：
t an bn (a 2.6110 , b 1.4510 )
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
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―公平”分配方 法
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
系别 学生 比例
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
21席的分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
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20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？
否!
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A
若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
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公平席位分配的Q 值法 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义 2 2 p2 p1 该席给A n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B pi2 , i 1,2, 该席给Q值较大的一方 定义 Qi ni (ni 1) 2 pi 推广到m方 , i 1,2， , m 计算 Qi ni (ni 1) 分配席位
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
2 (r wi) vt
i 1
m
m kn
t
wk
v
2
2rk n n v
2
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模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 乘以转过的长度，即
2
6
2
模 型 应 用
回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分， 剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。
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应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1)
初等模型
公平的席位分配 录像机计数器的用途 双层玻璃窗的功效
实物交换
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公平的席位分配
问 题
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。
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进一步的讨论
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
M
. .
p1
M1
p3(x3,y3)
.
p2
N1
N
x2
xo x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，
比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。 于是形成一族无差别曲线（无数条）。