建模报告-初等模型

问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？
否!
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A
若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
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公平席位分配的Q 值法 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义 2 2 p2 p1 该席给A n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B pi2 , i 1,2, 该席给Q值较大的一方 定义 Qi ni (ni 1) 2 pi 推广到m方 , i 1,2， , m 计算 Qi ni (ni 1) 分配席位
该席给Q值最大的一方
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Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3 2
用Q值方法分配 第20席和第21席
103 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 1011 67 3 4 Q1最大，第20席给甲系
2d
Q2
Q1 2 k1 l , sh , h Q1 Q2 墙 Q2 s 2 k2 d k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32
对Q1比Q2的减少量 作最保守的估计， 取k1/k2 =16
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
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进一步的讨论
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
初等模型
公平的席位分配 录像机计数器的用途 双层玻璃窗的功效
实物交换
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公平的席位分配
问 题
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。
将模型改记作 t an bn ,
2
只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可
实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合
现有一批测试数据： 用最小二乘法可得
t 0 20 40 n 0000 1141 2019 t 100 120 140 n 4004 4545 5051
第21席
Q值方法 分配结果
1032 Q1 80.4, Q2 , Q3 同上 1112
Q3最大，第 21席给丙系
甲系11席，乙系6席，丙系4席
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公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
60 2760 160 5525
80 3413 184 6061
a 2.61 10 , b 1.45 10 .
2
6
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模 型 检 验
应该另外测试一批数据检验模型：
t an bn (a 2.6110 , b 1.4510 )
将绝对度量改为相对度量
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
系别 学生 比例
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
21席的分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
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20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
2 2
3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有
[(r wkn) r ] wvt (r wkn)2kdn vdt
t
wk
v

2
2rk n n v
2

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思 考
m
3种建模方法得到同一结果
2 (r wi ) vt
墙
室 外 T2
热传导定律
T Qk d
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wk.baidu.com
2d
Q2
墙
模型建立
记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
室 内 T1 Ta T b
d l d
室 外 T2
Tb~外层玻璃的内侧温度
k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
Q1
墙
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
• 录像带的运动速度是常数
• 计数器读数
v；
n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； w；
• 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 • 空右轮盘半径记作 • 时间
r；
t=0 时读数 n=0 . 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
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建模目的
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T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
模型建立
记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d 双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1 室 外 T2
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应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1)
房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。 双层窗的功效不会如此之大
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实物交换
问 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
用x,y分别表示甲(乙)占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图： y yo•
―公平”分配方 法
人数 席位
衡量公平分配的数量指标
A方
B方
p1
p2
n1
n2
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对A不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
2 (r wi) vt
i 1
m
m kn
t
wk
v
2
2rk n n v
2
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模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 乘以转过的长度，即
i 1
[(r wkn) r ] wvt
2 2
t
wk
v
2
(r wkn)2kdn vdt
2rk n n v
2
思 考
模型中有待定参数
r , w, v, k ,
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
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参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析
双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失
室 内 T1 室 外 T2
d
l
d
Q1
假 热量传播只有传导，没有对流 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态
材料均匀，热传导系数为常数 建 Q ~单位时间单位面积传导的热量 室 模 T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 内 T1
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录像机计数器的用途
经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到 问题 尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到 6061。 在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。 计数器读数是均匀增长的吗？ 计数器读数增长越来越慢！
M
. .
p1
M1
p3(x3,y3)
.
p2
N1
N
x2
xo x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，
比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。 于是形成一族无差别曲线（无数条）。
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
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―公平”分配方 法
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
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要求 思考 观察
问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘 右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 0000 计数器
录像带运动方向
录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
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右轮转速不是常数
模型假设
y
.
p
• 0 xo x x 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)
都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y)
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分析与建模
无差别曲线
y yo y1 y2 0 x1
如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2) 具有同样的满意程度，即p1, p2 对甲是无差别的， 将所有与p1, p2无差别的点连接 起来，得到一条无差别曲线MN,
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结果分析
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
Q1/Q2
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 0.06 即双层玻璃窗与同样多材料 0.03 的单层玻璃窗相比，可减少 0.02 0 97%的热量损失。
2
4
6
h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。
2
6
2
模 型 应 用
回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分， 剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。
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