种群年龄结构

（3）若使用一种除虫剂控制昆虫数，已知药剂 将使各周龄该昆虫的成活率减半，问这种除虫剂是 否有效？
情况假定
这种昆虫在一个地区繁衍，其雌、雄数目之
比基本恒定，讨论时可将虫数设为雌虫数
假设开始时三种周龄：C0:[0,2),C1:[2,4)
C2:[4,6) 的昆虫数均为一个单位
数学模型
设 x0(t),x1(t),x2(t)分别为在t 时刻周龄 C0 , C1,C2 的昆虫数，以2周为时间单位，那么

AkX(0)
1 k 2 k [c0α0 ( ) c1α1 ( ) c2α2 ] 0 0
k 0
这意味着k充分大时，昆虫数
X (k ) c α
k 0 0 0
记 X ( k ) x0 (t ) x1 (t ) x2 (t ), 量) s0 k 0 c0α0 X (k ) α0 1 k s1 s0 s1 s2 X (k ) α0 0 c0α0
蓝鲸－简化模型
蓝鲸的寿命一般为50年，若以两年为年龄段, 矩阵过大，因12岁以上存活率相近,故作为一个年 龄组(简化). 这样分成7个年龄组：[0,2),[2,4),[4,6), [6,8),[8,10),[10,12),[12,50), 其投影矩阵为
0 0.19 0.44 0.50 0.50 0.45 0 0.87 0.87 A1 0.87 0.87 0.87 0.87 0.80
Leslie 矩阵的性质 有一个惟一正单重特征值
0
(在某些条件下，如有相邻 Fi-1, Fi 非零，λ0是 严格主特征值) 对应0 有分量全正的特征向量0 对每个分量非负的向量(0),存在正常数C:
lim 1
k

k 0
A k α Cα 0
这一性质 使得种群 结构稳定
导出关系式
X (t 1) A X (t )
投影矩阵 2k 周后昆虫数 显然在时刻 2k 周( k 个时间单位)
9 13.5 1 0 k 0 1 X (k ) A X (0) 0.09 0 0 1 0 . 2 0
k
利用 Matlab 看一看 键入
数学实验
种群年龄结构的估算
上海交大数学系
实验目的
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进一步了解矩阵特征值在实际中的应用 建立种群年龄结构的数学模型－Leslie矩阵 矩阵的特征值和特征向量知识的回顾 Leslie矩阵有关性质的介绍和讨论 利用Matlab 进行矩阵特征值和特征向量 的运算
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实际问题
一种昆虫每两周产卵一次，六周后死亡，孵化 的幼虫2周后成熟平均产卵100个，4周龄的成虫平均 平均产卵150个，设虫卵发育为2周龄成虫的概率为 0.09，2周龄成虫发育为4周龄成虫的概率为0.2 （1）假定开始时，0～2，2～4，4～6周龄昆虫数 相同，计算2周，4周，6周，8周后各周龄的昆虫数 （2）讨论各周龄昆虫数的变化趋势
0.8775 0.5062 0.0045 0.1158 0.0079 0.0022
2.3085 0.0395 0.0506 0.0505 0.0052 0.0008
0.5194 0.1039 0.0039 0.0288 0.0023 0.0005
0.4941 0.0234 0.0104 0.0137 0.0013 0.0002
x 0 ( t 1) 0 . 09 [100 x1 ( t ) 150 x 2 ( t )] x 1 ( t 1) 0 . 09 x 0 ( t ) x 2 ( t 1) 0 . 2 x 1 ( t )
引进矩阵
x0 (t ) X (t ) x1 (t ) x (t ) 2 9 13.5 0 0 A 0.09 0 0 0.2 0
Leslie 矩阵
可得
X ( t ) A X ( 0)
t
几个关键性问题
回顾昆虫问 题的讨论
1）A是否有唯一模最大的正特征值λ0 （严格 主特征值） 相应的特征向量是否有全正的分量 2）A是否有n个线性无关的特征向量 3）λ0是大于1还是小于1(决定种群的数量趋势) 4）其它特征值与λ0比值 （决定达到稳定状态的 时间）
A=[0 9 13.5 ; 0.09 0 0; 0 0.2 0]; X0=[1 1 1]'; A*X0, A^2*X0, A^3*X0
结果情况
C0 C1 C2 2周后 22.5000 0.0900 0.2000 4周后 3.5100 2.0250 0.0180 6周后 18.4680 0.3159 0.4050
0 0.21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6 0 0.75 0.95 0 0 0 A1 0 0.24 0 0 0 0 0 0 0 0.6 0 0 0 . . 0 0 0 0 75 0 95
由Matlab求得主特征值和相应的特征向量
昆虫数的趋势
k越来越大时，X(k)=AkX(0)变化趋势如何？
可以用数值计算观察结果(作为练习) 理论分析
若A有特征值λ0 ,λ1,λ2 ,对应特征向量α0,α1,α2 线性无关，其中λ0的模严格大于其它特征值的模 那么可表示 X(0)=c0α0+c1α1,+c2α2 AkX(0)=c0λ0kα0+c1λ1k α1+c2k λ2α2
严格主 0.9500 特征值 0 0 1.0377 -0.0439 + 0.2986i -0.0439 - 0.2986i 0.0716 0.0414 0.3537 0.0818 0.0473 0.4042
归一化特 征向量
野牛总数增长率由10.5% 减至3.8% 成年牛的比例由60% 增至75.8%

0.9049 0.0796 0.0156
结论 随着时间增长 1) 昆虫数成几何级数增长 ( 0 >1 ) 2) 最终各周龄的昆虫数成稳定的比例 (恰好是对应主特征值的特征向量各分量比例数) 分别所占比例： 90.49%，7.96%，1.56%
经多少时间才能达到稳定的增长和结构比例？
除虫剂的效果
X (t 1) A X (t )
其中
x1 (t ) x2 ( t ) X (t ) xn-1 (t ) x (t ) n
F0 F1 Fn 1 Fn 0 p0 0 0 A 0 p1 0 0 0 0 p 0 n 1
牛犊成长为小牛的概率为0.6;小牛长为成年
牛的概率为0.75；成年牛再存活一年的概率为0.95
每头母牛有同样生育力，平均每年生育0.42
头雌牛犊、0.48头雄牛犊
初始时刻有100头母牛和20头公牛
问题 1）在只考虑雌性牛情况下，讨论其稳定 年龄结构分布以及达到此分布所需的时间(练习) 2）考虑雌、雄牛的情况下其稳定的年龄分布 以及达到此分布所需的时间 模型和解决 事实上只要将雌、雄牛的各年龄组放在一起 考虑即可
实验任务
若选择本实验，则必须完成 任务2 、任务5和6
谢谢各位!
对应λ0的特征向量α0
0.5469 0.4331 0.3430 0.2717 0.2151 0.1704 0.4964 22.08 % 17.49 % 13.85 % 10.97 % 8.69 % 6.88 % 20.04 %

各年龄组分 布百分比
两性模型
某种野牛雌性、雄性种群各分成3个年龄组 C0:牛犊；C1:小牛 1－2岁；C2: 成年牛 2岁以上 假定与问题
设雌、雄牛各年龄组的个体数表达为列向量
Z (t ) ( x0 ( x ) , x1 (t ) , x2 (t ) , y0 (t ) , y1 (t ) , y2 (t )) T
wk.baidu.com那么导出
0 0.42 0 0 0 x0 (t ) x0 (t 1) 0 0 0 0 0 0 x1 (t ) x1 (t 1) 0.6 x (t 1) 0 0.75 0.95 0 x (t ) 0 0 2 2 0 0.48 0 0 0 y0 (t ) y0 (t 1) 0 y (t 1) y (t ) 0 0 0 0 . 6 0 0 1 1 y (t ) y (t 1) 0 0 0 0 0 . 75 0 . 95 2 2
成活数,显然Fi 与pi 均非负, pi >0 (否则无Ci＋1组)，
x0 (t 1) F0 x0 (t ) F1 x1 (t ) Fn xn (t ) x1 (t 1) p0 x0 (t ) xn (t 1)
pn 1 xn 1 (t )
写为向量形式
对应主特征值 的特征向量
经过多少时间达到稳定分布?
1
0k
PkZ(0) C0
逐渐会达到稳定结构 方法1 约定迭代相邻两次归一化向量分量的 最大差不超过某一值 方法2 考虑(1/0)k 的绝对值充分小，使得 与理论分布值误差充分小(留作任务)
降低生育率的情况 如果野牛的生育率减少至原来的一半，试讨 讨论其数量增加和稳定年龄结构的变化 此时投影矩阵为
若使用除虫剂 由于昆虫成活率减半引起投影矩阵变化
4.5 6.75 0 1 B A 0.045 0 0 2 0 0 . 1 0
利用Matlab 观察 从第2周末到第20周末各周龄组昆虫数变化
C0 C1 C2
11.2500 0.0450 0.1000 0.1753 0.0222 0.0023
各年龄组蓝鲸数与结构变化 利用Matlab 求出A1的特征值和特征向量 特征值
1.0986 0.1997+0.5943i 0.1997-0.5943i -0.4636 -0.1852+0.3481i -0.1852-0.3481i 0.1361 严格主特征值0
且可知： 存在7个线性无关的特征 向量，因此蓝鲸必定趋于 稳定年龄结构
昆虫数越来越少 (看一看最大的特征值) 除虫剂对成虫组比较有效，但对幼虫C0 组
效果偏慢
一般模式
某种群个体生存期分为年龄组为Ci:[i-1,i),i=1,2, …,n+1；xi (t)为t 时刻Ci组个体数,pi 为Ci 组到Ci＋1 组个体成活率,Fi 为Ci 组物种生育幼体至Ci＋1组的
s2
α0 s0 s1 s2 (s0, s1, s2 是 α0的分
各周龄昆虫 数占昆虫总 数之比趋于 定值
Matlab 实现 求A的特征值和特征向量
[v,d]=eig(A)
有最大模的特征值为 0 ＝1.0234 对应的特征向量0 ＝
0.9960 0.0976 0.0171
归一化
即
Z (t 1) P Z (t )
利用Matlab 依然可得P 特征值和对应特征向量 0.9500 0 0 1.1048 - 0.0774+0.4063i - 0.0774-0.4063i
严格主特征值
各年龄组分 布百分比 0.2298 0.1248 0.6044 0.2626 0.1426 0.6907 11.2 6.1 29.4 12.8 6.9 33.6