函数的求导法则

例3 解
求函数 y = ln sin x 的导数 .
∵ y = ln u, u = sin x .
dy dy du 1 cos x = cot x . ∴ = ⋅ = ⋅ cos x = dx du dx u sin x
例4 解
求函数 y = ( x 2 + 1)10 的导数 .
dy = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ ( x 2 + 1)′ dx = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ 2 x = 20 x ( x 2 + 1) 9 .
Δu Δu = f ′( u) lim + lim α lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx → 0 Δ x
= f ′( u) g′( x ).
推广 设 y = f ( u), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
2
1 2 1 x2 a2 a − x2 − = + 2 2 2 2 a −x 2 a2 − x2
= a2 − x2 .
例9
1 − cos x y= , 求 y′ x = π . 2 1 + cos x 2
2
解
2 − (1 + cos 2 x ) 2 y= = −1 2 2 1 + cos x 1 + cos x
Δy = f ′( u ) 证 由y = f ( u)在点 u可导 , ∴ lim Δu → 0 Δ u
故 Δy = f ′( u ) + α Δu ( lim α = 0)
Δu → 0
则 Δ y = f ′ ( u ) Δ u + αΔ u
Δy Δu Δu ∴ lim = lim [ f ′( u) +α ] Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx Δx
由y = f −1 ( x )的单调性可知 Δy ≠ 0,
于是有
Δy 1 , = Δx Δx Δy
∵ f −1 ( x )连续 ,
∴ Δy → 0 ( Δx → 0), 又知 f ′( y ) ≠ 0
Δy 1 1 ∴ [ f ( x )]′ = lim = = lim Δx → 0 Δ x Δy → 0 Δ x f ′( y ) Δy 1 −1 即 [ f ( x )]′ = f ′( y )
且导函数 f ′( y ) ≠ 0 , 则其反函数 y = f −1 ( x )在相应的区间 I x = { x | x = f ( y ), y ∈ I y }内也可导 , 且 1 [ f ( x )]′ = . f ′( y )
−1
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 任取 x ∈ I x , 给x以增量 Δx ( Δx ≠ 0, x + Δx ∈ I x )
3.反函数求导法则 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. ４.复合函数的求导法则
设y = f ( u) , u = g( x )都可导，则复合函数 y = f [ϕ ( x )] dy dy du 的导数为 或 y′( x ) = f ′( u) ⋅ g′( x ). = ⋅ dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 结论:初等函数的导数仍为初等函数.
3. 设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)
例8 解
x 2 a2 x 2 求函数 y = a − x + arcsin 的导数 . 2 2 a ( a > 0) ′ ′ 2 x⎞ ⎛x 2 ⎞ ⎛a 2 y′ = ⎜ a − x ⎟ + ⎜ arcsin ⎟ ⎜ a⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
1 2 x a2 −2 x a − x2 + ⋅ = + ⋅ 2 2 2 2 2 a −x 2 1 a ⎛ x⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠
证
1 例7 证明 (ln|x|)′ = , x
x ≠ 0.
更一般地，
证
(ln f ( x ) )′ = f ′( x ) / f ( x ). ( f ( x ) ≠ 0)
四、基本求导法则与导数公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
( C )′ = 0
( x μ )′ = μ x μ −1
(sin x )′ = cos x (tan x )′ = sec 2 x (sec x )′ = sec x tan x
例5 解
求函数 y = e
sin 1 x
sin
1 x
的导数 .
1 sin 1 ′ = e (sin )′ = e x ⋅ cos 1 ⋅ ( 1 )′ y x x x 1 1 sin x 1 =− 2e ⋅ cos . x x
例6 证明 ( x μ )′ = μ x μ −1 ,
x > 0 ( μ ∈ R ).
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则 注意函数的复合过程,合理分解并正确使用链式 法则;
′
已能求导的函数:可分解成基本初等函数或常 数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出. 关键: 正确分解初等函数的复合结构.
1 1 1 ⋅ 2x − ∴ y′ = ⋅ 2 2 x +1 3( x − 2) 1 x = 2 − x + 1 3( x − 2)
例11 解
求函数 y = x sin x 的导数 .
(x
sin x
′ = (e sin x ln x )′ )
= e sin x ln x ⋅ (sin x ln x )′ =x
解
′ = f ′( x 2 ) ⋅ 2x = 2x f ′( x 2 ) (1) y
(2) y′ = f ′(sin x 2 ) ⋅ cos x 2 ⋅ 2 x + f ′(cos 2 x ) ⋅ 2cos x ( − sin x ) = 2 x cos x 2 ⋅ f ′(sin x 2 ) − sin 2 x ⋅ f ′(cos 2 x )
sinh x ∵ tanh x = cosh x 1 ∴ (tanh x )′ = cosh 2 x
arcsinh x = ln( x + 1 + x 2 )
∴ (arcsinh x )′ =
= 1 x + 1+ x
2
( x + 1 + x )′
2
x + 1 + x2
x 1+ x
2
(1 +
Байду номын сангаас
)=
1 1 + x2 1 x2 − 1
2．1 2．2 2．3 2．4
导数的概念 函数的求导法则 高阶导数
隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 2．5 导数的简单应用 2．6 函数的微分
2.2
函数的求导法则
一、四则运算法则 二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式
二、反函数求导法则 定理２ 如果函数 x = f ( y )在区间 I y 内严格单调、可导，
−1
例1 求函数 y = arcsin x 的导数 . 解
∵ x = sin y在 I y = ( −
π π
, )内单调、可导 , 2 2
且 (sin y )′ = cos y > 0,
∴ 在 I x = (−1,1)内有
(arcsin x )′ =
1 1 1 1 = = . = 2 2 (sin y )′ cos y 1 − sin y 1− x 1 . 同理可得 (arccos x )′ = − 2 1− x
6.
1 (1 + x ) 2 x (1 − x )
思考
1.幂函数在其定义域内（ C ）.
（A）必可导； （B）必不可导； （C）不一定可导.
⎧e ax , x ≤ 0 2、如果 f ( x ) = ⎨ 处处可导，那末（ D ） (1 − x 2 ), x > 0 ⎩b （A） a = b = 1； （B） a = −2, b = −1 ； （D） a = 0, b = 1 . （C） a = 1, b = 0 ；
1 1 1 = . (log a x )′ = y = y x ln a (a )′ a ln a
1 特别地 (ln x )′ = . x
三、复合函数的求导法则
定理３ 如果 u = g( x ) 在点 x 可导 , 而 y = f ( u) 在点 u = g( x ) 可导 , 则复合函数 y = f [ g( x )]在 点 x 可导, 且其导数为 dy = f ′( u) ⋅ g′( x ). dx 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
2 ′ 同理 (arccosh x )′ = (ln( x + x − 1 )) =
1 1+ x 1 (arctanh x )′ = ( ln )′ = 2 1− x 1 − x2
小结
注意: [u( x ) ⋅ v ( x )]′ ≠ u′( x )v ′( x );
⎡ u( x ) ⎤ u′( x ) ⎢ v ( x ) ⎥ ≠ v ′( x ) . ⎣ ⎦
(a x )′ = a x ln a
(cos x )′ = − sin x (cot x )′ = − csc2 x (csc x )′ = − csc x cot x
(e x )′ = e x
1 (log a x )′ = x ln a
1 (ln x )′ = x
1 − x2 1 (arctan x )′ = 1 + x2
答案 1.
y′ = n ⋅ sin n−1 x ⋅ sin( n + 1) x
10 x ⋅ 2ln10 2. (10 x + 1)2
3.
y′ =
1 2 x+ x+ x
(1 +
1 2 x+ x
(1 +
1 2 x
))
4. csc x
5. ⎧ 1, ⎪ ′( x ) = ⎨ 1 f ⎪1 + x , ⎩ x ≤ 0, x > 0.
1 (arctan x )′ = ; 2 1+ x
1 ( arccot x )′ = − . 2 1+ x
例2
求函数 y = log a x 的导数 .
y
解 ∵ x = a 在I y = ( −∞ ,+∞ )内单调、可导 ,
且 (a y )′ = a y ln a ≠ 0,∴ 在I x = (0,+∞ )内有 ,
练习 求下列函数的导数：
1. y = sin nx ⋅ sin n x
2.
3.
10 x − 1 y= x 10 + 1
y= x+ x+ x
4.
y = ln(csc x − cot x )
x<0 , 求f ′( x ). x≥0
x, ⎧ 5 . 设 f ( x) = ⎨ ⎩ ln(1 + x ),
6. 1− x y = arcsin 1+ x
(3) y′ = f ( x ) f ′ ( x ) + g ( x ) g ′( x ) f 2 ( x) + g2 ( x)
例 双曲函数与反双曲函数的导数
e x − e− x e x + e− x ∵ sinh x = ,cosh x = 2 2 x −x e +e ∴ (sinh x )′ = = cosh x 2 (sinh x )′ = cosh x (cosh x )′ = sinh x
sin x
sin x (cos x ln x + ) x
dy 例12 设f ( x ), g ( x )可导，求下列函数 的导数 : dx
(1) y = f ( x 2 )； (2) y = f (sin x 2 ) + f (cos 2 x )；
(3) y =
f 2 ( x ) + g 2 ( x ) ， f 2 ( x ) + g 2 ( x ) ≠ 0.
⎡ 2cos x ( − sin x ) ⎤ y′ = 2 ⎢ − (1 + cos 2 x )2 ⎥ ⎣ ⎦
2sin 2 x = , 2 2 (1 + cos x )
y′ x = π = 0.
2
例10
x2 + 1 求函数 y = ln 3 ( x > 2) 的导数 . x−2
1 1 2 解 ∵ y = ln( x + 1) − ln( x − 2), 2 3
(arcsin x )′ =
1
1 − x2 1 (arc cot x )′ = − 1 + x2
(arccos x )′ = −
1
2.函数的和、差、积、商的求导法则
(u ± v)′ = u ′ ± v′ (u v)′ = u′v + u v′
(C u )′ = C u′ ( C为常数 ) u ′ u ′v − u v′ (v ≠ 0) ( )= 2 v v