巧用椭圆的第二定义解题

巧用椭圆的第二定义解题

《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。

例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x =－22

3

，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l

1：求椭圆的方程2：求证：

d

PQ

为定值 3：在l 上是否存在点R ，使∆PQR 为正三角形

若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程

11

32

2=+y x 2：证明：如图，作PP /⊥l 与P ，QQ /⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得

e PP PF =/，e QQ

QF =/

；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ /

=2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使∆PQR 为正三角形，且椭圆固定，则PQ 确定，于是PQ 的垂直平分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/

/MM Q ∠的大小， 而COS /

/

MM Q ∠=M

Q MM //

，由第2问的结论可得：

COS //MM Q ∠=

M

Q MM

/

/

=PQ

PQ e 321=

2

2

31=

e

，//MM Q ∠为45○

，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x =－

223变题：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，PQ 是过

F 且与x 轴不垂直的弦，若在其左准线l 上存在点

R 使∆PQR 为正三角形，求椭圆的离心率的范围。

解析：同上，由椭圆的第二定义和正三角形的性质， RM 3