论给定区间素数的分布规律公式

论给定区间素数的分布规律公式

田永胜

（内蒙古自治区吉兰泰750333）

摘要：通过对自然数按照一定方向旋转排列，找到了自然数的等势区间并集，并对每个区间的素数分布情况进行研究，给出了在给定区间内素数的分布定理、公式及推论。

关键词自然数；螺旋排列；给定区间；素数分布；规律；

引言

自然数沿数轴方向排列时，素数的分布没有规律可循；当把自然数按一定的方向旋转排列时，素数的分布就变得有规律。下面揭示它的分布规律。

1 自然数的排列规律

首先，按逆时针方向把自然数进行排列，如下图：

自然数螺旋排列图

从上图可以看出，自然数集合N+也可以由一连串连续区间的并集组成，[1]∪（1，9]∪（9，25]∪（25，49]∪（49，81]∪（81，121]∪（121，

169]∪……∪（（2x-3）2，（2x-1）2]…。并且，每个区间的最大数都是奇数（2x-1）的平方。

2 素数分布定理和公式

首先，来研究每一区间数字的素数分布情况：

第一区间只有自然数1，素数个数为0。

第二区间为（1，9］，有8个数字，其中素数有4个，所占比例为4/8=0.5。

第三区间为（10，25］，有16个数字，其中素数有5个，所占比例为

5/16=0.3125；

第四区间为（25，49］，有24个数字，其中素数有6个，所占比例为6/24=0. 25；以此类推。

其次，再来看每一个区间的素数分布与区间内的数有什么内在规律。1在中心，不是素数；在区间（1，9］有8个自然数，最大数是9，求9的自然对数的倒数，1/ln9≈0.455，与该区间实际素数所占比例接近；乘以总数8，值约等于3.64，取整数后为4，与该区间实际素数个数相同。在区间（10，25］有16个自然数，最大数是25，求25的自然对数的倒数，1/ln25≈0.311，与区间内实际素数所占比例0.3125很接近，乘以总数16，值约等于4.97，取整数后为5，与该区间实际素数个数相同。在区间（25，49］有24个自然数，最大数是49，求49的自然对数的倒数，1/ln49≈0.2569，与区间内实际素数所占比例0. 25很接近，乘以总数24，值约等于6.16，取整数后为6，与该区间实际素数个数相同。以此类推，如素数分布规律表所示。

素数分布规律表

由上表可以看出，在第2到第8区间，实际素数个数与理论素数个数相等，其他的区间实际素数个数在理论素数个数左右波动，每个区间实际素数的所占比例和理论素数分布密度非常接近。

下面，给出素数分布定理的一般形式。

定理

设x为自然数，在给定区间（（2x-3）2，（2x-1）2］内，素数的分布密度公式为

1/ln（2x-1）^2

给定区间内自然数的个数为

（2x-1）^2-（2x-3）^2=8x-8

用π(x)表示给定区间内的素数个数，则给定区间素数个数与自然数的个数之间存在如下线性关系

π(x)=( 8x-8)/ ln （2x-1）^2

若用Sn 表示n 圈内素数的总和，则

∑=--=n

x x x Sn 12)^12ln(/)88(

推论1 在区间（（2x-3）2，（2x-1）2］内，

只有有限个素数，当x 趋向无穷大时，素数也趋向无穷大，即

∞=--∞→2)^12ln(/)88(lim

x x x

接着，再来看每一个区间的孪生素数的分布情况：在区间（1，9］内有2、3和5、7两对孪生素数，在区间（9，25］内有11、13和17、19两对孪生素数，在区间（25，49］内有29、31和41、43两对孪生素数，在区间（49，81］内有59、61和71、73两对孪生素数，在区间（81，121］内有101、103和107、109两对孪生素数，在区间（121，169］内有137、139和149、151两对孪生素数，在区间（169，225］内有179、181和191、193两对孪生素数，每一区间内被小于或等于（2x-1）的素数约去后，都有两对孪生素数。因此，得出推论在每一个区间至少有两对孪生素数。

推论2 在区间（（2x-3）2，（2x-1）2］内至少有两对孪生素数。当x 趋向无穷时，孪生素数也趋向无穷。

后记

突然发现素数是有限的，当对素数的分布密度1/ln（2x-1）^2求极限时，即x→∞时，1/ln（2x-1）^2=0，也就是说，无穷区间的素数概率为零，素数也为零，( 8x-8)/ ln（2x-1）^2=0，因此，推论1的极限应该是0，而不是∞，所以得出1到∞区间的素数的总和是有限的。

又一个数学悖论。

2015-9-1 21:39

想了一个月，突然想到，如果引入无穷小的概念，就可以解决这个问题。

因为1位于无穷个区间的中心，数字按照等角螺旋进行排列，无穷大的

倒数自然就是无穷小了。如果我们用符号⊙表示无穷小，那么

1/ln(2x-1)^2的极限值就等于⊙。

2015-10-08 21:50

给定区间素数的分布问题，其实就是素数的筛选问题，我们不可能一下子解决所有的素数的筛选问题，只能分区间来进行，这样问题就好分析了。自然数集可以表示为一系列连续区间的并集，分别对这些连续区间的素数分布情况进行研究，就会发现一些规律和公式。对于给定区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］，素数的多少可以用小于或等于2x+1的素数去约，剩余的就是素数，用素数筛选后素数所占的比例是多少呢？

设给定区间数的比例为1，

被2除后余1-1/2=1/2，

被3除后余1/2-1/2*1/3=1/3，

被5除后余1/3-1/3×1/5=4/15，

被7除后余4/15-4/15×1/7=24/105；

被11除后余24/105-24/105×1/11=240/1155；

被13除后余240/1155-240/1155×1/13=2880/15015；

被17除后余2880/15015-2880/15015×1/17=46080/255255；

被19除后余46080/255255-46080/255255×1/19=829440/4849845；

被23除后余829440/4849845-829440/4849845×1/23=18247680/111546435；

以此类推。

例

第2区间（1,9]，自然数有8个，被2约后剩余1/2，8×1/2=4；

第3区间（9,25]，自然数有16个，被3约后剩余1/3，16×1/3=5.33，取整为5；

第4区间（25,49]，自然数有24个，被5约后剩余4/15，24×4/15=6.4，取整为6；

第5区间（49,81]，自然数有32个，被7约后剩余24/105，32×24/105=7.31，取整为7；第6区间（81,121]，自然数有40个，被11约后剩余240/1155，40×240/1155=8.31，取整为8；

第7区间（121,169]，自然数有48个，被13约后剩余2880/15015，48×2880/15015=9.21，取整为9；第8区间（169,225]，自然数有56个，被13约后剩余2880/15015，

56×2880/15015=10.74，取整为10；

第9区间（225,289]，自然数有64个，被17约后剩余46080/255255，

64×46080/255255=11.55，取整为11；

第10区间（289,361]，自然数有72个，被19约后剩余829440/4849845，

72×829440/4849845=12.31，取整为12；

以此类推。