广州二中高三数学专题复习资料_函数的切线方程

函数的切线方程

求切线方程是导数应用最重要的知识点，是高考常考的考点，学生容易出错的地方有二：第一是切线的斜率本应为切点处的导函数值，但却错写为导函数；第二没分清“在函数图象上一点M 处”与“过点M ”的区别。

一、典例讲解

1. 求函数在点M 处的切线方程的一般方法 (M 为切点)

例1: 已知函数x x x f -=3)( , 求函数f(x)在点(1,0)处的切线方程.

解: 在点(1,0)处的切线,其切点M(1,0), 切线的斜率为k, 则k=)1('f ,

2)1(',13)('2==∴-=f k x x f

切线方程为)1(2-=x y 即2x-y-2=0

2. 求函数过点M 的切线方程的一般方法 (M 不一定是切点) 例2: 已知函数x x x f -=3)( , 求函数f(x)过点(1,0)的切线方程.

解: 设切点为M )(0,0y x , 切线的斜率为k, 则k=)('0x f ,03000)(x x x f y -==

13,13)('202-=∴-=x k x x f

切线方程为)(00x x k y y -=-,切线方程: ))(13()(020030x x x x x y --=--

切线过点(1,0),代入切线方方程得 )1)(13()(020030x x x x --=--

)12)(1)(1(0)12)(1(0

)]1()13)[(1(0

)1)(13()1)(1(0

)1)(13()(000020000200020000020030=+--=---=+---=--++--=-----x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解得2

1100-==x x 或 当2),0,1(,10==k x 切点为时,切线方程为)1(2-=x y 即2x-y-2=0

当41),83,21(,210-=--=k x 切点为，切线方程为014)1(4

1=-+--=y x x y 即

要点提示：

注意：一般三次方程求根公式过于复杂难记，所以中学能解的一般才能先观察出一个特解，然后利用此根添项拆项因式分解。

如：解方程0232

3=-+x x 易观察出x=-1是其根所以 )

12)(1()1)(1(2)1()

1(2)(232222323-++=+-++=-++=-+x x x x x x x x x x x x

又如086223=+-x x 观察系数关系易知 1-=x 是其一根所以可分解因式为(x+1)(…)

222222323)

2)(1(2)44)(1(2)]1(82)[1()

1)(1(8)1(288)22(862-+=+-+=--+=-+-+=+-+=+-x x x x x x x x x x x x x x x x x

一般整数为系数的三次方程特别解可考虑系数的约数的组合

二、高考真题训练

1.（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）

已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈ （I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （II ）

2.（2010北京理数）已知函数f (x )=ln(1+x )-x +22x

x (k ≥0)。

(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；

(Ⅱ)(了解考查知识点即可) 求f (x )的单调区间。

解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1

'()121f x x x =-++

由于(1)ln 2f =，3

'(1)2f =，

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为

3

ln 2(1)2y x -=-

即 322l n 230

x y -+-= （II ）略去

三、巩固练习：

1. 求过原点与y=x e 相切的直线方程

2. 求过原点与23x x y -=相切的直线方程

练习解答：

1. 不妨设直线y=k 0x 与y=f(x)相切，切点为(x 0, y 0)

ex

y e

k x x e e O x x e y y e x f y e x f k e x f e x f x x x x x

x x =∴==∴-=-∴-=-∴====∴=∴=切线方程为切线过原点切线方程为,1)0(0)

()(,)(')(')(00000000000

2. 不妨设直线y=k 0x 与y=f(x)相切，切点为(x 0, y 0)

x

y y k k x x x x x x x x x x f y kx y x x x f k 41

04

1

0210)23()(,23)('00000

02

0203

02

30000002000-==∴-==⇔==⇔⋅-=-⇔-===-==若切线方程为或或且切线是则