椭圆及其性质知识点题型总结

椭圆

知识清单

1.椭圆的两种定义:

①平面内与两定点Ｆ1，F 2的距离的和等于定长()

2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |ＰF 1|+|P Ｆ2|＝2a ，2ａ＞｜F 1F 2|｝;(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集Ｍ={P|

e d

PF

=，０<ｅ＜1的常数}。

（1=e 为抛物线;1>e 为双曲线) (利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点,定直线为准线).

2 标准方程：(1）焦点在x 轴上,中心在原点:122

22=+b

y a x （a>ｂ＞0)；

焦点Ｆ1（－c,0), Ｆ２（c ，0)。其中22b a c -=

（一个Rt 三角形)

(２）焦点在y 轴上,中心在原点:122

22=+b

x a y (a ＞b ＞０）;

焦点F 1（0，－c ）,F 2(０,c)。其中22b a c -=

注意：①在两种标准方程中,总有a ＞b ＞０,22b a c -=

并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2＝１ (A ＞0，Ｂ＞０,A ≠B)，当A

＜B 时,椭圆的焦点在x 轴上,A>B 时焦点在y 轴上。

3 参数方程:焦点在x 轴,⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos b y a x (θ为参数)

４ 一般方程：)0,0(12

2

>>=+B A By Ax

5．性质：对于焦点在ｘ轴上，中心在原点:12

2

22=+b

y a x （ａ＞b>0）有以下性质：

坐标系下的性质：

① 范围:|x|≤a ，|y|≤b ；

② 对称性:对称轴方程为x ＝0,ｙ=０，对称中心为O （0,0); ③ 顶点:A 1（-a ，0）,A 2（ａ,0），Ｂ１(0,-b ），B 2(0,b ）,长轴|Ａ1A 2｜＝2a,短轴｜B １B 2|=

２b;

（a 半长轴长，b 半短轴长);

④椭圆的准线方程：对于12222=+b

y a x ，左准线c a x l 2

1:-=；右准线c a x l 22:=

对于12222=+b

x a y ,下准线c a y l 2

1:-=；上准线c a y l 22:=

焦点到准线的距离c

b c c a c c a p 2

222=-=-=（焦参数) 椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对

⑤焦半径公式：P(x 0，y 0）为椭圆上任一点。|ＰＦ１|=左r =ａ+ex 0，|ＰF 2|=右r =a-ex 0;|PF 1|=

下r =a+ｅy 0,|PF 2｜=上r =ａ-ey ０ c a PF c a PF -=+=min max

, ，左加右减,上减下加

⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,通

径最短=a

b 2

2

平面几何性质：

⑦离心率：e=c

a

=

=)()1,0∈;e 越大越扁,0=e 是圆。

⑧焦准距c b p 2=;准线间距c

a 2

2=

⑨两个最大角()()221max 21221max 21,A B A PA A F B F PF F ∠=∠∠=∠

焦点在ｙ轴上,中心在原点:122

22=+b

x a y （a ＞b>0)的性质可类似的给出。

６.焦点三角形应注意以下关系:(１) 定义：r 1+r 2=2a (2） 余弦定理：＋-2r １r ２c ｏs ＝(2c ）２

（3) 面积：＝ｒ1r 2 si ｎ=·２ｃ｜ y ０ |＝ c | ｙ0 |=2tan 2

b θ

⋅

(其中Ｐ(）为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1,|ＰF ２|＝r 2,∠Ｆ1ＰＦ2＝)

7．共焦点的椭圆系设法:把椭圆12222=+b

y a x (a>b>0）的共焦点椭圆设为22

22

21()x y b a b λλλ

+=>-++ ８.特别注意：椭圆方程中的ａ，b,c,e 与坐标系无关，而焦点坐标,准线方程，顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b ，一个定位条件焦点坐标或准线方程.

21r 22r θ21F PF S ∆21

θ2

100,y x θ

９.弦长公式

:1212AB x y y =-=-= 1212b x x a c

x x a ⎧

+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

（a ，ｂ,c 为方程的系数

考点解析

考点一 椭圆定义及标准方程 题型１:椭圆定义的运用

例1 .椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后，反射光线经

过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是（ ) A.4ａﻩB.2(a －c) C.2(a+c ） D.

例 2.点P 为为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点，F 1、Ｆ2是椭圆的两个焦点,试求：

21PF PF ⋅取得最值时的P 点坐标。

题型2 求椭圆的标准方程

例３.设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此

焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程．