伪随机序列在CDMA通信系统用的应用31概述在扩频系统中

第三章 伪随机序列在CDMA 通信系统用的应用

3.1 概述

在扩频系统中，伪随机码序列起着很重要的作用。在直扩系统中，在发送端用伪随机码(PN 码)将信号频谱扩展，送入信道进行传输，在接收端用相同的PN 码完成解扩。扩频系统的性能同采用的伪随机码的性能有很大关系，伪随机码性能的好坏，直接关系到整个性能的好坏。

shannon 编码定理指出：只要信息速率R d 小于信道容量C ，则总可以找到某种编码方法，使在码字相当长的条件下，能够几乎无差错的从受到高斯白噪声干扰的信号中复制出原发送信号。高斯白噪声的理想特性为：

0()()2

n n R τδτ= 式中02

n 为白噪声的双边噪声谱密度。 从理论上讲，纯随机序列去扩展信号频谱是最理想的。但是很难实现白噪声的放大、调制、检测、同步及在接收机中为了解扩复制一个同发送端扩频码相同的副本。因此，工程上只能用伪随机码(PN 码)或伪噪声序列作为扩频码。伪随机序列具有类似噪声的性质，但它又是周期性有规律的，既容易产生，又可以复制。在实际应用系统中，对伪随机序列的要求一般如下:1、易于产生；2、具有随机性；3、尽可能长的周期；4、平衡性，即随机序列中0和1的个数相等；5、自相关函数具有类似于白噪声自相关函数的性质；6、良好的互相关特性。

最简单、最常用的伪随机编码是m 序列。m 序列有尖锐的自相关特性，有较小的互相关值，码元平衡，但序列数目不多，序列复杂度不大。1976年R.Gold 提出了新的一类序列：Gold 序列，它与m 序列的相关特性大致相同，但序列数目却大大增加，序列复杂度也有所改善，也是一种非常重要的扩频序列。

3.1.1随机序列的数学定义

白噪声是一种随机过程，瞬时值服从正态分布，自相关函数和功率谱密度有极好的相关性，伪随机序列是针对白噪声演化而来的，只有“0”和“1”两种电平，因此伪随机编码概率分布不具备正态分布形式。但当序列足够长时，由中心极限定理可知，它趋近于正态分布，由此，伪随机序列定义如下：

·凡自相关函数具有：

211

11,0()11,0P i i a P i i i a P R a a P P ττττ=+=⎧==⎪⎪=⎨⎪=-≠⎪⎩∑∑ 式的序列称为狭义伪随机序列。

·凡自相关函数具有：

211

11,0()1,||1,0P i i a P i i i a P R a a c c P ττττ=+=⎧==⎪⎪=⎨⎪=<<≠⎪⎩∑∑ 形式的序列，成为第一类广义伪随机序列。

·凡互相关系数具有

|()|1()0ab ab R R ττ<<≈或

式的序列，称为第二类广义伪随机序列。

·凡相关函数满足(1)、(2)、(3)三者之一的序列，统称为伪随机序列。由上面的四种定义可以看出，狭义伪随机序列是第一类广义伪随机序列的一种特例。

3.2 M 序列

m 序列是线性反馈移位寄存器的最大长度序列，它的生成可以用移位寄存器序列发生器的特征多项式f(x)来确定，一个本原特征多项式对应一个最大长度序列，也就是对应一个m

序列。线性反馈移位寄存器的结构如下图3-1：

图3-1线性反馈移位寄存器结构图

图中，f(x)为反馈特征多项式，表示为：

∑n 2N

i 012N i i=0f(x)=C +C x+C x +...+C x =C x

能够产生m 序列的f(x)应满足：

·为不可约多项式；

·为本原多项式，即p l+x 能被f(x)整除(P 为m 序列的周期，n P=2-1)。

同时，对一个给定的移位寄存器序列

n 012{a }=a ,a ,a ,....定义一个系数为多项式： 010g(x)=a a x ...n

n n a x ∝=⊕⊕=∑

上式中的系数就是移位寄存器输出序列。相应的g(x)多项式就确定了，反之亦然。生成多项式。线性反馈移位寄存器序列一旦给出，其由于可以由g(x)得到{an}，因此g(x)称为生成多项式。m 序列的表达方式一般有以下两种：

直接用反馈抽头位置表示：例如，反馈特性多项式为5()1f x x x =++，就可表示为[1,5]。

用八进制数表示：如上例，反馈特征多项式5()1f x x x =++，它的系数矩阵为[100011](依

次由高阶向低阶表示)，则用八进制表示就为43。

3.2.1 m 序列的特性

CDMA 通信要求扩频序列具有较好的伪随机特性，m 序列的特性包括：

·在每一序列周期中，“+1”的码元个数和“-1”的码元个数仅相差1位；

·在每一序列周期中，连续出现“+1”或“-1”的码元长(游程)数目为u ，那么码元数为1

的游程有u/2个，为2的有u/4个，为3的有u/8个，………。其中，“+l ”和“-1”的游程数目相同。

·序列的(周期)自相关函数是二值的，有：

,0(mod )(),0(mod )()x N j N R j j N N N δδ=⎧=⎨<<>>⎩

m 序列就是能够满足上述条件的最主要也是最基本的狭义伪随机序列。它的特性还有：

(1)周期为21n P =- ；

(2)移位相加特性：一个m 序列经移位后的序列与原序列相加得到的新序列仍为m 序列。

(3)相关特性：

自相关函数,0()1,0(mod )

P R P τττ=⎧=⎨-≠⎩

互相关特性：

同周期m 序列的互相关函数的均值为1，且最大值：112max |()|2

n R τ+-> 两个周期互素的m 序列的互相关函数：12

1|()|R P P τ=

• 3.3 Gold 序列

·m 序列优选对

如果周期为21n P =-的两个m 序列A 、B ，当B=A[q]，22 1...(1)22 1...(2)k k k q q =+=-+或，且e=gcd(n ，k)与n 满足n/e 为奇数，则m 序列A 、B 之间的互相关函数()R τ具有优选三值特性，为：

[(2)/2][(2)/2]21()121n n R τ++⎧-⎪=-⎨⎪--⎩

m 序列优选对的寻找方法有分圆陪集法、相关验证法、求特征根法和采样法四种。其中分圆陪集法和相关验证法在本质上都是通过一一求解两个m 序列的互相关函数值，然后再根据m 序列优选对的优选三值特性进行判断从而得到m 序列优选对的方法，这里我们不做详细