椭圆的焦半径公式(已修好)

圆锥曲线焦半径公式及其应用(解析版)

圆锥曲线焦半径公式及其应用一、坐标形式的焦半径公式1.椭圆的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点，21,F F 是其左右焦点，则=1PF 0ex a +，=2PF 0ex a -，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 上任意一点，21,F F 是其下上焦点，则=1PF 0ey a +，=2PF 0ey a -，记忆方式：长加短减2.双曲线的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点，21,F F 是其左、右焦点，则①当点P 在右支上时，=1PF a ex +0，=2PF a ex -0，②当点P 在左支上时，=1PF a ex --0，=2PF a ex +-0，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 上任意一点，21,F F 是其下、上焦点，则①当点P 在上支上时，=1PF a ey +0，=2PF a ey -0，②当点P 在下支上时，=1PF a ey --0，=2PF a ey +-0，记忆方式：长加短减（3）若弦AB 过左焦点，则=AB a x x e 2)(21-+-；若弦AB 过右焦点，则=AB ax x e 2)(21-+3.抛物线的坐标形式的焦半径公式（1）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +（2）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +-（3）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +（4）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +-例1.（2021年新高考Ⅰ卷）已知21,F F 是椭圆C ：14922=+y x 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6解法1：（基本不等式）由题意知621=+MF MF ，所以21MF MF ⋅9)2(221=+≤MF MF 当且仅当321==MF MF 时等号成立，所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C 解法2：（焦半径公式）设点),(00y x M ，则由题意知355,2,3=====a c e c b a ，所以9959)353)(353(200021≤-=-+=⋅x x x MF MF ，当且仅当00=x 时等号成立所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C例2.（2019年全国Ⅲ卷理）设21,F F 为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则点M 的坐标为解析：设点),(00y x M ，则由题意知211F F MF =，所以⇒=+c ex a 203832600=⇒=+x x 所以点M 的坐标为)15,3(例3.点),(00y x P 为双曲线C ：132422=-y x 的右支上一点，若点P 到右焦点的距离等于02x ，则=0x 解析：由题意知3,6,24,2====e c b a ，222300002=⇒=-=-=x x x a ex PF 例4.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解法1：51651645tan 0221=⇒⨯===∆P P F PF y y b S ，即点P 到x 轴的距离为516解法2：设点),(00y x P ，不妨设点P 在右支上，则由21PF PF ⊥得2212221F F PF PF =+25269100)335()335(202020=⇒=-++⇒x x x ，所以25256)14(322020=-=x y 5160=⇒y 即点P 到x 轴的距离为516例5.（2011年辽宁卷）已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A ,是该抛物线上两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.43 B.1C.45 D.47解析：设点),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点),(00y x M ，则25341412121=+⇒=+++=+x x x x BF AF ，从而452210=+=x x x ，故选C 例8.（2013年全国Ⅱ卷）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，5=MF ，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，则C 的方程为（）A.x y 42=或x y 82= B.x y 22=或x y 82=C.x y 42=或xy 162= D.x y 22=或xy 162=解法1：设点),(00y x M ，则255200p x p x MF -=⇒=+=，即),25(0y pM -，MF 的中点为)2,25(0y B ，以MF 为直径的圆过点)2,0(，所以MF AB 21=，所以4425)22(425020=⇒=-+y y ，又点M 在抛物线上，所以2)25(216=⇒-=p p p 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C解法2：设点),(00y x M ，因为以焦半径为直径的圆与y 轴相切，所以MF 的中点的纵坐标为2，所以40=y ，所以p p x 82160==，所以2528=⇒=+=p pp MF 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C 注：以抛物线的焦半径为直径的圆与y 轴相切二、角度形式的焦半径公式1.椭圆的角度形式的焦半径公式（1）设过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222cos 2c a ab -；（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θsin 2c a b -；=BF θsin 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222sin 2c a ab -；2.双曲线的角度形式的焦半径公式设过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右焦点)0,(c F 的弦AB 的倾斜角为α，渐近线xa b y ±=的倾斜角为θ，则（1）当θπαθ-<<时，焦点弦AB 在右支上，=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；=AB α2222cos 2c a ab -，弦AB 在双曲线一支上时，焦点弦最短为通径（2）当θα<≤0或παθπ<<-焦点弦AB 在两支上，=AF a c b -θcos 2；=BF ac b +θcos 2；=AB 2222cos 2a c ab -α，弦AB 交双曲线两支上时，焦点弦最短为实轴长a23.抛物线的角度形式的焦半径公式（1）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p px y 于B A ,两点，则=AF θcos 1-p ；=BF θcos 1+p；=AB θ2sin 2p （2）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p py x 于B A ,两点，则=AF θsin 1-p ；=BF θsin 1+p ；=AB θ2cos 2p例1.如图，设过椭圆13422=+y x 的右焦点F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则=ABMF 解法1：（设线韦达定理）略解法2：（点差法）略解法3：（角度形式的焦半径公式）设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以θθθ2cos 412cos 23cos 23-=++-=+=BF AF AB θθθθ2cos 43cos 2cos 2cos -=-=+-==BF AF BFAF AF NF MF ，所以=AB MF 41例2.如图，过椭圆13422=+y x 的左焦点F 任作一直线交椭圆于B A ,两点，若=+BF AF BF AF λ，则=λ解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以=λ3411=+BF AF例2.已知椭圆12322=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于D B ,两点，过2F 的直线交椭圆于C A ,两点，且BD AC ⊥，则四边形ABCD 的面积的最小值为解析：设直线AC 的倾斜角为θ，则θθθ222222cos 334cos 3232cos 2-=-⨯⨯=-=c a ab AC θθ202sin 334)90(cos 334-=+-=BD 所以)sin 3)(cos 3(242122θθ--=⋅=BD AC S ABCD 2596)2sin 3cos 3(24222=-+-≥θθ，所以四边形ABCD 的面积的最小值为2596例3.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于B A ,两点，若a AB 2=，双曲线的离心率为e ，则[]=e 解析：设θ=∠AFO ，则a b a c a c b a c b AF 2cos 222=+⋅=+=θ所以222sin b a AF a ==θ，又c b=θsin ，所以c b b a =22⇒=-⇒=⇒232234)1(2e e c a b 例4.已知双曲线191622=-y x 的左焦点弦交双曲线左支于B A ,两点，且772=AB ，求直线AB 的方程解析：设AB 的倾斜角为θ，则77216cos 25942cos 222222=-⨯⨯=-=θθa c ab AB 53cos ±=⇒θ所以34tan ±=θ，所以直线AB ：)5(34+±=x y 即02034=+-y x 或02034=++y x例5.已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则DE AB +的最小值为解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθ22sin 4sin 2==p AB ，所以θθ202cos 4)90(sin 2=+=p DE 所以16)11(4)cos )(sin cos 1sin 1(4)cos 1sin 1(42222222=+⨯≥++=+=+θθθθθθDE AB 当且仅当4πθ=时等号成立，所以16)(min =+DE AB 三、焦半径定比模型（1）设AB 为焦点在x 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则=θcos e 11+-λλ；=e 21k+11+-λλ（2）设AB 为焦点在y 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则11sin +-=λλθe ；=e 211k +11+-λλ例1.（2010年辽宁理科）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为060，FB AF 2=，则椭圆的离心率为解析：32121260cos 0=⇒+-=e e 例2.（2010年全国Ⅰ卷）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ，FD BF 2=，则C 的离心率为解析：设BD 的倾斜角为θ，则311212cos =+-=θe ，又e a c ==θcos ，所以33312=⇒=e e 例3.（2010年全国Ⅱ卷）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C 相交于B A ,两点，若FB AF 3=，则=k （）A.1B.2C.3D.2解析：33cos 211313cos 2311cos =⇒=+-=⇒+-=θθλλθe ，所以2tan ==θk例4.（2014年全国Ⅱ卷理）设21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，若直线MN 在y 轴上的截距为2，且N F MN 15=，则椭圆C 的方程为解析：由题意知a b ab MF 44222=⇒==--------------------------------------①由N F MF N F MN 11145=⇒=，所以531414cos =+-=θe ，又2422cos 121-=-==a c a c MF F F θ，所以532=-⋅a c a c -------------------------------------------------------------------------②联立①②得72,7==b a ，所以椭圆的方程为1284922=+y x。

焦半径坐标公式

焦半径坐标公式嘿，咱们今天来聊聊焦半径坐标公式。

对于很多同学来说，一听到这个名词，可能脑袋都大了。

但别慌，其实它并没有那么可怕。

先来说说什么是焦半径。

简单来讲，焦半径就是圆锥曲线上的点到焦点的距离。

那焦半径坐标公式呢，就是用来计算这个距离的公式。

咱们以椭圆为例啊。

椭圆方程咱都知道，是 x²/a² + y²/b² = 1 。

假设点 P(x₀, y₀) 在椭圆上，焦点是 F(c, 0) ，那焦半径 PF 的长度就可以用公式 |PF| = a ± ex₀来计算。

这里的 e 是椭圆的离心率。

给大家举个例子吧，就说有个椭圆方程是 x²/9 + y²/5 = 1 ，一个点 P 的坐标是 (2, 1) ，那它到焦点的距离咋算呢？先算出 a = 3 ，b = √5 ，c = 2 ，离心率 e = 2/3 。

然后把 x₀ = 2 代入焦半径公式，就能算出距离啦。

我记得之前给一个学生讲这个的时候，那孩子一脸懵，怎么都理解不了。

我就一点点引导他，从最基础的椭圆定义开始，一步一步地推导这个公式。

最后这孩子恍然大悟，那种成就感，真的让人特别开心。

再说说双曲线，它的焦半径公式稍微复杂一点，但道理是一样的。

对于抛物线，也有相应的焦半径公式。

在学习焦半径坐标公式的过程中，大家可别死记硬背，要理解它背后的原理。

多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就掌握啦。

总之，焦半径坐标公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，就一定能拿下它！相信大家在学习的道路上都能越走越顺，加油！。

椭圆的焦半径公式(已修好)

x0
119 x y2 25 ± =1 得:y0=± 代入 + ∴ X0= 4 25 9 12 25 119 所以 P( 12 ,± 4 )
• 例3:椭圆
x2 y2 + 2 =1 2 a b
横坐标分别X X 横坐标分别 A、 B XC 成等差数列, 求证: X X 、CF 成等差数列求证 XA 、 B 、 C 成等差数列. 数列证明:当是左焦点时证明当F是左焦点时有 AF =a+exA BF =a+ex CF =a+exc 又 2 BF = AF + CF B ∴ 2 ( +exB) = (a+exA) +(a+exc) a 即: 2XB=XA+XC 所以 XA 、XB、XC 成等差数列
上三点A、、的 (a > b > 0上三点、B、C的 ) BF AF 、、 ,若焦半径若焦半径
• 例4:若椭圆的焦半径最大值为16,最小值为4 , 求 • 椭圆的标准方程 . • 解:由已知设椭圆的长轴长2a 短轴长2b 焦距2c • 则a-c=4 • a+c=16 所以a=10 c=6 b=8 • 当焦点在X轴上时 x 2 y 2
2 2 2 2
2 2
例1
0
0
1
2
F1(-C,0) o
F1(C,0) x
d
∴
a PF =ed1=e(x0+ c
1
2 2
1
d
2
2
)= a+ex0
PF =ed =e( a - x )= a-ex0 2 0 c (法二):利用两点距离公式
焦半径：焦半径： 1)P（x0，y0）是椭圆（（a＞b＞0）＞＞）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2 上的一点，是左、右焦点，叫焦半径∣ 叫焦半径∣PF左∣＝a+ex0， ∣PF右∣＝a-ex0 Rmax=a+c Rmin=a-c

证明焦半径公式

证明焦半径公式一、椭圆焦半径公式的证明。

（一）椭圆的标准方程。

设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F_1(-c,0)，F_2(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。

（二）设点P(x_0,y_0)在椭圆上。

1. 求PF_1（左焦半径）- 根据两点间距离公式，PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}。

- 因为点P(x_0,y_0)在椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上，所以y_0^2=b^2(1-frac{x_0^2}{a^2})。

- 将y_0^2=b^2(1 - frac{x_0^2}{a^2})代入PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}中，得到：PF_1=√((x_0)+c)^2+b^2(1-frac{x_{0^2}{a^2})} =√(x_0)^2+2cx_{0+c^2+b^2-frac{b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{a^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^2c^2+a^2b^2-b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{(a^2)-b^{2)x_0^2+2a^2cx_0+a^2(b^2+c^2)}{a^2}}- 又因为c^2=a^2-b^2，所以：PF_1=√(frac{c^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^4}{a^2}} =√(frac{(cx_0)+a^2)^2{a^2}} =<=ft frac{cx_0+a^2}{a}right- 因为-a≤slant x_0≤slant a且a > 0，c>0，所以cx_0+a^2>0，则PF_1 = a +ex_0（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。

2. 求PF_2（右焦半径）- 同样根据两点间距离公式，PF_2=√((x_0)-c)^2+y_{0^2}。

(完整版)椭圆焦半径公式及应用面面观

椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。

一、椭圆焦半径公式P 是椭圆x a y b2222+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。

P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。

以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。

（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1 已知点P （x ，y ）是椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x ac . 【分析】可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.【解答】由两点间距离公式，可知 |PF 1|=22)(y c x ++ (1) 从椭圆方程12222=+b y a x 解出 )(22222x a a b y -= (2)代（2）于（1）并化简，得|PF 1|=x ac a +(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x a c a - (-a ≤x ≤a)【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r 1=a+ex r 2=a-ex (e=a c ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.【分析】问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.【解答】依题意，有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-代①于④并整理得r 1-r 2=x ac 2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x a c a r x a c a r 21 【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.二、焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：x=-ca 2为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆的第二定义，则有ex a ca x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线ca x 2±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点.直线l 为x=-ca 2，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =||||11. 【解答】由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+ca 2. 故有e ca x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=22211)(||||. 【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线l 1:x=-c a 2(l 2：x=ca 2)的距离之比为定值e （0<e<1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4．设点P （x ，y ）适合方程12222=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知r 1=a+ex ①同理还有r 2=a-ex ②①+② 得 r 1+r 2=2a即 |PF 1|+|PF 2|=2a.即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a.【说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。

椭圆焦半径公式cos推导过程

椭圆焦半径公式cos推导过程椭圆焦半径公式是用来计算椭圆的焦点到椭圆的距离的公式，这是一个非常重要的公式，因为它可以用来求解椭圆上任意一点到焦点的距离，这对于求解椭圆的各种性质非常有用。

那么，椭圆焦半径公式的推导过程是什么呢？首先，我们需要了解椭圆的一些基本概念。

椭圆是一种椭圆形的图形，它的定义是：所有点到椭圆的两个焦点的距离之和相等。

我们可以使用椭圆的标准方程来表示椭圆，即：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，$a$ 和 $b$ 分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

下面，我们就可以开始推导椭圆焦半径公式了。

首先，我们考虑椭圆的一般式，即：$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$将这个方程带入椭圆的标准方程，即：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$将 $x^2$ 和 $y^2$ 用椭圆的一般式表示，得到：$$\frac{Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F}{a^2} + \frac{Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F}{b^2} = 1$$化简得到：$$\frac{A}{a^2}推导接下来，我们可以使用平面几何的知识来继续推导。

首先，我们可以将椭圆的一般式转化为另一种形式：$$\frac{(x^2 + y^2) + (B^2 - 4AC)}{4A} + Dx + Ey + F = 0$$将这个方程带入椭圆的标准方程，得到：$$\frac{(x^2 + y^2) + (B^2 - 4AC)}{4Aa^2} + \frac{(x^2 + y^2) + (B^2 - 4AC)}{4Ab^2} = 1$$化简得到：$$\frac{(B^2 - 4AC)}{4Aa^2} + \frac{(B^2 - 4AC)}{4Ab^2} = 1$$将 $B^2 - 4AC$ 表示为 $e^2$，得到：$$\frac{e^2}{4Aa^2} + \frac{e^2}{4Ab^2} = 1$$将 $A$ 表示为 $\frac{b^2}{a^2}$，得到：$$\frac{e^2}{4\frac{b^2}{a^2}a^2} + \frac{e^2}{4b^2} = 1$$化简得到：$$\frac{e^2}{b^2} = 1 - \frac{a^2}{b^2}$$解得：$$e = \sqrt{b^2 - a^2}$$由此，我们就得到了椭圆焦半径公式：$$e = \sqrt{b^2 - a^2}$$这就是椭圆焦半径公式的推导过程。

椭圆的简单几何性质-----焦半径

1
结论：椭圆上离焦点最近或者最远的点，都在顶点处，可以用数形结合的方法解决.
x2 y2 练习：在椭圆 1上，求一点P使它到 25 9 左焦点的距离是它到右焦点的距离的2倍.
2 2
x y 练习2：椭圆 1上三个不同的点A( x1 , y1 ), 25 9 9 B (4, )C ( x2 , y2 ), 到焦点F (4， 0)的距离成等差数列， 5 求x1 x2焦点在x轴上时， PF1 a ex0
PF2 a ex0
焦点在y轴上时，
“左加右减”
PF1 a ey0
PF2 a ey0
“上减下加”
思考：如图，椭圆上哪一点离F1最近，它们之间的距离是多少？；哪一点离它的距离最远，最远的距离是多少？为什么？
F
x y 例1：已知椭圆 2 2 1(a b 0)的焦 a b 点F1 (c,0), F2 (c,0), P是椭圆上任意一点求证： PF1 a ex0 , PF2 a ex0 , 其中e 为椭圆的离心率.
2
2
y x 例2：已知椭圆 2 2 1(a b 0)的焦 a b 点F1 (0, c), F2 (0,c), P是椭圆上任意一点求证： PF1 a ey0 , PF2 a ey0 , 其中e 为椭圆的离心率.
x2 y2 练习3：已知椭圆C : 1, F1 , F2为其两个焦点， 4 3 问能否在椭圆C上找一点M , 使点M到左准线的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项.若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

椭圆焦半径公式的证明及巧用

椭圆焦半径公式的证明及巧用
一、椭圆焦半径公式的证明
设椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，中心点为
O(0,0)，则椭圆的参数方程为：
x=a*cosθ
y=b*sinθ
其中，θ为椭圆上任意一点P的极角，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。

将P的坐标代入椭圆焦半径的定义式，得到：c=(F1P+F2P)/2
c=[(-c-x)²+y²+(c-x)²+y²]½/2
c=[2a²-2x²]½/2
将x=a*cosθ代入上式，得到：
c=[2a²-2a²cos²θ]½/2
c=a(1-cos²θ)½
c=a*sinθ
因此，椭圆焦半径的公式为c=a*sinθ。

二、椭圆焦半径公式的巧用
1.焦距的计算
在光学中，焦距是指光线从远处垂直射入透镜后汇聚到的点与透镜的距离。

对于一个椭圆形的反射器或折射器，其焦距可以通过椭圆焦半径公式计算得到。

2.卫星轨道的计算
卫星轨道是指卫星绕地球或其他天体运行的路径。

对于一个地球同步轨道，其轨道形状为椭圆，可以通过椭圆焦半径公式计算出卫星与地球的距离。

3.椭圆的绘制
在计算机图形学中，椭圆的绘制是一个常见的问题。

通过椭圆焦半径公式，可以计算出椭圆上每个点的坐标，并将其绘制出来。

坐标表示的焦半径公式

一．坐标表示的焦半径公式1、椭圆（一类）由代入整理得,同理，可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助,显然总有符合椭圆定义。

公式常见应用：（1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a—c（2）椭圆上三点A，B,C，若成等差数列,则到同一个焦点的焦半径也成等差数列.（3）定义直线为椭圆的左右准线。

由焦半径公式，椭圆上任意一点P（x,y）到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.2。

双曲线由代入整理得,由双曲线上点,若点P在右支上，同理,。

总有.若点P在左支上，同理，.总有.公示的应用：（1）若双曲线上同一支上的三点A,B，C，有成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列.（2)定义直线为双曲线的左右准线.由焦半径公式，双曲线上任意一点P(x,y）到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.3。

抛物线公式的应用：抛物线上三点A，B，C,若，则.二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式1、统一定义:平面上到定点F与定直线l 距离之比等于常数e的点轨迹。

若0〈e〈1,轨迹为椭圆。

若e=1，则轨迹为抛物线.若e〉1，则轨迹为双曲线.2.方向角焦半径公式(1）方向角定义如图:将Fx当始边，FM当终边所成角定义为点M的方向角.方向角范围将焦准距离统一表示为P。

对于椭圆，双曲线（要求记忆)（2）公式:e：离心率，对于椭圆,双曲线，.(3）公式的应用：焦点弦长公式说明：（1）焦点弦长公式中,方向角以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角:.（2）有对称性改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立.（3）对于双曲线当所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。

若较小，使时，此时公式应表为，此时焦点弦的两个端点分在两支上.(4）对于抛物线，∵e=1 ，。

为焦点弦与对称轴夹角.（5)通径：垂直对称轴的焦点弦称通径,在,令得通径的统一表示2eP。

对于椭圆,双曲线：；对于抛物线：2eP=2P。

椭圆的另一个焦半径公式及其应用_王健

=
2
4 －
槡2 cos2
θ
．
[ （ 3）不妨设直线 AB 的倾斜角为 α ∈ 0，
)π
2
．因 AB ⊥ DE，则直线 CD 的倾斜角为 α +
π 2
．
由椭圆焦点弦公式，知
AB
=
a2
2ab2 － c2 cos2
， α
( ) DE =
2ab2
a2 － c2 cos2
α
+
π 2
=
a2
2 －
ab2 c2 sin2
对第 ② 问，由平面几何知识相似比可知，
用 AF1 、BF2 分别把 PF1 、PF 2 表示出来，从而只要引入变量 AF1 倾斜角，运用椭圆焦半径公
式，即可迅速求证．
解
（ 1）
x2 2
+ y2
= 1．（过程略）
（ 2） ① 设直线 AF1 的倾斜角为 α，因 BF2
∥ AF1 故直线 BF2 的倾斜角也为 α，由椭圆焦
； θ
（ 3）过点 F 1 （－ 2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 A，B 和 D，E，求 AB + DE
的最小值．
·14·
分析本题常见思路是设直线斜率为 k，
把直线方程与椭圆方程联立，用韦达定理和
弦长公式，求出 AB、DE 的长，构建关于 k 函数，
[ ) 的倾斜角为 α ∈ 0，π2 ，则直线 PQ 的倾斜
角为 α
+
π 2
．
由推论
2，知
MN
=
a2
2 －
ab2 c2 si
n2

椭圆焦半径公式及应用(1)

本文链接：/Periodical_zxsslh-geb200711015.aspx 授权使用：大连外国语学院(dlwgyxy)，授权号：ffbd7725-ac86-45a4-9d89-9e620175bd94 下载时间：2011年1月5日
万方数据
陛人生如弹簧，困难越大你越强＇先压缩而后发力。－－Ｗｗ２００８１２２＠１２６．ｃｏｒｎ
椭圆焦半径公式及应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：任岭云
中学生数理化(高二版) MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(MIDDLE SCHOOL EDITION) 2007，""(11) 0次
露
黧
知Ｐ、Ｆ，、Ｆｚ是一个直角三角形的三个顶点，且ＩＰＦ。ｆ＞ｊ的值．
ＰＦ。ｆ，求器｝
鬻
擎
生数理化
解：由椭圆方程可知“一３，ｂ一２，并求得ｃ一万，离心率ｅ一半．
由椭圆的对称性，不妨设Ｐ（ｚ。，帅）（ｚ。＞０，帅＞０）是椭圆上的一点，则由题意知ＩＰＦ，Ｉ应为左焦半径，ＪＰＦ。Ｉ应为右焦半径．
ｌ—ｄ。・ｅ一
侧，
椭圆煮＋等一１上三个不同的点Ａ（ｚ，，ｙ。）、１３（４，詈）、Ｃ（ｘ。，
解：在已知椭圆中，右准线方程为ｚ—百２５，设Ａ、Ｂ、ｃ到右准线的距离
为矗，、ｄ：、ｄ。，则ｄ。一莩一ｚ。、ｄ。一莩一４、ｄ。一莩一ｚ。．
蹦利、所蛸勰舸舭
万方数据
一…。…。一妙倒
辫毵—黑霸譬爹ｊ
妒
．。：
２唧嘲，期
由焦半径公式，得｝ＰＦ，｛一３＋华ｚ。，｛ＰＦ：：一３一婆。。－０
。。）‘＋（２万）２，解得ｚ。一万，故尉一号．（；）若么Ｆ，ＰＦｉ为直角，则Ｉ

椭圆的焦半径公式及应用

：
显得太繁与无奈．那么还有没有别的思路与方法来
ＩＡＦＩ＋ＩＦＦｌ一２ｌＡＦＩ
推导椭圆的焦半径、焦点弦长公式呢？本文拟作一探
讨．
一
・
ＩＦＦＩｃｏｓ０，即（２ａ — ＩＡＦＩ）
图１
Ｆｌ＝
为定值，并求此定值・
解：记椭圆的右顶点为Ａ，并设Ａ即＝（ｉ
问题的深层次的联系，从而使我们的解题能力和思
』ｔ或｛．一或｛＿ ‰ ，或ｆ。一经ｙｏ＝ｂ，【），０＝ｂ，【ｙ０＝一ｂ【ｙ０＝一ｂ，
检验知均满足＋＝口＋ｂ．因此，动点Ｐ的轨迹
结论３若动点Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）为抛物线Ｃ：ｘ＝２ｐｙ（ｐ＞０）外一点，且到抛物线Ｃ的两条切线相互垂直，则点Ｐ的轨迹方程为Ｙ＝一．（证略）例
２
｛『ｙｘ２＋七吾？一）＋ ’ 巨。Ｅｋ（一）＋），ｏ］得＋ — 二专
：ＩＡＦｌ＋４ｃ一２ＩＡＦＩ．
、
公式推导
２ｃｏｏｓ，解得ＩＡ，ｌ＝ａ－ＣＣＯＳＯ
＝
口
ＣＣＯＳ一
．
类似
・
２６・
中学数学研究
２０１４年第９期
可得ＩＢＦＩ＝口一ＣＣＯＳ（仃一０）一．・
：
（２０１０年广东高考数学理科第２０题第２问

椭圆的焦半径公式及其拓展

1椭圆的焦半径公式及其拓展1. 焦半径：连结椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径。

2. 焦半径公式：（1）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，)0,(),0,(21c F c F -是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,ex a PF ex a PF -=+=.（2）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上一点，),0(),,0(21c F c F -是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,-ey a PF ey a PF +==.推导过程：（以x 型椭圆方程为例进行推导）方法一：利用椭圆的标准方程推导由两点间距离公式，可知20201)(y c x PF ++=，根据椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x ，解得)(22222x a ab y -= 故)(2022220x a a b y -= 将上式代入20201)(y c x PF ++= 可得：)(0001a x a ex a x ac a PF ≤≤-+=+= 同理可得：)(--0002a x a ex a x a c a PF ≤≤-== 方法二：利用椭圆的第二定义2椭圆的左准线方程为：ca x 2-=，设点),(00y x P 到左准线的距离为PD 由椭圆的第二定义：)(002011a x a ex a c a x e PD e PF e PD PF ≤≤-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⇒= 同理可得：)(-002a x a ex a PF ≤≤-=五、典型例题例1：在椭圆18422=+y x 上有一个点P ，满足P 到一个焦点的距离是到另一个焦点距离的3倍，则点P 的坐标为________.【推荐理由】可以直观对比出运用焦半径公式的优越性，且同时考查了椭圆的对称性，学生容易漏情况，是易错题.解法一：根据椭圆方程：18422=+y x 可知，椭圆焦点为)2,0()2,0(-和设),(n m P ，则有18422=+n m 且2222)2(3)2(n m n m ++=+-或2222)2-(3)2(n m n m +=++ 解两次二次方程可得：)2,2()2,2(±-±P P 或解法二：设椭圆度上下焦点分别为21,F F ，点),(n m P 由椭圆方程可知：22,2,22===e c a3利用焦半径公式：,2222,22-2221n PF n PF +== 由题意可得：212133PF PF PF PF ==或解一元一次方程可得：2±=n 所以)2,2()2,2(±-±P P 或【思路点拨】1.椭圆上的点到焦点的距离即是焦半径的概念，很直接联系到焦半径公式；2.本题明确到P 上、下焦点的距离哪个大，故要分类讨论，或者根据椭圆的对称性直接得到结果，需要考虑全面，否则容易漏解，这是本题的易错点.【点评】本题的两种解法对比可以看出，对比利用距离公式，利用焦半径达到了降次的作用，大大化简了计算过程，可以让学生简洁高效地求解。

椭圆与双曲线的焦半径公式

椭圆与双曲线的焦半径公式
在平面几何中，椭圆与双曲线是两种常见的二次曲线。

它们具有非常重要的性质，特别是它们的焦半径公式。

本文将详细介绍椭圆与双曲线的焦半径公式，并为读者提供指导意义。

首先，我们来了解一下椭圆的焦半径公式。

椭圆是所有到两个定点距离之和恒定的点所组成的图形。

这两个定点称为椭圆的焦点。

椭圆的焦半径公式是指从焦点到椭圆上任意点的线段长度都等于该点到椭圆左右两个焦点的距离之差。

换句话说，如果将椭圆的两个焦点记为F1和F2，将椭圆上任意一点记为P，将P点到F1、F2的距离分别为d1、d2，则焦半径公式可以表示为：
PF1 - PF2 = d1 - d2
这个公式的实际应用非常广泛，例如在太阳系行星轨道以及卫星通信中均有应用。

接下来，我们来介绍双曲线的焦半径公式。

双曲线与椭圆非常相似，它们都是二次曲线。

不同的是，双曲线的焦点到曲线的距离之差恒定为一个定值，而不是和椭圆一样固定等于曲线上点到两个焦点的距离之差。

换句话说，如果将双曲线的两个焦点记为F1和F2，在曲线上取任意一点P，将P点到F1、F2的距离分别为d1、d2，则焦半径公式可以表示为：
PF1 - PF2 = 2a
其中，a是双曲线的半轴长度。

双曲线的焦半径公式同样有许多应用，例如在天文学中用于描述天体轨道的形状，以及在工程学中用于计算电磁波的传播。

总之，无论是椭圆还是双曲线，它们的焦半径公式在科学研究与实践中都具有非常重要的意义。

它们不仅是数学知识，更是实际应用的基础。

希望读者可以通过本文对椭圆与双曲线的焦半径公式有更深入的了解，并能在实践中灵活应用。

椭圆焦半径公式倾斜角

椭圆焦半径公式倾斜角椭圆是一种非常有特点的几何图形，它是由一个平面内到两个定点(焦点)的距离之和等于常数的所有点构成。

椭圆的性质非常多，但其中最重要的性质就是椭圆焦半径公式。

椭圆焦半径公式涉及到椭圆的焦点、长轴、短轴和倾斜角等方面的内容。

在这里，我们将详细介绍这些概念，并向大家展示如何用中文表达椭圆焦半径公式，以及如何根据椭圆焦半径公式的结果来计算椭圆的各种参数。

椭圆焦半径公式的基本原理是这样的：对于椭圆上的任意一点，它到椭圆焦点的距离和到另一个焦点的距离之和是一个常数，我们通常称之为椭圆的“焦半径”。

在椭圆的数学公式中，这个常数通常用a 表示，a又被称为椭圆的“长半轴”。

椭圆的短半轴则用b表示。

除了长半轴和短半轴之外，椭圆的另一个重要参数是“倾斜角”，也称为“偏心角”。

倾斜角是指椭圆的长轴与水平方向的夹角，通常用φ表示。

当长轴与水平方向平行时，倾斜角为0度；当长轴与竖直方向平行时，倾斜角为90度。

接下来，我们就来看看椭圆焦半径公式的具体表达式。

椭圆焦半径公式如下：r = sqrt(a^2 - b^2)其中，r表示椭圆上任意一点到焦点的距离，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。

需要注意的是，这个公式适用于标准椭圆，即长轴与X轴平行的椭圆。

对于倾斜的椭圆，则需要进行特殊处理。

为了更好地理解椭圆焦半径公式，我们可以举个例子。

假设我们有一个标准椭圆，长半轴为5，短半轴为3，我们可以带入公式，求出任意一点到焦点的距离。

将a=5，b=3代入公式，我们得到：r = sqrt(5^2 - 3^2) = sqrt(16) = 4这个结果告诉我们，标准椭圆上任意一点到焦点的距离都是4。

因此，我们可以根据这个公式，计算出标准椭圆上任意一点的坐标，从而画出整个椭圆。

除了基本的椭圆焦半径公式之外，还有一些特殊情况需要注意。

例如，当椭圆的长轴与X轴的夹角为θ时，公式应该修改为：r = sqrt((a*cosθ)^2 + (b*sinθ)^2)这个公式的意义是，将a和b分别乘以cosθ和sinθ之后，就可以得到椭圆在X轴和Y轴上的投影长度，这两个长度的平方相加后再开方，就得到了任意一点到焦点的距离。

椭圆的焦半径公式推导过程

椭圆的焦半径公式推导过程椭圆的焦半径公式推导过程：小伙伴们，今天我们来聊聊椭圆的焦半径公式，这个公式可是解决椭圆问题的关键哦！让我们一起来看看它的推导过程吧！我们要知道椭圆是什么。

椭圆呢，就是一个圆形的一半，就像我们的脸盆一样，只不过它是一个椭圆形状的。

椭圆有两个重要的参数，分别是长半轴a和短半轴b。

长半轴a就是从一个点到另一个点的最长距离，短半轴b就是从一个点到另一个点的最短距离。

这两个参数决定了椭圆的大小和形状。

那么，椭圆的焦半径公式又是什么呢？别急，我们一步一步来推导。

我们要明确椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是固定的，这个距离就是2a。

接下来，我们要找到一个点，使得它到两个焦点的距离之和等于2a。

这个点就是椭圆的左、右焦点。

现在，我们可以画一个圆，以左焦点为圆心，2a为半径，画一个圆；同样地，以右焦点为圆心，2a为半径，再画一个圆。

这样，我们就得到了一个环形区域，这个区域就是椭圆的范围。

接下来，我们要找到这个环形区域内的一个点，使得它到左、右焦点的距离之差最小。

这个点就是椭圆的中心。

现在，我们可以观察到，环形区域内离中心最近的那个点，就是椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2a的点。

这个点到左、右焦点的距离之差最小，因此它是椭圆上离中心最近的点。

这个点到左焦点的距离就是c(c是焦半径)。

所以，椭圆的焦半径公式就是：c = √(a^2 b^2)。

这个公式告诉我们，椭圆上离中心最近的点到两个焦点的距离之差最小值就是c(焦半径)。

有了这个公式，我们就可以解决很多关于椭圆的问题啦！小伙伴们，今天我们学习了椭圆的焦半径公式的推导过程，是不是觉得有点神奇呢？其实，数学就是这样，只要我们用心去理解，就会发现它的奥妙无穷。

希望我们在以后的学习中，能够更加热爱数学，发现更多的数学之美！。