第2章线性时不变系统

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我们为卷积运算引入一个运算符号：*
y[n] x[n] h[n]
卷积和是离散时间信号（或者说函数）之间的一种 运算，两个以n为时间变量的信号的卷积运算的结果，是 一个以n为时间变量的信号
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从实用的观点来说，如果对于任何输入，我们都能够 求出系统的输出，这就说明我们对该系统有了足够的了 解。
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y[n] [n 1] 2 [n 2] 3 [n 3] 4 [n 4] 3 [n 5] 2 [n 6] [n 7]
于是有，



x( ) (t )d x(t ) (t )d


x(t ) (t )d
=1
x(t )
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我们就得到了一个结论，可以将连续时间函数
x(t ) 表示为：
x(t )＝


x( ) (t )d
单位冲激响应
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由时不变性可得：
[n k ] h[n k ]
利用LTI系统的齐次性可得:
x[n] [n k ] x[n]h[n k ]
利用LTI系统的叠加性和式：
y[n]
k
x[k ]h[n k ]

上式称为卷积和或者简称卷积。
为什么引入LTI ？
如果不对系统的性质加以限制，那么分析 一个系统将是十分困难的。 给系统加上线性和时不变性的限制，那么 系统的分析将变得十分简便。 LTI系统的分析还为非线性系统的分析方法 提供了思路。例如，线性时不变系统可以 用冲激响应来表达，非线性系统可以用 Volterra级数来表达。
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在Matlab中，卷积计算函数conv只能计算有限长度序列的卷 积，而且默认这些序列是从0开始的，所以，一旦遇到起始点 不为零的序列进行卷积的情况，我们必须利用LTI系统的时不 变性，将序列的起始点移位到0，卷积完成以后再移位回来。 利用时不变性，我们有：
y[n m] x[n m] * h[n]
1

(1 e
t
)u (t )
y(t )
1/
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2.3 卷积的性质
引入了卷积的概念以后，本节介绍卷积 算子的基本性质。
2.3.1交换律(Commutative Property)
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x[n] * h[n]
k
x[k ]h[n k ]


h(t ) * x(t )
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类似于乘法运算，卷积运算也服从交换律，即
x[n] * h[n] h[n] * x[n]
x(t ) * h(t )＝h(t ) * x(t )
利用卷积的交换律，可能会大大简化卷积的计算过程。
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需要说明的问题？
真实的系统，严格地讲，绝大多数是非线性和时 变的。（例如:铁心的存在使得电感非线性） 线性和时不变性可以认为是对现实系统的近似或 者理想化。 这样的近似是合理的，一般来说，实际系统的时变 性是可以忽略的，例如，在很多弱电系统中，电阻 随着温度的变化可以忽略；在小信号的情况下，某 些器件的非线性也可以用局部线性的方法分析，例 如，晶体管的小信号模型就是其中的例子。 因此，线性时不变系统的分析方法是实用的。
k k
x[k ]h[n kk]]
0

看成常量
求和变量
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进一步说明
h[n k ]
h[k ]
h[k ]
k
k
h[(k n)] h[n k ]
n
k
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h[ ( k] kk ] n)] h[n k ]
再利用交换律，我们有：
y[n m] x[n] * h[n m]
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下面我们将举例说明，两个起始点不为0的序列的卷积。 例题2.3 求卷积：
y[n] x[n] * h[n]
x[n] [n 1] [n] [n 1] [n 2]
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对于任意的离散时间信号：
累加序号 自变量
加权值 移位的冲激信号
x[n]
k
x[k ] [n k ]

上式应该理解为许多以为n自变量的函数的相 加，而不是数值相加。
许多移了位的冲激信号的加权和，构成了x[n] 。
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h(( )) ) t h
t
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x( )
t
t0
y(t ) 0
t0
y (t )

t
0
x( )h(t )d


t
0
e

d

e

|
t 0
1

(1 e
t
)
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y (t )


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y(t ) x( )h(t )d


卷积积分或者简称卷积。
y(t ) x(t ) h(t )
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卷积是连续时间信号（或者说函数）之间的 一种运算，两个以为t时间变量的信号的卷积 运算的结果，是一个以t为时间变量的信号。
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M
N
M+N-1
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举一个限长度序列卷积的例子。
例题2.2 试求：
其中，
y[n] x[n] h[n]
x[n] [n] [n 1] [n 2] [n 3]
h[n] [n] [n 1] [n 2] [n 3]
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2.1离散时间LTI系统的卷积分析
一个经常遇到的问题是，给定一个输入信号，怎 样求出系统的输出信号。 分析这个问题之前，我们先从输入信号入手。 如果我们能够将输入信号分解成为基本的信号， 或者说用基本的信号来表示任意的信号，再利用 叠加性质，那么LTI系统的分析将会十分简单。
2.2.1 用冲激函数表示连续时间信号
对于连续时间信号而言，我们也可以 利用冲激函数的抽样性质来推导系统输出 的卷积表示。
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冲激函数的选择性质是这样的：
x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t t0 )
由于冲激函数是偶函数，
[t t0 ] [(t t0 )] [t0 t ]
0
该系统的单位冲激响应为
试求该系统的输出信号 y(t )
x(t ) e
，
t
u(t )
h(t ) u (t )
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解：
y(t ) x( )h(t )d


x( )
h( )
h( )
h(t )
t
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单位冲激响应同样完全刻画了LTI系统的变 换规律。 不同的系统输入，都在单位冲激响应的作 用下产生相应的响应; 因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应， 就等于给定了该系统。
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例题2.3 已知给定的LTI系统的输入信号为
x(t ) e
t
u(t )
h(t ) u (t )
z[n] [n] 2 [n 1] 3 [n 2] 4 [n 3] 3 [n 4] 2 [n 5] [n 6]
z[n 1] x[n] * h[n 2] z[n 1 2] x[n] * h[n] y[n]
y[n] z[n 1 2] z[n 1]
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2.1.1用单位冲激函数表示离散时间信号
从波形的角度来观察离散时间信号，它可以 看成是由许多加权了的单位冲激信号组合 而成的
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x[n] x[1] [n 1] x[0] [n] x[2] [n 2]
特别地，我们有
u[n]
[n k ]
k 0

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2.1.2 卷积和
任何一个序列都可以表示为移位的冲激序列的线 性组合。以此为基础，我们来表达系统的输出信 号。 首先我们定义一个特殊的输出信号，即系统在单 位冲激信号的激励下的系统输出信号
[n] h[n]
h[n]
解：
y[n] x[n] * h[n]
k
x[k ]h[n k ]

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h[n]
h[k ]
n
h[k ]
k
h[n k ]
k
n
k
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h[n k ]
x[k ]
……
n
k
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求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。
单位冲激响应h[n]完全描述了线性时不变系统的变换 规律。不同的系统输入，都在h[n]的作用下产生相应的 响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应h[n]就 等于给定了该系统。
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从计算某一个特定点的角度来看
yy [n [n 0]
k
先反转后平移 当然，我们也可以先平移后反转，但是这种 方式不容易操作，容易出错。
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例题2.1 已知一个LTI系统的输入信号为，x[n] （
n
u[n]
0 1
），该LTI系统的单位冲激响应为， ，试求该LTI系统的输出
h[n] u[n]
xFra Baidu bibliotekn]
y[n]
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2.2.2 卷积积分
我们定义一个特殊的输出信号，
(t ) h(t )
单位冲激响应
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由LTI系统的时不变性：
(t ) h(t )
由LTI系统的线性，我们有
x(t ) x( )h(t )d
r

r nk
常量
x[n r ]h[r ] h[r ]x[n r ]
r


h[n] * x[n]
x(t ) * h(t ) x( )h(t )d

t
常量



x(t )h( )(d )
x(t )h( )d
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0
0
0
y[n] [n] 2 [n 1] 3 [n 2] 4 [n 3] 3 [n 4] 2 [n 5] [n 6]
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2.2 连续时间LTI系统的卷积分析
本小节我们讨论连续时间信号通过LTI系统的情况。
n0
y[n] 0
n0
1 y[n] x[k ]h[n k ] 1 k 0 k 0
n n k n 1
那么输出信号可以写成
1 y[n] u[n] 1
n 1
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1 1
n
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卷积公式是无穷多项求和，而我们实际遇到的常 常是有限长度序列，特别是在计算机离线处理的场 合，因为计算机不可能处理无穷多的信息。 在进行有限长度的序列的卷积时候，长度为N和M 的2个序列作卷积时，反转序列从左到右进入重叠 直至移出重叠，只有存在重叠项时，卷积和才可能 非零。 卷积序列的长度为M+N-1。
h[n] [n 2] [n 3] [n 4] [n 5]
解：
x[n]
0 0
h[n]
x[n 1]
0 0
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h[n 2]
x[n 1] h[n 2]
起始点为零的序列。
z[n] x[n 1] * h[n 2]