数学分析第一章(新)

第一章 实数集与函数
§1 实数
Ⅰ.教学目的与要求
1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法
2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用
3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用.
Ⅱ.教学重点与难点
重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式.
难点: 实数的定义及其应用.
Ⅲ.讲授内容
一 实数及其性质
实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成．
有理数的表示:有理数可用分数形式q p
(p ˛q 为整数，q ≠0)表示，也可用有限十进
小数或无限十进循环小数来表示.
无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数．
有限小数(包括整数)也表示为无限小数．规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=a 0.a
1a 2n a 时，其中0,9≤≤i a i=1,2, n, ｎa ,0≠０a 为非负整数，记x=a 0.a 1a 2-n a ( 1)̣.999 9,
而当x=a 1为正整数时，则记x=(a 0—1)．999 9…，
例如2．001记为2．000 999 9…；对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将—y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．999 9…；又规定数0表示为0．000 0…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．
我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系．
定义1 给定两个非负实数
x= 0a .a a 1n a , y=,.210 n b b b b
其中00,b a 为非负整数，k k b a ,(k=1，2，…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0，1，2，, 则称x 与y 相等，记为x=y ；若00b a >或存在非负整数L ，使得 a k =b k (k=0，1，2，…，L)而11++>l l b a ，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x>y 或y<x ．
对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有y x -=-与y x ->-，则分别称x=y 与x<y(或y>x)．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．
定义2 : x =a 0.a 1a 2n a 为非负实数．称有理=n x a 0.1a a 2n a 为实数
x 的n 位不足近似，而有理数=n x n
n x 101+称为x 的n 位过剩近似，n=0,1,2, . 对于负实数 n a a a a a x 3210.-=,其n 位不足近似与过剩近似分别规定为
n n n a a a a a x 10
1.3210--= 与=n x n a a a a a 3210.-. 注 不难看出，实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有x 0≤x 1≤x 2≤…，而过剩近似n x 当n 增大时不增，即有0x ≥1x ≥2x ≥…．
其中x 例证则r 即得 1. 2a <b, a =b , 3 4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a 、b ∈R ，若b >a >0，则存在正整数n ，使得n a >b ．
5．实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数(见例1)，也有无理数．
6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O 作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向)，并规定一个单位长度,则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．因此在以后的叙述中，常把“实数a ”与“数轴上的点a ”看作具有相同的含义﹒
例2 设a 、b ∈R ．证明：若对任何正数ε有a <b +ε，则a ≤b ．
证 用反证法．倘若结论不成立，则根据实数集的有序性，有a >b ．令a =εb -，则ε为正数且ε+=b a ，但这与假设a <b ε+相矛盾．从而必有a ≤b ．
二 绝对值与不等式
实数a 的绝对值定义为
⎩
⎨⎧<-≥=.0,,0,a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值a 就是点a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 2 34 5 6 将右半部分．又由）式有据（1,b b a a +-=
.b b a a +-≤
从而得
.b a b a -≤- ()2 将(2)式中b 换成b -，即得得性质4.b a b a +≤-证.
Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关
性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以运用.
3、4、5、6、7、8、9.
Ⅴ课外作业:P
４。