船舶水动力数值计算中的有限体积法
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5 5x
1
j , k - 1/ 2
( 9) PDA = (Δx DAΔx j - 1 , j + Δy DAΔy j - 1 , j ) / S DA 。 足 即可 程但 在式 ( 8) 中 A 取的是其周围四点的平均值 , 即 A = 0 . 25 ( j , k + j- 1, k + j- 1, k- 1 + j , k - 1) ( 10)
= =
1
S A′ B′ C′ D′
5 5y
1
S A′ B′ C′ D′
j , k - 1/ 2
κ κ
5 d x dy = 5x 5 d xd y = 5y
1
S A′ B′ C′ D′
1
S A′ B′ C′ D′
∫ dx ∫
dy
( 5)
( 8) 代入式 此 , 体积九点表达式 : 0 . 25 ( PCD - PDA ) 0 . 25 ( PB C - PCD )
+
j , k- 1 n
Q A B + 0 . 25 ( PDA - PB C )
j +1 , k - 1
+ ( 13 )
/
( Q A B + Q B C + Q CD + Q DA )
其求解控制方程为 Laplace 方程 ( 1 ) , 在采用 FVM 计算时 ,将计算区域 X Y Y′ X′ 划分为 m × m ( ) ( ) 个网格单元 ,利用式 12 及式 13 按超松弛迭代法 足 ( SOR) 进行迭代计算 ,直到收敛 。 这里 ,取圆柱半径 R a = 0 . 1 , 计算区域半径 R b
Biblioteka Baidu
5 5y 5 5y 5 5y
Δx j +1 , j + ΔyBcΔy j +1 , j ) / S Bc , PB C = (Δx B C
2 2 Q CD = (Δx CD + Δy CD ) / S CD ,
j +1/ 2
Δx B C + Δx CD +
PCD = (Δx CDΔx k +1 , k + Δy CDΔy k +1 , k ) / S CD ,
它 的p ,于是可以得到 Laplace l
今后 方程 ( 1 ) 的有限
j - 1 , k +1
+
所 示
j , k +1
式中
j,k
A′ B′ C′ D′
∫
dy ≈
A
j , k- 1
Δy A ′ B′ +
B
ΔyB′ C′ +
Q CD + 0 . 25 ( PB C - PDA )
j +1 , k +1
界条件出发 ,选定在求解域内满足控制方程但不满 足边界条件的函数族 , 再通过一些待定系数的确 定 ,使之近似满足边界条件以逼近精确解 。其主要 理论基础是 Green 函数法 。 相对于以上几种数值计算方法 , 有限体积法 ( Finite Volume Met hod) 是近些年来才发展起来的 一种新的方法 , 它最早由美国的 Patankar 应用于 求解传热及流体流动方程 。有限体积法 ( FVM ) 是 在每个体积元内将对守恒方程进行积分以得出整 个求解域的守恒关系 ,它的特点是在体积元边界流 出的矢通量必须等于相邻体积元在该且最终方程 的离散形式与所采用的插值函数有关 。目前有限 体积法在船舶粘性流场的计算中有一些应用 。在 此 ,本文将就有限体积法作初步的研究与探讨 , 并 采用此方法对无环圆柱绕流问题进行计算 ,为今后 开展更深入的研究打下基础 。
ε
图2 曲线坐标的有限体积
以同样的方法处理 fN 5 /5x 式 ( 4) 可得
Q AB (
j , k- 1 C
j +1/ 2 , k
等项 , 然后代入
j +1 , k D
B)
j , k)
+ PAB (
j , k- 1
B
-
A) j , k)
+ QBC ( + PCD (
C)
j , k)
+
图1 二维的有限体积
+
+
j- 1, k j,k
Δy C′ D′ +
Δy D′ , A′
A′ B′ C′ D′
∫ d x 同理 。
Q DA + 0 . 25 ( PCD - PAB ) ( Q AB + Q B C + Q CD + Q DA ) Q B C + 0 . 25 ( PA B - PCD )
-
+ +
如果网格不是十分弯曲 ,则有 Δy A ′ y C″ yA B , B′≈ - Δ D′≈ Δ ΔyB′ y D′ yk - 1 , k 和 C′≈ - Δ A ′≈ Δ Δy k - 1 , k - Δy A BΔx k - 1 , k ( 6) S AB = S A ′ B′ C′ D′ = Δx A B 于是 ,式 ( 5) 变为
j +1 , k +1
+
+
j- 1, k j +1 , k
Q DA分 + 0 . 25 ( PCD - PA B ) Q B C + 0 . 25 ( PA B - PCD )
+ +
元
图3 求解圆柱绕流的计算区域
0 . 25 ( PDA - PA B ) 0 . 25 ( PAB - PB C)
j- 1 , k- 1
j , k +1 / 2
j- 1 , k
-
j , k) + PDA (
-
D) = 0
其中
Q AB = Δx 2 y2 AB + Δ A B ) / S AB , PA B = (Δx ABΔx k - 1 , k + Δy A BΔy k - 1 , k ) / S A B ,
2 2 Q B C = Δx B C + Δy B C ) / S B C ,
1998 年第 4 期
武 汉 造 船 No. 4. 1998
船舶水动力数值计算中的 有限体积法
张谢东 吴秀恒
( 武汉交通科技大学)
摘 要 有限体积法是一种较新的流体力学数值计算方法 ,其对于数值求解船舶水动力学中常常遇到 的偏微分方程十分有效 。本文对有限体积法作了初步的研究与探讨 ,并采用此方法对圆柱绕流问题进行了实 例计算 。数值计算结果与解析作了比较 ,吻合良好 。 关键词 船舶 流体力学 有限体积法
http://www.cnki.net
1998 年第 4 期
武 汉 造 船 No. 4. 1998 示)
方程 ( 11) 能够非常方便地采用逐次超松弛迭 代方法 ( SOR) 进行求解 ,它的解转变为以迭代值的 形式
n +1 j,k
给出
n +1 j,k
=
n j,k
+ λ(
3
j,k
3
-
n j , k)
( 12 ) +
j , k- 1
其中 λ为松弛因子 ,
j,k
j,k
由下式确定
j - 1 , k +1
3
=
0 . 25 ( PCD - PDA ) 0 . 25 ( PB C - PCD )
Q CD + 0 . 25 ( PB C - PDA )
元的结点作为离散点 。如果单元内的函数值能通 过这些离散点上未知函数值唯一地确定 ,则通过在 整个求解区域内使泛函的变分为零 ,便能引出一组 联立代数方程组 。求解此方程组 ,即可确定所有结 点上 的 函 数 值 。边 界 元 法 ( Boundary Element
Met hod) 只将计算区域的边界进行离散 , 然后从边
5 5x
j , k - 1/ 2
j +1 , k
0 . 25 ( PDA - PA B ) 0 . 25 ( PAB - PB C)
j- 1 , k- 1
+
j , k- 1
Q A B + 0 . 25 ( PDA - PB C )
j +1 , k - 1
+ ( 11)
= 0
=
Δy AB (
j , k- 1
l(
AB CD
∫ 5 5 dy + dx = 0 ∫ 5x 5y
AB CD
52 52 ) d xd y = 2 + 5x 5 y2
( 2)
5 5y
j , k - 1/ 2
=
-
Δx AB (
j , k- 1
rS
of j, k)
+ Δx k - 1 , k ( S AB
B
-
A)
( 7)
方程 ( 2) 是一种守恒形式的方程 。与有限差分 法总是将控制方程变为差分形式不同 ,有限体积法 通常是将控制方程表述为积分形式 。
= 1 . 0 , 来流速度 V = 1 . 0 , 松驰因子λ = 1 . 5 , 收敛
有限体积法的一个有趣的特点 ,那就是通过将 边界条件代入方程 ( 4 ) , 有限体积法能够象处理 Dirichlet 边界条件那样 ,十分方便地处理 Neumann 边界条件 。 5 3 用 FVM 求解无环圆柱绕流
A B CD 内运用子域法及 Green 公式 ,可以得到
4
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
1998 年第 4 期
武 汉 造 船 No. 4. 1998
-
j , k)
+ Δy k - 1 , k (
B
-
A)
S AB
当网格点确定之后 ,式 ( 11) 中的 PA B 和 Q AB 等就可 ы х 以唯一地求出 , 可以称之为网格参数 。
5
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
2 FVM 的控制方程
在采用势流进行船舶水动力计算时 ,通常需要 求解 Laplace 方程 ,二维 Laplace 方程为 52 52 = 0 2 + 5x 5 y2
( 1)
3 湖北省自然科学基金资助 ,批准号 :96J 001 收稿日期 :1998205215
运用有限体积求解时 ,首先需要将计算区域划 分为 有 限 个 单 元 。在 如 图 1 所 示 的 有 限 体 积
1 前言
在现代化船舶研究中 ,随着船舶性能的不断提 高 ,对船舶水动力的研究也提出了更高的要求 。除 了要对船舶的宏观量如力和力矩进行精确预测外 , 还需要对船舶周围的流场细节有精确的了解 。要 做到这些 , 除了可以进行实船或船模的试验研究 外 ,还可以采用 CFD 技术进行理论计算研究 。众 所周知 ,船舶试验研究费时费力 , 且其精度还往往 受到试验条件和环境的影响 。因此 ,经济快速的理 论计算研究越来越受到人们的重视 。 采用理论计算方法 ,准确地预报出船舶周围的 流场及船体水动力 , 能够用于指导船舶设计 , 这对 于提高效率 , 节省人力和物力 , 设计出高效 、 节能 、 降噪的优良船型 , 具有及其重要的意义 , 并能产生 巨大的经济效益 。因此 ,船舶流体力学的数值计算 方法研究十分必要 ,而且具有广阔的前景 。 当前 ,在船舶流体力学中 , 通常采用的数值计 算方法有 : 有限差分法 、 有限元法 、 边界元法和有限 体积法 。有限差分法 ( Finite Difference Met hod) 是 流体力学方程数值解法中应用最广泛的方法之一 , 它基于 Taylor 级数展开 , 在离散的网格点上把各 偏导数项转化为差商 ,从而将微分方程按照一定的 格式离散为差分方程 ,然后来求它的数值解 。影响 差分方程求解精度的关键因素是差分格式的选取 。 有限元法 ( Finite Element Met hod) 是将偏微分方程 的求解区域划分为有限个子域或单元 ,将有限个单
2 2 离散 Q DA = (Δ x DA + Δy DA ) / S DA ,
Δy CD 度的 Δy DA -
j , k +1/ 2
j - 1/ 2 , k
j - 1/ 2 , k
Δx DA = 0 ( 4)
其 中 5 / 5 x j , k - 1/ 2 等 项 可 以 由 图 2 中 面 积 B′ B C′ D′ A A′ B′ 上的平均值来计算 , 即
PB C ( Q DA (
-
+ Q CD (
A
-
+ ( 8)
方程 ( 2) 可近似地表示为 DA 5 5 ( Δy + Δx ) = 0 ( 3) 6 5 x 5y AB 上式可以写为 5 Δy 法-, 5 Δx + 能产 5 x j , k - 1/ 2 A B 5 y j , k - 1/ 2 A B 5 Δ yl 分法 y 5 x j +1/ 2 , k B C 5 5x 5 5x
1
j , k - 1/ 2
( 9) PDA = (Δx DAΔx j - 1 , j + Δy DAΔy j - 1 , j ) / S DA 。 足 即可 程但 在式 ( 8) 中 A 取的是其周围四点的平均值 , 即 A = 0 . 25 ( j , k + j- 1, k + j- 1, k- 1 + j , k - 1) ( 10)
= =
1
S A′ B′ C′ D′
5 5y
1
S A′ B′ C′ D′
j , k - 1/ 2
κ κ
5 d x dy = 5x 5 d xd y = 5y
1
S A′ B′ C′ D′
1
S A′ B′ C′ D′
∫ dx ∫
dy
( 5)
( 8) 代入式 此 , 体积九点表达式 : 0 . 25 ( PCD - PDA ) 0 . 25 ( PB C - PCD )
+
j , k- 1 n
Q A B + 0 . 25 ( PDA - PB C )
j +1 , k - 1
+ ( 13 )
/
( Q A B + Q B C + Q CD + Q DA )
其求解控制方程为 Laplace 方程 ( 1 ) , 在采用 FVM 计算时 ,将计算区域 X Y Y′ X′ 划分为 m × m ( ) ( ) 个网格单元 ,利用式 12 及式 13 按超松弛迭代法 足 ( SOR) 进行迭代计算 ,直到收敛 。 这里 ,取圆柱半径 R a = 0 . 1 , 计算区域半径 R b
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5 5y 5 5y 5 5y
Δx j +1 , j + ΔyBcΔy j +1 , j ) / S Bc , PB C = (Δx B C
2 2 Q CD = (Δx CD + Δy CD ) / S CD ,
j +1/ 2
Δx B C + Δx CD +
PCD = (Δx CDΔx k +1 , k + Δy CDΔy k +1 , k ) / S CD ,
它 的p ,于是可以得到 Laplace l
今后 方程 ( 1 ) 的有限
j - 1 , k +1
+
所 示
j , k +1
式中
j,k
A′ B′ C′ D′
∫
dy ≈
A
j , k- 1
Δy A ′ B′ +
B
ΔyB′ C′ +
Q CD + 0 . 25 ( PB C - PDA )
j +1 , k +1
界条件出发 ,选定在求解域内满足控制方程但不满 足边界条件的函数族 , 再通过一些待定系数的确 定 ,使之近似满足边界条件以逼近精确解 。其主要 理论基础是 Green 函数法 。 相对于以上几种数值计算方法 , 有限体积法 ( Finite Volume Met hod) 是近些年来才发展起来的 一种新的方法 , 它最早由美国的 Patankar 应用于 求解传热及流体流动方程 。有限体积法 ( FVM ) 是 在每个体积元内将对守恒方程进行积分以得出整 个求解域的守恒关系 ,它的特点是在体积元边界流 出的矢通量必须等于相邻体积元在该且最终方程 的离散形式与所采用的插值函数有关 。目前有限 体积法在船舶粘性流场的计算中有一些应用 。在 此 ,本文将就有限体积法作初步的研究与探讨 , 并 采用此方法对无环圆柱绕流问题进行计算 ,为今后 开展更深入的研究打下基础 。
ε
图2 曲线坐标的有限体积
以同样的方法处理 fN 5 /5x 式 ( 4) 可得
Q AB (
j , k- 1 C
j +1/ 2 , k
等项 , 然后代入
j +1 , k D
B)
j , k)
+ PAB (
j , k- 1
B
-
A) j , k)
+ QBC ( + PCD (
C)
j , k)
+
图1 二维的有限体积
+
+
j- 1, k j,k
Δy C′ D′ +
Δy D′ , A′
A′ B′ C′ D′
∫ d x 同理 。
Q DA + 0 . 25 ( PCD - PAB ) ( Q AB + Q B C + Q CD + Q DA ) Q B C + 0 . 25 ( PA B - PCD )
-
+ +
如果网格不是十分弯曲 ,则有 Δy A ′ y C″ yA B , B′≈ - Δ D′≈ Δ ΔyB′ y D′ yk - 1 , k 和 C′≈ - Δ A ′≈ Δ Δy k - 1 , k - Δy A BΔx k - 1 , k ( 6) S AB = S A ′ B′ C′ D′ = Δx A B 于是 ,式 ( 5) 变为
j +1 , k +1
+
+
j- 1, k j +1 , k
Q DA分 + 0 . 25 ( PCD - PA B ) Q B C + 0 . 25 ( PA B - PCD )
+ +
元
图3 求解圆柱绕流的计算区域
0 . 25 ( PDA - PA B ) 0 . 25 ( PAB - PB C)
j- 1 , k- 1
j , k +1 / 2
j- 1 , k
-
j , k) + PDA (
-
D) = 0
其中
Q AB = Δx 2 y2 AB + Δ A B ) / S AB , PA B = (Δx ABΔx k - 1 , k + Δy A BΔy k - 1 , k ) / S A B ,
2 2 Q B C = Δx B C + Δy B C ) / S B C ,
1998 年第 4 期
武 汉 造 船 No. 4. 1998
船舶水动力数值计算中的 有限体积法
张谢东 吴秀恒
( 武汉交通科技大学)
摘 要 有限体积法是一种较新的流体力学数值计算方法 ,其对于数值求解船舶水动力学中常常遇到 的偏微分方程十分有效 。本文对有限体积法作了初步的研究与探讨 ,并采用此方法对圆柱绕流问题进行了实 例计算 。数值计算结果与解析作了比较 ,吻合良好 。 关键词 船舶 流体力学 有限体积法
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1998 年第 4 期
武 汉 造 船 No. 4. 1998 示)
方程 ( 11) 能够非常方便地采用逐次超松弛迭 代方法 ( SOR) 进行求解 ,它的解转变为以迭代值的 形式
n +1 j,k
给出
n +1 j,k
=
n j,k
+ λ(
3
j,k
3
-
n j , k)
( 12 ) +
j , k- 1
其中 λ为松弛因子 ,
j,k
j,k
由下式确定
j - 1 , k +1
3
=
0 . 25 ( PCD - PDA ) 0 . 25 ( PB C - PCD )
Q CD + 0 . 25 ( PB C - PDA )
元的结点作为离散点 。如果单元内的函数值能通 过这些离散点上未知函数值唯一地确定 ,则通过在 整个求解区域内使泛函的变分为零 ,便能引出一组 联立代数方程组 。求解此方程组 ,即可确定所有结 点上 的 函 数 值 。边 界 元 法 ( Boundary Element
Met hod) 只将计算区域的边界进行离散 , 然后从边
5 5x
j , k - 1/ 2
j +1 , k
0 . 25 ( PDA - PA B ) 0 . 25 ( PAB - PB C)
j- 1 , k- 1
+
j , k- 1
Q A B + 0 . 25 ( PDA - PB C )
j +1 , k - 1
+ ( 11)
= 0
=
Δy AB (
j , k- 1
l(
AB CD
∫ 5 5 dy + dx = 0 ∫ 5x 5y
AB CD
52 52 ) d xd y = 2 + 5x 5 y2
( 2)
5 5y
j , k - 1/ 2
=
-
Δx AB (
j , k- 1
rS
of j, k)
+ Δx k - 1 , k ( S AB
B
-
A)
( 7)
方程 ( 2) 是一种守恒形式的方程 。与有限差分 法总是将控制方程变为差分形式不同 ,有限体积法 通常是将控制方程表述为积分形式 。
= 1 . 0 , 来流速度 V = 1 . 0 , 松驰因子λ = 1 . 5 , 收敛
有限体积法的一个有趣的特点 ,那就是通过将 边界条件代入方程 ( 4 ) , 有限体积法能够象处理 Dirichlet 边界条件那样 ,十分方便地处理 Neumann 边界条件 。 5 3 用 FVM 求解无环圆柱绕流
A B CD 内运用子域法及 Green 公式 ,可以得到
4
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1998 年第 4 期
武 汉 造 船 No. 4. 1998
-
j , k)
+ Δy k - 1 , k (
B
-
A)
S AB
当网格点确定之后 ,式 ( 11) 中的 PA B 和 Q AB 等就可 ы х 以唯一地求出 , 可以称之为网格参数 。
5
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2 FVM 的控制方程
在采用势流进行船舶水动力计算时 ,通常需要 求解 Laplace 方程 ,二维 Laplace 方程为 52 52 = 0 2 + 5x 5 y2
( 1)
3 湖北省自然科学基金资助 ,批准号 :96J 001 收稿日期 :1998205215
运用有限体积求解时 ,首先需要将计算区域划 分为 有 限 个 单 元 。在 如 图 1 所 示 的 有 限 体 积
1 前言
在现代化船舶研究中 ,随着船舶性能的不断提 高 ,对船舶水动力的研究也提出了更高的要求 。除 了要对船舶的宏观量如力和力矩进行精确预测外 , 还需要对船舶周围的流场细节有精确的了解 。要 做到这些 , 除了可以进行实船或船模的试验研究 外 ,还可以采用 CFD 技术进行理论计算研究 。众 所周知 ,船舶试验研究费时费力 , 且其精度还往往 受到试验条件和环境的影响 。因此 ,经济快速的理 论计算研究越来越受到人们的重视 。 采用理论计算方法 ,准确地预报出船舶周围的 流场及船体水动力 , 能够用于指导船舶设计 , 这对 于提高效率 , 节省人力和物力 , 设计出高效 、 节能 、 降噪的优良船型 , 具有及其重要的意义 , 并能产生 巨大的经济效益 。因此 ,船舶流体力学的数值计算 方法研究十分必要 ,而且具有广阔的前景 。 当前 ,在船舶流体力学中 , 通常采用的数值计 算方法有 : 有限差分法 、 有限元法 、 边界元法和有限 体积法 。有限差分法 ( Finite Difference Met hod) 是 流体力学方程数值解法中应用最广泛的方法之一 , 它基于 Taylor 级数展开 , 在离散的网格点上把各 偏导数项转化为差商 ,从而将微分方程按照一定的 格式离散为差分方程 ,然后来求它的数值解 。影响 差分方程求解精度的关键因素是差分格式的选取 。 有限元法 ( Finite Element Met hod) 是将偏微分方程 的求解区域划分为有限个子域或单元 ,将有限个单
2 2 离散 Q DA = (Δ x DA + Δy DA ) / S DA ,
Δy CD 度的 Δy DA -
j , k +1/ 2
j - 1/ 2 , k
j - 1/ 2 , k
Δx DA = 0 ( 4)
其 中 5 / 5 x j , k - 1/ 2 等 项 可 以 由 图 2 中 面 积 B′ B C′ D′ A A′ B′ 上的平均值来计算 , 即
PB C ( Q DA (
-
+ Q CD (
A
-
+ ( 8)
方程 ( 2) 可近似地表示为 DA 5 5 ( Δy + Δx ) = 0 ( 3) 6 5 x 5y AB 上式可以写为 5 Δy 法-, 5 Δx + 能产 5 x j , k - 1/ 2 A B 5 y j , k - 1/ 2 A B 5 Δ yl 分法 y 5 x j +1/ 2 , k B C 5 5x 5 5x