2007年安徽专升本高数答案
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2
则当 x ∈ (0,1) 时， f ( x) < 0 ，而 f (0) = 0 ，所以 f ( x) < 0 ，
'
即
(1 + x) ln 2 (1 + x) < x 2 .
， 31. 【证明】 由 A = 0 （k 为正整数）
k
则 ( E − A)( E + A + A + L + A
2
k −1
) = E + A + A2 + L + Ak −1 − A − A2 − L − Ak
+∞
P {1 < x < +∞} = F (+∞) − F (1) = ∫
1
1 −x 1 e dx = e−1 ； 2 2
（3） E (ξ ) =
1 −x x ⋅ e dx = 0, −∞ 2 +∞ 1 −x D (ξ ) = ∫ ( x − o) 2 ⋅ e dx −∞ 2
∫
+∞
=
∫
+∞
0
x 2 ⋅ e − x dx
2 2 '
k切 = y ' = −
4x , 设（x,y）为曲线上任意一点，切线方程为 y Y−y=− 4x ( X − x) ； y
上式中令 Y=0， 得切线在 x 轴上的截距 X A = 中注意到 4 x + y = 4 ）.
2 2
1 4 ， 令 X=0， 得切线在 y 轴上的截距 YB = （其 x y
2n + 1 n →∞ 3( n + 1) 2 3
= 由比值审敛法可知， ρ =
2 ＜1，所以此无穷级数收敛. 3 1 x + x 2 sin − c ' x 26. 【精析】由题意可得， f + (0) = lim x → 0+ x 1 c = lim (1 + x sin − ) + x →0 x x
y ( n ) ' = (−1) n
(n − 1)! (1 − x) n
•
23. 【精析】
∫(
1 2x − x
2
+ x ln x)dx = ∫
=
1 2x − x2
1
dx + ∫ x ln xdx
dx + 1 l n xd ( x 2 ) ∫ 2
∫ ∫
1 − ( x − 1) 2 1
=
1 1 d ( x − 1) + ln x ⋅ x 2 − ∫ xdx 2 2 1 − ( x − 1)
=2 四、证明与应用题（共 25 分） 30. 【证明】令函数 f ( x) = (1 + x) ln (1 + x) − x ，
2 2
则
f ' ( x) = (1 + x) ⋅ 2 ln(1 + x) ⋅
2
1 + ln 2 (1 + x) − 2 x 1+ x
= 2 ln(1 + x) + ln (1 + x) − 2 x = [ln(1 + x) + 1] − 1 − 2 x
= lim
x →0
6 x3 1 − cos x 6x2 1 2 x 2
= lim
x →0
=12. 22. 【精析】由题意可得，
y' = −
1 1 , y '' = , 1− x (1 − x) 2
y ''' = M
一般地，可得
1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 , y (4) = , 3 (1 − x) (1 − x) 4
~
⎛1 −1 2 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 1 −5 1 ⎟ , ⎜ 0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
r2 − 2 r1
从而有
{
x1 − x2 + 2 x3 − x4 =1, x3 − 5 x4 =1.
{
则 即
令 x2
= c1 , x4 = c2 , 则原方程的全部解为
x1=C −9 C −1, 1 2 x2 =C1 , x3 =1+5 C2 , x4=C . 2
−1
1
10 +0 3 10 = . 3
25. 【精析】由题意可知，此无穷级数的通项公式为
an =
则
(2n − 1)!! , 3n ⋅ n !
lim
an +1 (2n + 1)!! 3n ⋅ n ! = lim n +1 ⋅ n →∞ a n →∞ 3 ⋅ (n + 1)! (2n − 1)!! n
= lim
故所求面积为
S=
1 π ⋅1 ⋅ 2 2 π X AYB − = − (0 < x < 1); xy 2 2 4
1 − 2x2 ' ，令 S ( x) = 0， 2 2 3/2 x (1 − x )
故 S ( x) = −
'
解得 x =
2 2 2 是 S（x）的 舍去) .由 S（x）的可导性及驻点唯一性可知， x = (x = − 2 2 2 2 π ) = 2− . 2 2
1 2Fra Baidu bibliotek
5 3
17. 2[ x + 1 − ln( x + 1 + 1)]
18. − 2
⎛ 9 −7 ⎜ 19. −10 8 ⎜ ⎜ −9 7 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
20.
3 5
三、计算题（共 65 分） 21.【精析】原式= lim
x →0
x 3 ·2 x 2 x3 = lim x( x − sin x) x →0 x − sin x
( C1 , C2为任意常数 )
−x
29. 【精析】 （1）由密度函数为 p(x)= Ae
,
∫
+∞ −∞
p ( x )dx = 1 ，
∫
+∞ −∞
Ae
− x
dx = 2 ∫
+∞ 0
A e − x d x = 1, 则 A =
1 ; 2
（2）由（1）可知 A=
1 1 −x ，则 p(x)= e ,有 2 2
2
= arcsin( x − 1) + 24. 【精析】
1 2 1 x ln x − x 2 + C. 2 4
∫
1
−1
( x + 1 + x 2 ) 2 dx = ∫ (2 x 2 + 1 + 2 x 1 + x 2 )dx
−1
1
= =
∫
1
−1
(2 x 2 + 1)dx + ∫ 2x 1 + x 2 )dx
最小值点，所以所求的最小面积为 S (
综上所述，所求切点为（
2 π ， 2） ，此面积为 2 − . 2 2
=1, 则 C=0.
f −' (0) = lim−
x →0
ax 2 + bx + c − c = lim (ax + b) = b x →0− x
因为
f +' (0) = f −' (0) = 1 = b
c=0, b=1, a 为任意常数. 27. 【精析】令 x = r cos θ , y = r sin θ , 则其积分区域为 1≤r≤2,0≤ θ ≤2 π , 故
2007 参考答案 一、单项选择题（每题 3 分，满分 30 分） 1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分） 11.
t 2
12.1 14. 16.
13.y=(x+2)ex 15.
∫
1
0
dy ∫
y y
f ( x, y )dx
2 2 2 2 ∫∫ e x + y dxdy = ∫ dθ ∫ e ⋅ rdr = ∫ e dθ = 2π e .
D
0 1 0 2π 2
r
2π
28. 【精析】由题意可知其增广矩阵
⎛ 1 −1 2 −1 1 ⎞ ⎛ 1 − 1 2 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ r3 − r1 − r2 ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 −2 5 −7 3 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 2 −2 5 −7 3 ⎟ ⎜ 3 −3 7 −8 4 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=E− A
k
因为
Ak = 0,
则
( E − A)( E + A + A2 + L + Ak −1 ) = E ,
所以 且
E − A 可逆，
( E − A) −1 = E + A + A2 + L + Ak −1.
32. 【 精 析 】 等 式 4 x + y = 4 两 边 同 时 对 x 求 导 ， 有 8 x + 2 y ⋅ y = 0 ， 得 斜 率
则当 x ∈ (0,1) 时， f ( x) < 0 ，而 f (0) = 0 ，所以 f ( x) < 0 ，
'
即
(1 + x) ln 2 (1 + x) < x 2 .
， 31. 【证明】 由 A = 0 （k 为正整数）
k
则 ( E − A)( E + A + A + L + A
2
k −1
) = E + A + A2 + L + Ak −1 − A − A2 − L − Ak
+∞
P {1 < x < +∞} = F (+∞) − F (1) = ∫
1
1 −x 1 e dx = e−1 ； 2 2
（3） E (ξ ) =
1 −x x ⋅ e dx = 0, −∞ 2 +∞ 1 −x D (ξ ) = ∫ ( x − o) 2 ⋅ e dx −∞ 2
∫
+∞
=
∫
+∞
0
x 2 ⋅ e − x dx
2 2 '
k切 = y ' = −
4x , 设（x,y）为曲线上任意一点，切线方程为 y Y−y=− 4x ( X − x) ； y
上式中令 Y=0， 得切线在 x 轴上的截距 X A = 中注意到 4 x + y = 4 ）.
2 2
1 4 ， 令 X=0， 得切线在 y 轴上的截距 YB = （其 x y
2n + 1 n →∞ 3( n + 1) 2 3
= 由比值审敛法可知， ρ =
2 ＜1，所以此无穷级数收敛. 3 1 x + x 2 sin − c ' x 26. 【精析】由题意可得， f + (0) = lim x → 0+ x 1 c = lim (1 + x sin − ) + x →0 x x
y ( n ) ' = (−1) n
(n − 1)! (1 − x) n
•
23. 【精析】
∫(
1 2x − x
2
+ x ln x)dx = ∫
=
1 2x − x2
1
dx + ∫ x ln xdx
dx + 1 l n xd ( x 2 ) ∫ 2
∫ ∫
1 − ( x − 1) 2 1
=
1 1 d ( x − 1) + ln x ⋅ x 2 − ∫ xdx 2 2 1 − ( x − 1)
=2 四、证明与应用题（共 25 分） 30. 【证明】令函数 f ( x) = (1 + x) ln (1 + x) − x ，
2 2
则
f ' ( x) = (1 + x) ⋅ 2 ln(1 + x) ⋅
2
1 + ln 2 (1 + x) − 2 x 1+ x
= 2 ln(1 + x) + ln (1 + x) − 2 x = [ln(1 + x) + 1] − 1 − 2 x
= lim
x →0
6 x3 1 − cos x 6x2 1 2 x 2
= lim
x →0
=12. 22. 【精析】由题意可得，
y' = −
1 1 , y '' = , 1− x (1 − x) 2
y ''' = M
一般地，可得
1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 , y (4) = , 3 (1 − x) (1 − x) 4
~
⎛1 −1 2 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 1 −5 1 ⎟ , ⎜ 0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
r2 − 2 r1
从而有
{
x1 − x2 + 2 x3 − x4 =1, x3 − 5 x4 =1.
{
则 即
令 x2
= c1 , x4 = c2 , 则原方程的全部解为
x1=C −9 C −1, 1 2 x2 =C1 , x3 =1+5 C2 , x4=C . 2
−1
1
10 +0 3 10 = . 3
25. 【精析】由题意可知，此无穷级数的通项公式为
an =
则
(2n − 1)!! , 3n ⋅ n !
lim
an +1 (2n + 1)!! 3n ⋅ n ! = lim n +1 ⋅ n →∞ a n →∞ 3 ⋅ (n + 1)! (2n − 1)!! n
= lim
故所求面积为
S=
1 π ⋅1 ⋅ 2 2 π X AYB − = − (0 < x < 1); xy 2 2 4
1 − 2x2 ' ，令 S ( x) = 0， 2 2 3/2 x (1 − x )
故 S ( x) = −
'
解得 x =
2 2 2 是 S（x）的 舍去) .由 S（x）的可导性及驻点唯一性可知， x = (x = − 2 2 2 2 π ) = 2− . 2 2
1 2Fra Baidu bibliotek
5 3
17. 2[ x + 1 − ln( x + 1 + 1)]
18. − 2
⎛ 9 −7 ⎜ 19. −10 8 ⎜ ⎜ −9 7 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
20.
3 5
三、计算题（共 65 分） 21.【精析】原式= lim
x →0
x 3 ·2 x 2 x3 = lim x( x − sin x) x →0 x − sin x
( C1 , C2为任意常数 )
−x
29. 【精析】 （1）由密度函数为 p(x)= Ae
,
∫
+∞ −∞
p ( x )dx = 1 ，
∫
+∞ −∞
Ae
− x
dx = 2 ∫
+∞ 0
A e − x d x = 1, 则 A =
1 ; 2
（2）由（1）可知 A=
1 1 −x ，则 p(x)= e ,有 2 2
2
= arcsin( x − 1) + 24. 【精析】
1 2 1 x ln x − x 2 + C. 2 4
∫
1
−1
( x + 1 + x 2 ) 2 dx = ∫ (2 x 2 + 1 + 2 x 1 + x 2 )dx
−1
1
= =
∫
1
−1
(2 x 2 + 1)dx + ∫ 2x 1 + x 2 )dx
最小值点，所以所求的最小面积为 S (
综上所述，所求切点为（
2 π ， 2） ，此面积为 2 − . 2 2
=1, 则 C=0.
f −' (0) = lim−
x →0
ax 2 + bx + c − c = lim (ax + b) = b x →0− x
因为
f +' (0) = f −' (0) = 1 = b
c=0, b=1, a 为任意常数. 27. 【精析】令 x = r cos θ , y = r sin θ , 则其积分区域为 1≤r≤2,0≤ θ ≤2 π , 故
2007 参考答案 一、单项选择题（每题 3 分，满分 30 分） 1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分） 11.
t 2
12.1 14. 16.
13.y=(x+2)ex 15.
∫
1
0
dy ∫
y y
f ( x, y )dx
2 2 2 2 ∫∫ e x + y dxdy = ∫ dθ ∫ e ⋅ rdr = ∫ e dθ = 2π e .
D
0 1 0 2π 2
r
2π
28. 【精析】由题意可知其增广矩阵
⎛ 1 −1 2 −1 1 ⎞ ⎛ 1 − 1 2 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ r3 − r1 − r2 ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 −2 5 −7 3 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 2 −2 5 −7 3 ⎟ ⎜ 3 −3 7 −8 4 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=E− A
k
因为
Ak = 0,
则
( E − A)( E + A + A2 + L + Ak −1 ) = E ,
所以 且
E − A 可逆，
( E − A) −1 = E + A + A2 + L + Ak −1.
32. 【 精 析 】 等 式 4 x + y = 4 两 边 同 时 对 x 求 导 ， 有 8 x + 2 y ⋅ y = 0 ， 得 斜 率