定积分的元素法,平面图形的面积ppt课件

Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
5
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量 Ui的近似值可表为 f i xi 那么这个量就
x 1( y) x 2( y)
y dy
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
在 [0,1]上任取小区间 x, x dx ， o x x dx 1 x
a
A 4A1 4 0 ydx
A1
o x x dx x
利用椭圆的参数方程
x y
a cos t b sin t
应用定积分换元法，令 x a cost, 则：
y bsint, dx a sintdt , x 0t ; x a, t 0.
2
A
4
0
bsint(a sint)dt
可以用积分来表示。 具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
U dU f xdx
（3）写出 U 的积分表达式，即：
b
U a f ( x)dx
6
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标情形
A
b
a
(
x)
(
x)dx
y
oa
( x)
(x)
x x dx b x
二、极坐标情形
右脑思维的核心是形象思维， 在大脑中多出现形象的东西，在 各项思维活动中，多借助形象， 就训练了右脑。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
8
0
2
x
1
x
dx
y穿出 y穿入
y
dA
o (2,2)
(8,4)
不好！
x
11
补充例题：求曲线 y =ln x, x =2及 x 轴，
所
围成的平面图形的面积y。
解：按照X型，Y型计算都可以。
y=lnx x=2
按X型：
有关的曲线写成y ( x)型
O
1
2x
A
2
1
ln
x
0dx
x
ln
x
2 1
2
1
xd
ln
x
2ln 2
f ( i )xi
b
f ( x)dx;
a
x i1 x i
bx
3
在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质： （1）A是一个与变量x的区间[a,b]有关的量； （2）A对于区间[a,b]具有可加性，即整个曲边梯形的面积
等于所有小曲边梯形面积的和。
（3）以 f ( i )xi 近似代替部分量 Ai 时，它们只相差一比 n x i高阶的无穷小， 因此和式 f ( i )xi 的极限就是A的 i 1
1.
y
按Y型：
ln 2
有关的曲线写成x ( y)型
O
A
ln 2 2 e y dy
0
2y ey
ln 2 0
2 ln 2 1.
y=lnx
1
x=2 2x
12
例3
求椭圆x 2 y2 1 所围成的图形的面积。
a2 b2 解：设椭圆在第一象限部分的面积为 A1
y
dA1 ydx
则椭圆的面积为
L1
Baidu Nhomakorabea
X型：
oa
b
b
b
a y出 y入 dx a y出dx a y入 dx
x x dx b x
2
2
2
t 2
t
dt
1 1
1
t 1 t dt
y
d
Y型：
y+dy
精确值，即：
b
A a f ( x)dx;
4
求A的积分表达式的步骤可简化如下：
（1）确定积分变量x及积分区间[a，b]；
（2）在 [a,b]上任取小区间 x, x dxy
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
4y
y3 4
6
2
18
注：若将所求图形的面积看成两个曲边梯形的面积之差：则
A
4 2
y 4 dy
4 2
1 2
y2d y
y2 2
4 y3 4
4y 2
6
2
18
10
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x 1 xdx
A
4ab
0
s
in2
tdt
2
2
4ab 2 sin2 tdt ab 0
当a b时，椭圆变为圆，A a2。
13
问题:当曲线是以参数形式给出时，该如何计算平面图形的面积？
若 曲 线 以 参 数 方 程 的 形式 给 出 ：
y
L2
L1
:
x y
1 t 1 t
L2
:
x
y
2 t 2 t
面积A须经过以下四个步骤：
（1）分割: 把 a,b 分成n个小区间， 设第i个小曲边梯形的
面积为 Ai , 则：
n
A Ai i 1
（2）近似替代：
y
y f (x)
Ai f ( i )xi ( xi1 i xi );
n
（3）求和： A f ( i )xi
oa
i 1
n
（4）取极限：A lim 0 i 1
A
1 2
(
)2
d
d
d
o
r ( )
x
7
一、直角坐标情形
y
X型 在 a,b 上任取小区间x, x dx,
y 2x
则 dA 2 x 1 xdx
y 1x
A
b
a
2
x
1
x
dx
o a x x dx b x
y穿出 y穿入
X型
y
Y型 在 c, d 上任取小区间 y, y dy, d
则
dA 2 y 1 ydy
面积元素为 dA ( x x 2 )dx.
故所求面积为 A 1 0
x
x2
dx
2
3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
注：所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即
A 1 xdx 1 x 2dx 1 .
0
0
3
9
例２ 计算抛物线 y2 2x与直线 y x 4 所围成的
图形的面积。
y
解（1） 解方程组
y2
2x
y dy
y x 4
y
得交点(2,2), 8,4 ，
以y为积分变量，积分区间为[-2,4]， o
x 1 y2 2
(8,4)
x y4
x
(2,2)
在[-2,4]上任取小区间[y,y+dy],面积元素为
dA
y
4
1 2
y2
dy
所求面积为：A
4
2
y
4
1 2
y
2
dy
y2 2