系统传递函数

由式（2-1）、式（2-2）和式（2-3）中消去中间变 量、及便可得到以为输出量，以为输入量的直流电动机微 分方程为： d 2 m (t ) d m (t )
La J m dt
2
在工程应用中，由于电枢电路电感较小，通常忽略不计， 因而式（2-4）可简化为: d m (t )
Tm dt m (t ) K1u a (t ) K 2 M c (t )
dt dM c (t ) C m u a (t ) La Ra M c (t ) dt
( La f m Ra J m )
( Ra f m C m Ce ) m (t )
式中 Tm Ra J m (Ra f m CmCe )是电动机机电时间常（s），
K1 Cm ( Ra f m CmCe )
重 点 与 难 点
重 点
1.传递函数的定义和性质 2.典型环节的传递函数 3.控制系统的结构图及化简 4.自动控制系统的传递函数
难
点
•如何由实际的物理系统建立系统的数学模型 •系统结构图的等效变换
§2.1控制系统时域数学模型
2.1.1 线性系统的微分方程
列写方法： （1）确定元件的输入、输出变量。 （2）从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原 始方程式。 （3）消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分 方程。 （4）标准化——将与输入有关的各项放在等号的右边, 与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。
5、测速机：
最后合并上述方程有：
d 2 d Ta Tm 2 Tm dt dt du g dM c d K u K 3 K 2 K 1 ( u g ) K u K 3 K 2 K 1 K f ( ) K m (Ta Mc ) dt dt dt
令K K u K 3 K 2 K1，K 0 K u K 3 K 2 K1 K f K K f ， 则有
du g Ta Tm d 2 Tm K 0 d K ( ug ) 2 1 K 0 dt 1 K 0 dt 1 K0 dt
M c为变化量，系统为恒值调速系统： ②当 u g 为常值，
Ta Tm d 2 Tm K 0 d Km dM c (Ta Mc ) 2 1 K 0 dt 1 K 0 dt 1 K0 dt
当两方程的系统相同时，从动态性能的角度看，两系统是 相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研 究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进 行普遍意义的分析研究。
2.1.2 非线性特性的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述 系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统 为线性定 常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总 输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。 若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统 称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域 对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强 非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线 性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取 前面的线性项。可以得到等效的线性环节。
u1 du1 u2 R4 du1 du1 C u ( R C u ) K ( u1 ) 2 3 1 2 2、运放Ⅱ：R3 dt R4 R3 dt dt
ug
uf
3、功放： ua K 3 u2 4、电机：
dM c d 2 d TaTm T K U K ( T Mc) m u a m a 2 dt dt dt uf K f
例2-1试列写图2-1所示电枢控制直流电动机的微分 方程，要求取电枢电压（V）为输入量，电动机 转速为输出量。图中、分别是电枢电路的电阻和 电感，是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁 磁通为常值。
La ia Ra
if
ua
Ea
SM
m
负 载
J m , fm
图2-1
电枢控制直流电动机原理图
解： 1. 电枢回路电压平衡方程：
设具有连续变化的非线性函数 为:y=f（x)，若取某一平衡状态为 工作点，如右图中的 A( x0, y0 ) 。A点 附近有点为 B( x x, y y) ，当 x 很小时，AB段可近似看做线性的。
dia (t ) u a (t ) La Ra ia (t ) E dt
（2-1）
2．电磁转矩方程：
M m (t ) Cmia (t )
（2-2）
3．电动机轴上的转矩平衡方程：
d m (t ) Jm f m m (t ) M m (t ) M c (t ) dt
（2-3）
, K 2 Ra
( Ra f m CmCe )
是电动机传递系数。
例2.2 速度控制系统
+ ug
R2 R1 R1
_
wk.baidu.com
R4 R3 u
1
_
R3
u2
功率 放大
+
C
ua
_
M

负载
_
uf
TG
+
u1 R2 u1 (u g u f ) K1 (u g u f ) 1、运放Ⅰ： R1 R1 R2 R1
第二章 控制系统的数学模型
§2.1控制系统时域数学模型
§2.2拉普拉斯变换和传递函数
§2.3控制系统的结构图与信号流图
§2.4 MATLAB在系统建模中的应用
主要内容
控制系统的微分方程-建立和求解
控制系统的传递函数
控制系统的结构图-等效变换
控制系统的信号流图-梅逊公式
脉冲响应函数
各种数学模型的相互转换
du g Ta Tm d 2 Tm K 0 d Km dM c K ( u ) ( T Mc ) g a 2 1 K0 dt 1 K0 dt 1 K 0 dt 1 K 0 dt
可见： 既与
u g 有关又与 M c有关。
①当 u g为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度 随动系统， M一般不变： c