山东省高考数学 真题分类汇编 概率与统计

概率与统计
（一）选择题 1、（07山东理）（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩
全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：
第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于
等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且
小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）
A ．0.9，35
B ．0.9，45
C ．0.1，35
D ．0.1，45 答案：A 2、（07山东理）（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2，质点P 移动五次后位`于点
(23)，的概率是（ ）
A ．2
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．3
23
1C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2
23
1C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3
122
3
1C C 2⎛⎫
⎪⎝⎭
答案：B
3、（07山东文）12．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件
(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．2和5
D ．3和4
答案：D
4.（08山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）
51
1
（B ）
68
1
（C ）3061
（D ）
408
1
答案：B
5.（08山东卷8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户
家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百秒
频率/组距 0.36
0.34
0.18 0.06 0.04
0.02
2 9 1 1 5 8
3 0 2 6
3 1 0 2
4 7
户家庭人口数的平均数为
（A ）304.6 （B ）303.6 (C)302.6 (D)301.6 答案：B
6.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且 小于104克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45
【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n , 则
300.036
=n
,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于 104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 120×0.75=90.故选A. 答案:A
【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.
7.(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2
x
π的值介于0到
2
1
之间的概率为( ). A.
31 B.π2 C.21 D.3
2
【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2
x
π的值介于0到
2
1
之间,需使2
2
3
x
π
ππ
-
≤
≤-
或
3
2
2
x
π
ππ
≤
≤
∴213x -≤≤-
或2
13
x ≤≤，区间长度为32，由
几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为3
1
232
=.故选A.
答案:A
【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函
96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050
克
频率/组距
第8题图
数值cos
2
x
π的范围,再由长度型几何概型求得.
8.(2009山东卷文)在区间[,]22
ππ
-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21
之间的概率为
( ). A.
31 B.π2 C.21 D.3
2
【解析】:
在区间[,]22ππ-
上随机取一个数x,即[,]22
x ππ
∈-时,要使cos x 的值介于0到
21之间,需使23x ππ-≤≤-或32
x ππ
≤≤，区间长度为3π，由几何概型知cos x 的值介于0到21之间的概率为3
1
3=ππ.故选A. 答案:A
【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值cos x 的范围,再由长度型几何概型求得.
9、（2010山东文数）(6)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （A ）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8 答案：B 10、（2010山东理数）
11、（2010山东理数）
12、（2010山东理数7文数8）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表
广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销
售额为
A ．63．6万元
B ．65．5万元
C ．67．7万元
D ．72．0万元 答案：B
13、 (2012山东卷文(4))在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是
(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差
答案：D
14、(2013山东理)10．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （A ）243 （B ） 252 （C ） 261 （D ）279 答案：10．B
15、（2013山东理）14．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为______. 答案：14．
1
3
（二）填空题
1、(2011山东文13)．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，
为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽 取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ． 答案：16
2、(2012山东卷文(14))右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，
则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.9
（三）解答题 1、（07山东理）（18）（本小题满分12分）
设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程2
0x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程2
0x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2
0x bx c ++=有实根的概率． 【标准答案】:（I ）基本事件总数为6636⨯=，
若使方程有实根，则2
40b c ∆=-≥，即b c ≥
当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =； 当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =； 当5c =时，5,6b =； 当6c =时，5,6b =,
目标事件个数为54332219,+++++= 因此方程2
0x bx c ++= 有实根的概率为19.36
(II)由题意知，0,1,2ξ=，则
17(0)36P ξ==
，21(1),3618P ξ==
=17
(2)36
P ξ==， 故ξ的分布列为
ξ
0 1 2
P
17
36 118 1736
ξ的数学期望17117
012 1.361836
E ξ=⨯
+⨯+⨯= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程2
0ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则11()36P M =
，7()36
P MN =， ()7
()()11
P MN P N M P M =
=.
2.（08山东卷18）（本小题满分12分）
甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，
答错得零分。

假设甲队中每人答对的概率均为
3
2
，乙队中3人答对的概率分别为2
1
,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. （Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；
(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ).
(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且
ε 0
1
2
3
P
271
92 94 27
8 ε的数学期望为
E ε=.227
839429212710=⨯+⨯+⨯+⨯ 解法二：根据题设可知)3
2
,3(B ～ε
因此ε的分布列为
2
3
2
3),32,3(.
3,2,1,0,32)321()32()(3323=⨯==⨯=-⨯⨯==-εεεE B k C C k P k k
k k k
所以～因为
（Ⅱ）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”
这一事件，所以AB =C ∪D ,且C 、D 互斥，又
.
27
8)32()3(,94)321()32()2(,
92
)321(32)1(,271)321()0(333
3232231330
=⨯===-⨯⨯===-⨯⨯===-⨯==C P C P C P C P εεεε
,
3
4
)213131()32()(,
3
10
213132213231213132)321()3
2
()(52324232=⨯⨯⨯⨯==⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=C D P C C P 由互斥事件的概率公式得
24334
3343543
10)()()(54
==+=
+=D P C P AB P .
解法二：用A k 表示“甲队得k 分”这一事件，用B k 表示“已队得k 分”这一事件，k =0,1,2,3
由于事件A 3B 0,A 2B 1为互斥事件，故事
P (AB )=P (A 3B 0∪A 2B 1)=P (A 3B 0)+P (A 2B 1).
=.243
34)32213121(32)2131()32(221232
3223=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯C C 3.(2009山东卷理)(本小题满分12分)
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 ξ 0
2 3 4 5
p
0.03 P 1 P 2 P 3 P 4
（1） 求q 2的值；
（2） 求随机变量ξ的数学期望E ξ;
（3） 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的
概率的大小。

解:（1）设该同学在A 处投中为事件A,在B 处投中为事件B,则事件A,B 相互独立,且P(A)=0.25,()0.75P A =, P(B)= q 2,2()1P B q =-.
根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以
210.2q -=，q 2=0.8.
（2）当ξ=2时, P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+
)
()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75 q
2
( 2
1q -)×2=1.5
q 2( 21q -)=0.24
当ξ=3时, P 2 =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.01, 当ξ=4时, P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48, 当ξ=5时, P 4=()()()P ABB AB P ABB P AB +=+
222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=0.24
所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0
2 3 4 5
p 0.03 0.24 0.01 0.48
0.24
随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++
()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=;
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.
【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.
4.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A 轿车B 轿车C 舒适型
100
150
z
标准型 300 450 600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆. （1） 求z 的值.
（2） 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,
从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6,
9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010
100300
n =
+,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以
40010005
m
=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710
. (3)样本的平均数为1
(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98
x =
+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
75.08
6
=. 【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.
5、（2010山东文数）（19）（本小题满分12分）
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.
6、（2010山东理数）
P(=4)=
ξ312+423⨯⨯112423⨯⨯311423⨯⨯=11
24
， 所以ξ的分布列为
ξ
2 3 4
()P ξ
18
10
24 1124
数学期望E ξ=28⨯+324⨯+4⨯24=3。

【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。

7、（2011山东理数18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ. 答案：解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，
乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，
则,,D E F u r u r u r
分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件。

因为()0.6,()0.5,()0.5,P D P E P F === 由对立事件的概率公式知
()0.4,()0.5,()0.5,P D P E P F ===u r u r u r
红队至少两人获胜的事件有：
,,,.DEF DEF DEF DEF u r u r u r
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为
()()()()
0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.
P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=u r u r u r
（I I ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3。

又由（I ）知,,DEF DEF DEF u r u r u r u r u r
是两两互斥事件，
且各盘比赛的结果相互独立，
因此
(0)()0.40.50.50.1,P P DEF ξ===⨯⨯=u r u r u r
(1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++u r u r u r u r u r u r
0.40.50.50.40.50.50.60.50.5
0.35
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
(3)()0.60.50.50.15.P P DEF ξ===⨯⨯=
由对立事件的概率公式得
(2)1(0)(1)(3)0.4,P P P P ξξξξ==-=-=--=
所以ξ的分布列为：
ξ
0 1 2 3 P
0．1
0．35
0．4
0．15
因此00.110.3520.430.15 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 8、（2011山东文数18）
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2
名教师性别相同的概率；
（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来
自同一学校的概率．
答案：解：（I ）甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；
乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为： （A ，D ）（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ）共9种。

从中选出两名教师性别相同的结果有：（A ，D ），（B ，D ），（C ，E ），（C ，F ）共4种，
选出的两名教师性别相同的概率为4
.9
P =
（II ）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ）， （C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）共15种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： （A ，B ），（A ，C ），（B ，C ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）共6种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为62
.155
P =
= 9、(2012山东卷文(18)) (本小题满分12分)
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色
不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310
P =
. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815
P =
. 10、（2013山东理）19．（本小题满分12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是1
2
外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是
2
3
，假设各局比赛结果相互独立. （Ⅰ）分别求甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，
则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望。

答案：19．解：（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件1A ，“甲队以3：1胜利”为事件2A ，“甲队以3：2胜利”为事件3A ，由题意，各局比赛结果相互独立， 故3
128
()()3
27P A ==
， 22232228
()()(1)33327P A C =-⨯=，
122342214
()()(1)33227
P A C =-⨯=
所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是
827，827，427
； （Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件4A ，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
122442214
()(1)()(1)33227
P A C =-⨯-=
由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得
1212(0)()()()P X P A A P A P A ==+=+16
27
=,
34
(1)()27P X P A ===,
44
(2)()27
P X P A ===,
(3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)P X -=3
27
=
故X 的分布列为
X
0 1 2 3
P16
274
27
4
27
3
27
所以
16443
0123
27272727 EX=⨯+⨯+⨯+⨯
7
9
=
11、（2013山东数学文）(17)(本小题满分12分)
某小组共有A B C D E
、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率
答案：。