静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
结构多目标拓扑优化目标函数构建方法的研究
结构多目标拓扑优化目标函数构建方法的研究张璟鑫㊀梁㊀伟㊀夏㊀洋重庆交通大学,重庆,４０００７４摘要:为实现结构材料的多目标拓扑优化设计,基于数学规划法提出一种广义的平均距离法,用以研究多目标拓扑优化目标函数的构建方法.介绍了运用平均距离法演变的将多目标转化为单目标的多种方法,并以汽车悬架控制臂为实例,应用演变的多种方法进行拓扑优化仿真研究.研究表明:运用平均距离法演变的多种方法可以灵活地构建多目标优化目标函数,基于所构建的目标函数可以寻找较优的构建方法,更好地将平均距离理念应用于多目标结构优化设计.关键词:平均距离法;目标函数;多目标;拓扑优化中图分类号:T H １１４㊀㊀㊀㊀㊀㊀D O I :１０．３９６９/j．i s s n ．１００４ １３２X．２０１６．０７．００９R e s e a r c ho nC o n s t r u c t i o n M e t h o do fO b je c t i v eF u n c t i o nf o r M u l t i Ｇo b j e c t i v eT o po l o g y O p t i m i z a t i o n i nS t r u c t u r e s Z h a n g J i n g x i n ㊀L i a n g W e i ㊀X i aY a n gC h o n g q i n g J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g,４０００７４A b s t r a c t :F o rm u l t i Ｇo b j e c t i v e t o p o l o g y o p t i m i z a t i o no f s t r u c t u r a lm a t e r i a l s ,t h i s p a pe r p r e s e n t e da g e n e r a l i z e d a v e r a g e d i s t a n c em e t h o d t o s t u d y t h eo b j e c t i v ef u n c t i o nc o n s t r u c t i o n m e t h o do fm u l t i Ｇo b Ｇj e c t i v e t o p o l og y o p t i m i z a t i o nb a s e d o nm a th e m a ti c a l p r o g r a mm i n g ．S e v e r a lm e t h o d s u s i n g t h e a v e r a ge d i s t a n c eof t h e e v o l u t i o nw e r e i n t r o d u c e d t oc h a ng em u l t i o b j e c t i v e s i n t os i n g l eo b je c t i v e ,a n d t h e t o Ｇp o l o g y o p t i m i z a t i o nof a a u t o m o b i l e s u s p e n s i o nc o n t r o l a r m w a s t a k e na s a ne x a m p l eb y av a r i e t y of m e t h o d s t h a tw e r ee v o l u t e d i nt h es i m u l a t i o nr e s e a r c h ．T h er e s u l t ss h o wt h a t :av a r i e t y ofm e t h o d s u s i n g t h e a v e r a g e d i s t a n c em e t h o dc a n f l e x i b l y c o n s t r u c t t h eo b j e c t i v e f u n c t i o no f t h em u l t i Ｇo b je c t i v e o p t i m i z a t i o n ,a n df i n d aw a y t om a k eb e t t e r t h e c o n s t r u c t i o no b j e c t i v e f u n c t i o n ．T h e a v e r ag ed i s t a n c e c o n c e ptm a y b e a p p l i e d t o t h e d e s i g no f s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n f o rm u l t i Ｇo b j e c t i v e t o p o l o g y ．K e y wo r d s :a v e r a g e d i s t a n c em e t h o d ;o b j e c t i v e f u n c t i o n ;m u l t i Ｇo b j e c t i v e ;t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n 收稿日期:２０１５０５２００㊀引言结构拓扑优化设计是优化设计领域最富有生命力㊁最具有发展前景的一个研究方向[１Ｇ２].人们需要在结构优化设计领域中,寻找优化设计的最优方案或较优方案来解决单目标优化设计问题.然而在实际工程设计问题中,设计方案存在多项设计指标,期望其各指标达到最优,而这些指标往往难以协调,需要权衡多个目标来解决多目标问题,因此研究寻求合理解决多目标的拓扑优化优化问题的方法具有更重要的意义.结构拓扑优化中以多工况静态柔度最小化及多阶动态频率最大化为目标函数构造问题是典型的多目标优化问题[３].人们多引入数学规划来对多个目标进行综合权衡进而将多目标转化为单个目标来构造目标函数,最终建立优化数学模型.孙晓辉等[４]引入数学规划法相关理论建立了５种不同的目标函数,并得到既能提高动态振动固有频率又能提高结构刚度的拓扑构型.范文杰等[５]建立以折衷规划法定义柔度并结合平均频率特征值公式构建的多目标优化目标函数,并将函数应用于汽车车架结构的设计中,既提高了动态振动频率,又提高了结构刚度.占金青等[３]分别定义静态多工况刚度和动态特征值为两个分目标的目标函数,并以综合柔度最小化和平均频率特征值最大化为目标对算例进行多目标优化,验证其提出该数学模型的可行性.刘林华等[６]将折衷规划法与理想点法结合起来,分别以综合柔度㊁频率特征值最优化构造了目标函数,并以某越野车车架为例验证了多目标拓扑优化目标函数构建方法的正确性.显然,如何建立合理的目标函数是实现结构多目标优化的关键.本文将平均距离理论引入结构多目标优化,归纳了将多种多目标转化为单目标的方法,并运用于拓扑优化来构建目标函数,对车架控制臂进行拓扑优化;针对拓扑优化结果,验证该优化方法的可行性,为多目标结构优化设计提供了新的设计思路.９９８ 结构多目标拓扑优化目标函数构建方法的研究张璟鑫㊀梁㊀伟㊀夏㊀洋１㊀广义平均距离公式M a 等[７]在１９９５年提出的平均特征值公式很好地解决结构固有频率振荡问题,根据其平均特征值理念,提出广义平均距离公式概念:y ＝y ０＋αðmi ＝１w i (x n i －x ０i)p []１/p㊀p ＝ʃ１,ʃ２,其中,x n i (i ＝１,２, ,m )是各个单目标数值,n i (i ＝１,２, ,m )为指定的单目标,w i (i ＝１,２, ,M )为加权系数(各目标对目标函数的贡献度),x ０i (i ＝１,２, ,m )为给定的参数,p 为给定的权力值,y ０和α为任意常数(仅用于一些目标函数的物理意义和目标函数尺寸的调整).所构建目标函数的意义在于,将多个单一目标x ni 与给定参数x ０i的距离之和转化为平均值y 来定义评价函数,用来表征各目标加权距离的平均值,可以用取得平均值最大或最小的方法来实现各目标离指定点加权距离的最大化或最小化.当p ＝１,２,时,以目标函数最小化为例展开研究:(１)当y ０＝０㊁α＝１㊁p ＝２㊁w i ＝１时,目标函数的意义为所有单一目标函数的相对距离之和,表达式变为y ＝ðmi ＝１(x n i －x ０i)２[]１/２.使其最小化就意味着单目标的值x n i尽可能接近指定值x ０i,也就是最短距离法;反之使y 最大化就是使单目标值尽可能远离指定值x ０i .(２)当y ０＝０㊁α＝１㊁x ０i ＝０㊁p ＝１时,目标函数的意义是每个单一目标函数值与０的加权距离之和,表达式变为y ＝ðmi ＝１w i x n i.使其最小化是使单目标值尽可能趋于０,也就是采用线性加权法;反之,使其最大化就是使单目标值尽可能趋于无穷大.(３)当y ０＝０㊁α＝１㊁x ０i ʂ０㊁wi ＝w p j 时,采用折中规划法,目标函数变为y ＝ðmi ＝１wjp(x n i －x ０i)p[]１/p.①当y ０＝０㊁α＝１㊁x ０i ʂ０㊁p ＝１时,目标函数的意义为所有单一目标的相对加权距离之和,即M a n h a t t a n 距离,目标函数为y ＝ðmi ＝１w i |x ni －x ０i |.使其最小化就是使得单一目标值x n i 趋近各自的x ０i ,反之,则远离.②当y ０＝０㊁α＝１㊁x ０i ʂ０㊁p ＝２时,目标函数的意义在于加权几何距离,即E u c l i d e a n 距离,目标函数为y ＝ðmi ＝１w ２j (x n i －x ０i)２[]１/２.使其最小化,就是使得单一目标值x ni 更快地趋近各自的期望值x ０i;反之,则远离.当p ＝－１,－２,时,以实现目标函数最大化为例展开研究:(１)当p ＝－１㊁x n i ＝λn i ㊁y ０＝x ０i ＝λ０㊁α＝１/α０时,此公式变为平均频率特征值公式,即y ＝λ０＋α０ðmi ＝１w i /(λn i －λ０)[]－１,其中λ为频率特征值.使其最大化就是让各目标特征值λn i尽量趋近给定特征值λ０;反之则远离.(２)当p ＝－２时,目标函数为y ＝αðmi ＝１w i/(x n i－x ０i)２[]－１/２.使其最大化就是让各目标值x n i 更快地趋近于x ０i;反之,则远离.２㊀平均距离公式在结构多目标拓扑优化中的应用㊀㊀在目前的结构多目标拓扑优化问题中,多工况柔度与多阶动态频率都属于多目标问题,因此两个多目标问题都应用平均距离公式来解决.２．１㊀静态多工况刚度拓扑优化数学模型不同工况对应的最优拓扑结构不同,各工况对应的多刚度难以同时达到最优,因此,结合平均距离公式,以多工况下刚度最大化问题转化为柔度最小化的结构优化数学模型如下:C (ρ)＝C ０＋αðmi ＝１w i (C i (ρ)－C i ０)p []１/pC ＝U T K Us ．t ．㊀ρ＝(ρ１,ρ２, ,ρn )TVV ０ɤΔF ＝K U０＜ρm i nɤρk ＜１,k ＝１,２, ,L 式中,C (ρ)为结构平均柔度值;m 为工况总数;w i 为第i 个工况柔度距离p 次方的权重系数;ρ１,ρ２, ,ρn 为拓扑优化设计变量,即通过变密度法得到的结构材料密度;L为单元总数;C 为结构的柔度,F 为受力;K 为结构的刚度矩阵;U 为位移向量;V ０为设计区域原体积;V 为优化后的体积;Δ为体积分数.为了使各目标值越来越小,本文用两种方法表示:一种方法是使该目标函数最小,即m i n C (ρ),当p ＝１,２, 时C ０i 取C m i ni ,即单工况得到的柔度最小值,使其越接近最小值;另一种方法是使目标函数最大,即m a x C (ρ),当p ＝－１,－２,时,C ０i 取C m i ni ,即单工况柔度最小,使其尽量靠近最小值.因此产生两类平均柔度数学模型.令C ０＝０㊁α＝１,以p ＝２㊁p ＝－１为例,将目００９ 中国机械工程第２７卷第７期２０１６年４月上半月标函数变换为m i n C (ρ)＝ðmi ＝１w i(C i(ρ)－C m i n i)２[]１/２m a x C (ρ)＝ðmi ＝１w iCi (ρ)－C m i n i ()－１２．２㊀动态频率拓扑优化数学模型若简单地让其中某一阶频率达到最大,会使其他阶频率值降到比较低的值,从而导致几阶频率次序相互调换,这样会使目标函数发生频率振荡现象[７],因此为避免此现象并实现动态振动固有频率的最大化,结合平均距离公式得到f (ρ)＝f ０＋αðlj ＝１w j (f j (ρ)－f ０j )p[]１/ps ．t ．㊀ρ＝(ρ１,ρ２, ,ρn )TVV ０ɤΔa j τj ȡf j ㊀㊀j ＝１,２, (K －τj M )ϕj ＝００＜ρm i n ɤρk ＜１㊀㊀k ＝１,２, ,L 式中,f (ρ)为结构的平均固有频率值;l 为固有频率总阶数;f j 为结构的固有频率;M 为系统的质量矩阵;ϕj 为结构第j 阶的正交特征向量;τj 为结构第j 阶的频率特征值;a ＝０．９５.为了使各阶频率达到最大,本文采用两种表示方法:一种方法是使目标函数最小,即m i n f (ρ),采用p ＝１,２, 时的模型,f ０j 取f m a xj ,目的是使各阶频率更接近每阶频率最大值;另一种方法是使目标函数最大化,即m a x f (ρ),采用p ＝－１,－２, 时的模型,可将单目标频率与最大目标值f m a x j 的距离最小化转化为与f m i nj 的距离最大化,此时fm i n０可选最小值０.因此产生两类平均频率数学模型,本文以p ＝２㊁p ＝－１为例,令f ０＝０,α＝１,得m i n f (ρ)＝ðlj ＝１w i(f j(ρ)－f m a x j)２[]１/２m a x f (ρ)＝ðlj ＝１w jfj (ρ)－f m i nj ()－１２．３㊀多目标拓扑优化的综合模型由于柔度和频率的相互制约,而结构多目标优化的最终目的是实现各工况柔度最小化和各阶频率最大化,因此本文以权力值p ＝２为例,来实现两个定义的分目标最优.统一数量级,消除各自的量纲,可以得到最终的优化模型:F (ρ)＝w １C (ρ)－C (ρ)０C (ρ)m a x －C (ρ)m i n()２[＋w ２f (ρ)－f (ρ)０f (ρ)m a x －f (ρ)m i n()２]１/２式中,C (ρ)m a x 为平均柔度的最大值;C (ρ)m i n为平均柔度的最小值;f (ρ)m a x 为平均频率的最大值;f (ρ)m i n 为平均频率的最小值;C (ρ)０㊁f (ρ)０给定的值.以列举的平均柔度和平均频率定义的两种目标函数为例,两两结合形成４种新的函数模型.模型一:C (ρ)＝ðmi ＝１w i (C i (ρ)－C m i n i )２[]１/２f (ρ)＝ðmj ＝１w ２j (f j (ρ)－f m a x j )２[]１/２m i n ㊀F (ρ)＝w １C (ρ)－C (ρ)m i nC (ρ)m a x －C (ρ)m i n ()[]２{＋w ２f (ρ)－f (ρ)m i nf (ρ)m a x －f (ρ)m i n()[]２}１２ìîíïïïïïïïïïï模型二:C (ρ)＝ðmi ＝１w i (C i (ρ)－C m i n i )２[]１/２f (ρ)＝ðm j ＝１w jf j (ρ)－f m i n j ()－１m i n ㊀F (ρ)＝w １C (ρ)－C (ρ)m i nC (ρ)m a x －C (ρ)m i n ()[]２{＋w ２f (ρ)－f (ρ)m a xf (ρ)m a x －f (ρ)m i n()[]２}１２ìîíïïïïïïïïïï模型三:C (ρ)＝ðmi ＝１w i C i (ρ)－C m i ni ()－１f (ρ)＝ðm j ＝１w ２j (f j (ρ)－f m a x j )２[]１/２m i n ㊀F (ρ)＝w １C (ρ)－C (ρ)m i nC (ρ)m a x －C (ρ)m i n()[]２{＋w ２f (ρ)－f (ρ)m i nf (ρ)m a x －f (ρ)m i n()[]２}１２ìîíïïïïïïïïïï模型四:C (ρ)＝ðmi ＝１w i C i (ρ)－C m i ni ()－１f (ρ)＝ðm j ＝１w jfj (ρ)－f m i nj ()－１m i n ㊀F (ρ)＝w １C (ρ)－C (ρ)m a xC (ρ)m a x －C (ρ)m i n()[]２{＋w ２f (ρ)－f (ρ)m a xf (ρ)m a x －f (ρ)m i n()[]２}１２ìîíïïïïïïïïïï３㊀优化实例本文以汽车悬架系统的控制臂为研究对象,以有限元软件H y pe r w o r k s 为分析平台,参照文献[８]和文献[９],选择最为典型的制动㊁转向㊁过路面凹坑工况,建立了汽车控制臂的有限元模型;由于控制臂在有限元载荷计算中有累积误差,使得寻求一个完全平衡的外载荷力系的工作较困难[９],而且边界条件对计算结果有很大影响,因此本文采用惯性释放原理来减小该影响,从而使计１０９ 结构多目标拓扑优化目标函数构建方法的研究张璟鑫㊀梁㊀伟㊀夏㊀洋算结果更合理,更接近实际情况.材料弹性模量为２１０G P a,泊松比为０．３,密度７．９ˑ１０３k g/m３,体积分数约束为上限４０％,拔模方向指定为z方向,载荷与约束如图１所示,其中A为载荷施加点,B为z方向的约束点,F x㊁F y㊁F z均为１０００N .图１㊀汽车悬架控制臂有限元模型３．１㊀优化过程为了消除权重对各目标优化结果的影响,在本实例中把所有权重系数都设为１,在３个工况下以结构柔度最小化为目标做拓扑优化的得到各工况的柔度最小值C m i n i,初始值作为最大值C m a x i;以固有频率最大化为目标拓扑优化得到各阶结构固有频率的最大值f m a x j,初始值作为最小值f m i n j.结果如表１㊁表２所示.表１㊀单工况柔度优化结果N mmC m a x１８３９５．８７C m i n１１．７７C m a x２５６５１．９８C m i n２１．０７C m a x３２３４１．７２C m i n３１．０５表２㊀单阶固有频率优化结果H zf m i n１１４．９６f m a x１８９３．５９f m i n２３０．０６f m a x２１０７２．６９f m i n３３２．５８f m a x３１０７４．９１㊀㊀再以平均柔度和平均频率最优化分别得到C(ρ)m i n㊁C(ρ)m a x㊁f(ρ)m i n㊁f(ρ)m a x,结果如表３所示.表３㊀以平均柔度和平均频率最优化的优化结果平均柔度(N mm)平均频率(H z)C(ρ)m a x C(ρ)m i n f(ρ)m a x f(ρ)m i n 模型一１０３９０．０００１．４３３１７１６．０００２３５．２００模型二１０３９０．０００１．４３３１９５．８００７．６４５模型三１３８３．００００．００１１７１６．０００２３５．２００模型四１３８３．００００．００１１９５．８００７．６４５㊀㊀最后将表１~表３的数值,分别代入４个总目标函数模型进行优化,得出最终优化结果.３．２㊀优化结果(１)经过O p t i s t r u c t迭代得到的拓扑构型都保留相对密度０．５０５的材料,以z轴正方向观察,如图２所示,其中空白区域为删除材料的区域.㊀㊀通过图２~图５中各分目标和总目标拓扑构型的对比,４种多目标构型结合了两分目标构型,拥有比较多的三角形和X形结构,其性能优于单㊀㊀㊀(a)平均柔度最优㊀(b)平均频率最优㊀(c)模型一图２㊀模型一分目标和总目标拓扑构型的对比㊀㊀㊀(a)平均柔度最优㊀(b)平均频率最优㊀(c)模型二图３㊀模型二分目标和总目标拓扑构型的对比㊀㊀㊀(a)平均柔度最优㊀(b)平均频率最优㊀(c)模型三图４㊀模型三分目标和总目标拓扑构型的对比㊀㊀㊀(a)平均柔度最优㊀(b)平均频率最优㊀(c)模型四图５㊀模型四分目标和总目标拓扑构型的对比目标构型.(２)控制臂的各工况柔度和各阶频率经过这４种模型优化的最终结果如表４㊁表５所示.㊀㊀由表４和表５可知:４种多目标优化模型优化后使各工况柔度有很大程度的减小,也就是各工况刚度得到较大程度的提高;优化后结构各阶频率也都得到相应的提高;该４种模型都很好地实现了多工况柔度最小化和多阶频率最大化的目的;模型三优化结果要比其他３种好.㊀表４㊀优化前后各工况柔度结果对比N mm工况一工况二工况三优化前值８３９５．８７５６５１．９８２３４１．７２模型一３０．１５１６．６３１４．２０模型二７．５３３．７２６．９１模型三５．８９２．８２４．４９模型四３．９８１．９３３．４６２０９中国机械工程第２７卷第７期２０１６年４月上半月表５㊀优化后各阶固有频率结果对比H z第一阶第二阶第三阶优化前值１４．９６３０．０６３２．５８模型一６０６．３４７８１．１３７８２．２１模型二５２０．５１６３７．８１６５７．０４模型三７８０．５９８８１．８０９９９．８２模型四４２３．３９６８９．７７７７５．４０㊀㊀(３)４种模型目标函数的迭代过程如图６所示.通过观察４种多目标函数的迭代历程可知:由于４种目标函数构造的不同,迭代次数及迭代结果不同,但迭代趋势都趋于稳定,最终趋于０;说明在迭代过程中,各工况柔度及各阶频率都在向各自的目标值发展,使得柔度越接近最小值,频率越接近最大值,平均距离越趋于最小值.图６㊀４种模型拓扑优化迭代历程４㊀结论(１)本文将平均距离公式的基本理论与多目标结构优化相结合,基于４种构造的目标函数的拓扑优化结果可寻找较优的目标函数构建方法,从而使平均距离理念更好地应用于结构多目标拓扑优化.(２)在多目标优化中,运用平均距离思想灵活地将距离的最大化转化为最小化来处理,通过优化结果的相互比较来有效的确定理想的结构拓扑构型,为设计者提供新思路,对于今后的实际工程优化问题有一定的指导意义.(３)文中的平均距离公式可选择不同的参数,会演变不同的寻优方法,然而这种多样性同样增大优化过程的工作量,因此需对结构优化过程程序化,为拓扑优化模块及软件的开发提供了探索的空间.参考文献:[１]㊀B e n d s o e M P ,S i g m u n d O．M a t e r i a lI n t e r Ｇpo l a t i o n S c h e m e s i nT o p o l o g y O p t i m i z a t i o n [J ]．A r c h ．A p pl ．M e c h ．,１９９９,６９:６３５Ｇ６５４．[２]㊀B e n d s o e M P ,S i g m u n d O．T o p o l o g y O pt i m i z a t i o n :T h e o r y ,M e t h o d s a n d A p pl i c a t i o n s [M ]．N e w Y o r k :S p r i n ge r ,２００３．[３]㊀占金青,张宪民．连续体结构的静动态多目标拓扑优化方法研究[J ]．机械强度,２０１０,３２(６):９３３Ｇ９３７．Z h a n J i n q i n 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h eC o n Ｇt r o lA r m o f V e h i c l eS u s p e n s i o n [J ]．A u t o Ｇm o t i v e A n g i n e e r i n g,２０１１,３３(２):１３８Ｇ１４３．(编辑㊀郭㊀伟)作者简介:张璟鑫,男,１９８９年生.重庆交通大学机电与车辆工程学院硕士研究生.研究方向为结构优化.梁㊀伟,女,１９６８年生.重庆交通大学机电与车辆工程学院教授.夏㊀洋,男,１９８９年生.重庆交通大学机电与车辆工程学院硕士研究生.３０９ 结构多目标拓扑优化目标函数构建方法的研究张璟鑫㊀梁㊀伟㊀夏㊀洋。
多工况下汽车发动机支架静动态拓扑优化设计
多工况下汽车发动机支架静动态拓扑优化设计朱剑峰;许智勇;蔡梦尧;王焕星;王水莹【摘要】为实现汽车结构件轻量化优化设计,将结构拓扑优化技术引入到发动机支架设计中,并采用多工况下静动态联合拓扑优化技术对其进行拓扑优化分析,同时给出拓扑优化结果解读思路和方法.通过优化后的发动机支架在结构耐久、模态和强度均满足设计要求的同时实现轻量化,表明拓扑优化技术在汽车结构轻量化优化设计中的有效性和可靠性.【期刊名称】《汽车技术》【年(卷),期】2016(000)008【总页数】4页(P6-9)【关键词】发动机支架;多工况;拓扑优化【作者】朱剑峰;许智勇;蔡梦尧;王焕星;王水莹【作者单位】泛亚汽车技术中心有限公司,上海201201;泛亚汽车技术中心有限公司,上海201201;泛亚汽车技术中心有限公司,上海201201;泛亚汽车技术中心有限公司,上海201201;泛亚汽车技术中心有限公司,上海201201【正文语种】中文【中图分类】U463主题词：发动机支架多工况拓扑优化自提出变密度法以来［1］，结构拓扑优化技术得到迅速发展及应用，汽车行业中应用最广泛的主要在底盘结构件、动力总成零件以及车身结构方面。
吕兆平等［2］应用结构拓扑优化方法对动力总成悬置支架进行了结构拓扑优化分析，根据优化后的材料分布得到了改进后的悬置支架，在实现结构性能的同时达到了轻量化的目标。
潘孝勇等［3］采用连续体结构拓扑优化技术对变速器悬置支架路试失效问题进行了分析研究，并给出了支架模型的优化设计方案，优化后的支架最终通过了台架疲劳试验验证。
祝小元等［4］采用多目标结构拓扑优化方法对汽车控制臂进行了优化设计，得到了结构刚度最大和1阶模态频率最大化的结构设计方案。
本文首先对发动机支架可用设计空间进行提取，采用多工况静动态联合拓扑优化技术对其进行拓扑优化分析，并考虑不同的一致性约束方式，通过对拓扑优化后的支架材料分布形式进行解读，设计出零件结构形式，并对其进行结构性能分析计算。
连续体结构的静动态多目标拓扑优化方法研究
连续体结构的静动态多目标拓扑优化方法研究RES EARCH ON STATIC AND DYNAMIC MULTI OBJECTIVE TOPO LOGY OPTIMIZATION OF CONTINUUM STRUCTURES占金青 张宪民(华南理工大学机械与汽车工程学院,广州510640)ZH AN JinQing ZH ANG XianMin(School o f Mechanical and Automotive Engineering,South China U niversity o f Technology,Guangzhou510640,China)摘要 为实现以静态多工况下刚度和动态特征值为目标函数的拓扑优化结构设计,提出一种连续体结构的静动态多目标拓扑优化模型。
以平均柔度最小化和平均特征值最大化为目标,采用标准化方法定义多目标拓扑优化的目标函数,根据决定函数大小来选择最优的妥协解,并且对目标函数进行归一化,消除不同性质目标函数在数量级上的差异。
拓扑优化采用固体各向同性材料插值方法,将移动近似算法用于多目标拓扑优化问题的求解,并且用过滤求解技术避免拓扑优化中数值不稳定性现象。
数值算例结果表明,文中提出的方法在连续体的静动态多目标拓扑优化设计中是正确的和有效的。
关键词 连续体结构 多目标优化 移动近似算法 拓扑优化中图分类号 TB114.3Abstract A multi objective topology opti mization method for continuum structures is proposed,in which both the mean compliance and mean ei genvalue are regarded as static and dynamic opti mization objectives,respectively.The wei ghted sum of conflicting objectives resulting from the norm method is used to generate the opti mal compromise solutions,and the decision function is set to select the pref erred solution.T he objective function is normalized to eli minate magnitude di fference of the objectives.The solid isotropic material with penalization approach is used.The mul ti objective topology optimization problem is solved using the method of moving asymp totes.A fil tering technique is used to avoid the phenomenon of numerical instability.Sevral numerical examples are presented to show the feasibility of the present approach.Key words C ontinuum structures;Multi objective optimization;Method of moving asymptotes;Topology optimization Correspon ding author:Z HAN JinQin g,E mail:z han j inqing@,Tel: Fax:+86 20 87110345The project supported by the National Science Found of Distinguished Young Scholars of China(No.50825504),and the United Found of National Natural Science Foundation of China and Guangdong Province(No.U0934004).Manuscript received20090316,in revi sed form20090629.引言连续体结构的拓扑优化设计研究是结构优化中的难点和热点,被公认为当前结构优化设计领域内最具有挑战性的研究方向[1]。
车体结构多目标拓扑优化设计探讨
结 构性能 可较 大地提 高ｕ ］ 目前 ， ； 连续 体 的拓 扑优 化 主
要 集 中在 单 日标 的拓 扑 优 化 ， 车体 结 构 作 为 车 辆 的 承 但 载 基 体 ， 需 要 满 足 多 种 静 态 工 况 下 的 性 能 要 求 ， 要 既 又 满 足 车 体 结 构 动 态 工 况 下 的 性 能 要 求 ： 一 阶 垂 向 弯 曲 如
位， 即有 相 同的数量 级 ， 车体 结构 应 变 能与 频 率之 间 但 的数 量级 之 间存 在 较 大差 异 ＿ 如 果 不 引用 一 个值 来 】 ，
平 衡两 者之问 的差异 ， 计算 结果将 受数量 级高 的 目标 则 所支 配 ， 一般 来说 ， 结构 的应变 能 数量 级在 １ ０ ０ ～ ． ×１ ｔ０ ０ ． ×１ 之 问 ， 结 果 特 征 值 倒 数 的 数 量 级 为 １ ０× 而 ．
而为 车 体 结 构 没 汁 提 供 思 路 。
１ 多 目标 拓 扑 优 化 １ １ 多 目标 优 化 问题 数 学模 型 ．
点 载 荷 向 量 ； （ 为 节 点 位 移 向 量 ； ） 优 化 后 结 构 【 ） ， Ｖ（ 为 的有 效 体 积 ； 。为 结 构 的 原 始 体 积 ； 为 体 积 约 束 的 百 Ｖ ｆ
图 ２ 车体 拓 扑 优 化
设 计 域 有 限 元 模 型
设 计 域 有 限 元模 型 （ 部 ） 局
∑
（ ４ ）
【．Ｖ（ ／ ｓ ｔ ｚ） 。≤ 厂
其 中 ： 一（ １ｚ ， ， ，≥ ２ ｗ 为第 Ｊ阶特征值 倒 ｚ ｚ ，２ … － ） ｚ ，ｊ 数 的加权 系数 。 １４ 静 动态工 况 总 目标 函数 ． 采用权 系数方 法 ， 目标 函数 间必须有 相 同的度量单
连续体结构的拓扑优化设计
连续体结构的拓扑优化设计一、本文概述Overview of this article随着科技的不断进步和工程需求的日益增长，连续体结构的拓扑优化设计已成为现代工程领域的研究热点。
拓扑优化旨在通过改变结构的内部布局和连接方式，实现结构性能的最优化，从而提高工程结构的承载能力和效率。
本文将对连续体结构的拓扑优化设计进行深入研究，探讨其基本原理、方法、应用以及未来的发展趋势。
With the continuous progress of technology and the increasing demand for engineering, the topology optimization design of continuum structures has become a research hotspot in the field of modern engineering. Topology optimization aims to optimize the structural performance by changing the internal layout and connection methods of the structure, thereby improving the load-bearing capacity and efficiency of engineering structures. This article will conduct in-depth research on the topology optimization design of continuum structures, exploring their basic principles, methods,applications, and future development trends.本文将介绍连续体结构拓扑优化的基本概念和原理，包括拓扑优化的定义、目标函数和约束条件等。
连续体结构拓扑优化
第20卷第2期2003年4月 计算力学学报 Ch i nese Journa l of Co m puta tiona l M echan icsV o l .20,N o .2A p ril 2003文章编号:100724708(2003)022*******连续体结构拓扑优化江允正, 曲淑英, 初明进(烟台大学土木系,山东烟台264005)摘 要:对连续体结构的拓扑优化,给出一种工程实用方法:将拓扑优化分两步进行,首先解决在弹性体内哪些区域需要删除的问题,然后再确定删除区的边界。
这种方法适用于各种约束条件的问题,而且拓扑清晰。
关键词:结构拓扑优化;结构优化;弹性体;中图分类号:T P 391.72 文献标识码:A收稿日期:2001204228;修改稿收到日期:20012072241基金项目:国家自然科学基金(10142001)资助项目1作者简介:江允正(19422),男,教授11 引 言当前,结构优化已经从结构尺寸优化、结构形状优化发展到结构拓扑优化和布局优化。
结构拓扑优化可以提供给人们意想不到的设计方案。
这是结构优化中具有吸引力的研究领域。
但是由于拓扑优化的难度大,进展比较缓慢[1,2]。
连续体结构的拓扑优化,是在给定外载和支承位置的情况下,要解决如下问题:第一、在弹性体内哪些地方需要删除;笫二、这些删除区应该是什么形状。
本文把删除区的位置与其边界的确定分作两步进行,这样可以充分发挥不同方法各自的优点,提高优化效率。
文中所计算的优化例题,结果令人满意。
2 方 法对于一连续体,无论是二维还是三维、单连域还是多连域,当给定外载和支承位置时(如图1),满足应力、位移等各种约束条件下的结构最优拓扑问题,都可以按如下步骤来求解: 步骤1 确定删除区的位置删除区的位置的确定可以采用各种不同的方法,本文采用有限元法与离散变量优化相结合的方法。
由于仅仅为了确定删除区位置,所以单元划分不必太细。
平面问题可以以单元厚度为设计变量,这些变量仅取两个离散值,一个值为原始厚度t ,另一个值为0,当然,一旦单元厚度为零,就意味着这个单元己不存在,应该去掉这个单元,并去掉该单元对应的应力约束,原优化模型的变量数和约束数目都发生了变化。
基于多目标的车身结构静动态参数协同优化
基于多目标的车身结构静动态参数协同优化杨斌;陈剑;杜选福;汤杰【摘要】文章建立了某小型休闲车(small recreation vehicle,SRV)车身结构有限元模型,通过数值计算与试验模态的对比分析验证了模型的准确性;对白车身的弯曲、扭转刚度进行分析同时关注车身的低阶模态频率,提出了一种以静态多工况结构刚度和振动频率为目标函数、基于实体各向同性材料惩罚函数的拓扑优化方法;用折衷规划法定义多目标拓扑优化和多刚度拓扑优化的目标函数,以平均频率法确定振动频率目标函数,得到了同时满足静态刚度和低阶振动频率要求的白车身的结构拓扑.该文方法实现了静态刚度和低阶振动频率的协同优化,优化结果显示车身刚度和低阶频率值均有所提高,结构更趋于合理.【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)003【总页数】6页(P387-391,432)【关键词】车身;多目标;变密度法;刚度;模态频率【作者】杨斌;陈剑;杜选福;汤杰【作者单位】合肥工业大学机械工程学院,安徽合肥 230009;合肥工业大学机械工程学院,安徽合肥 230009;合肥工业大学机械工程学院,安徽合肥 230009;合肥工业大学机械工程学院,安徽合肥 230009【正文语种】中文【中图分类】U463.8210 引言汽车在行驶过程中要承受扭转、弯曲等复杂应力场的作用,承载式车身结构的刚度和动态性能直接影响汽车的NVH(noise，vibration，harshness)性能和操纵安全性[1]。
轿车白车身结构静态刚度分析一直为国内外汽车界所重视。
随着计算机技术的发展,有限元分析技术在汽车结构分析上得到了广泛的应用。
目前,针对车身刚度优化,主要采用的是车身板件灵敏度分析方法。
文献[2]综合考虑车身板件厚度对车身质量与刚度的影响,利用灵敏度分析方法确定优化设计变量,优化后车身刚度得到显著提高;文献[3]应用车身结构修改灵敏度方法,直接找到提高轿车车身刚度的最佳部位,减少了优化设计的盲目性,极大地优化了车身的刚度;文献[4]在灵敏度分析基础上提出了加权相对灵敏度概念,并据此确定设计变量及其优化方向,在减重的同时提高了驾驶室的刚度。
矿用车车架结构的静动态多目标拓扑优化
矿用车车架结构的静动态多目标拓扑优化臧晓蕾;谷正气;米承继;伍文广;蒋金星;王玉涛【期刊名称】《汽车工程》【年(卷),期】2015(000)005【摘要】为了实现行驶工况极为恶劣的矿用车的车架结构的静动态多目标拓扑优化，以静态多工况下刚度和动态多个低阶频率为目标函数，提出了一种车架多目标拓扑优化方法。
基于变密度法建立车架结构拓扑优化模型，采用折衷规划法确定多工况刚度拓扑优化目标函数，以平均频率法确定振动频率目标函数，并利用层次分析法选定子目标权重。
优化结果显示车架的刚度和固有频率均有提高。
对优化后的新车架和原车架进行疲劳寿命的对比分析，结果表明：采用多目标拓扑优化后车架的疲劳寿命明显提高，改善了车架的使用性能。
【总页数】6页(P566-570,592)【作者】臧晓蕾;谷正气;米承继;伍文广;蒋金星;王玉涛【作者单位】湖南大学，汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082;湖南大学，汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙410082; 湖南工业大学，株洲 412007;湖南大学，汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082;湖南大学，汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082;湖南大学，汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082;湖南大学，汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082【正文语种】中文【相关文献】1.静动态多目标下的连续体结构拓扑优化 [J], 龙凯;左正兴;闫清东2.链轮结构静/动态多目标拓扑优化及敏度分析 [J], 陈再发;宋马军3.校车底盘车架结构静动态特性拓扑优化设计研究 [J], 李礼夫;许树龙4.大兆瓦风电制动器闸片静动态多目标结构拓扑优化设计 [J], 沙智华;尹剑;张生芳;刘宇;马付建5.连续体结构的静动态多目标拓扑优化方法研究 [J], 占金青;张宪民因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
多工况变速器箱体静动态联合拓扑优化
ｚ ｇｃｍ ｉｅ ｔ ｉ－ｎ ｒ ｄｘａ ｂｅｔ ｅ ａｅ ｎｔｅｍ ｔ ｉｌ ｅ ｓｙｎ ｐ ｏ ｒ ｆ ｐｉ ｚｄｓ ｕ ｔｒ ，ｈ ｉ ｏ ｂｎｄｓ ａ ｅ ｅｇ ｉ ｅ ｓ ｊｃｉ ．Ｂ ｓｄｏ ａｅ ａ ｄ ｎｉ ｅｈ ｇａ ｏ ｔ ｅ ｔ ｃｕｅ ｔｅ ｎ ｒｎ ｙ ｎ ｏ ｖ ｈ ｒ ｔ ｍ ｏ ｍｉ ｒ
矩 特 性 曲线 ， 择 最 大转 矩 工况 时对 应 各 轴 承 座 处 选
本文 中建立了变速器箱体初始结构 的有 限元模
型 ， 择 最大 载荷 工 况 下 结 构 轴 承 座 处 动 态力 的 最 选 大值 作为 载荷 边 界 条 件 ， 其 进 行 静 力 分 析 和模 态 对
原 稿收到 日期为 ２ １ 年 ６月 ２日， ０１ 修改稿收到 日期为 ２ １ 年 ８月 ２ ０１ ８日。
个低阶特征频率和多个载荷工况组合 的情况对其进
行静 动态 联合 拓扑 优化 具有 很重 要 的工程 意义 。
用， 其对保 障变速器 系统稳定 、 高效 工作起 重要作 用 。在实际工程设计中， 为保证箱体工作的可靠性 ， 箱体结构设计往往 比较保守 ， 一般取较大安全 系数 ，
国家 自然科学基金 （ １７ ０ ３ ５ ９ ５ １ ） ５０ ５ ３ ，０ ０ ０ ８ 资助 。
１ １ 有 限元模 型 ．
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所研 究 的变 速 器 箱 体 由上 箱 体 、 箱 体 、 端 下 左 盖 、 端 盖和 前盖 ５部 分组 装而 成 ， 右 几何 结 构 比较复 杂 ， Ｈ ｐｒ ｓ 行 网格 划 分 ， 用 六 面 体 单 元 ， 用 ｙｅｍｅｈ进 采 最 终 该 有 限元 模 型 共 １ １９ ６个 实 体 单 元 ， 体 有 １ １ 箱
汽车动力总成悬置支架的多目标拓扑优化
汽车动力总成悬置支架的多目标拓扑优化张兰春;赵清海;张洪信;陈潇凯;张铁柱【摘要】汽车动力总成悬置支架设计是一个静动态多性能指标的优化过程.为克服单目标拓扑优化的局限性,以静态多工况下刚度和动态特征值为性能指标,采用折衷规划法定义目标函数,构建多目标连续体结构拓扑优化数学模型,进行悬置支架多目标拓扑优化.依据拓扑优化结果并考虑制造工艺性等要求,对悬置支架进行详细设计.最后对支架设计模型进行强度校核、模态仿真分析和耐久性试验验证,结果表明,采用所提出的方法进行悬置支架的概念设计可行且有效.%The design of an automotive engine mount bracket is an optimization process of static and dynam-ic multi-performance indicators. In order to overcome the limitation of single objective topology optimization, a math-ematical model for multi-objective topology optimization of continuum structure is constructed first with static stiffness in multi-conditions and dynamic eigenvalues as performance indicators to define objective function by compromise programming, and a multi-objective topology optimization for engine mount bracket is conducted. Then according to the results of topology optimization with consideration of manufacturing process requirements, the detailed design of engine mount bracket is performed. Finally, strength check, modal analysis and durability test verification are car-ried out. The results demonstrate that the method adopted is feasible and effective for the concept design of engine mount bracket.【期刊名称】《汽车工程》【年(卷),期】2017(039)005【总页数】5页(P551-555)【关键词】发动机悬置支架;拓扑优化;多目标优化;折衷规划法【作者】张兰春;赵清海;张洪信;陈潇凯;张铁柱【作者单位】江苏理工学院汽车与交通工程学院,常州 213001;青岛大学动力集成及储能系统工程技术中心,青岛 266071;青岛大学动力集成及储能系统工程技术中心,青岛 266071;北京理工大学机械与车辆学院,北京电动车辆协同创新中心,北京100081;青岛大学动力集成及储能系统工程技术中心,青岛 266071【正文语种】中文汽车动力总成悬置支架是动力悬置系统的重要安全件和功能件。
机械基础结构多目标拓扑优化设计方法
机械基础结构多目标拓扑优化设计方法
汪兵兵;丁晓红;孙晓辉;张横
【期刊名称】《包装工程》
【年(卷),期】2013(34)15
【摘要】机械的基础结构在保证具有足够的刚度、强度和稳定性的条件下,经济性也必须要好,因此机械基础结构常采用内部布置有加筋板的箱体结构。
以某机械基础结构为例,分别用基于经验设计的内部筋板布置方法和多目标拓扑优化方法进行优化设计,得到了2种设计方案;比较了2种方案的动静态力学性能。
结果表明,多目标拓扑优化设计的基础结构比一般经验设计的结构,刚度有所提高,而结构质量减小11.21%,一阶固有频率提高25.07%。
【总页数】5页(P15-18)
【关键词】机械基础结构;多目标优化;拓扑优化;折衷规划
【作者】汪兵兵;丁晓红;孙晓辉;张横
【作者单位】上海理工大学
【正文语种】中文
【中图分类】TB486
【相关文献】
1.超精密机械结构多目标拓扑优化设计 [J], 董立立;朱煜;牛小铁;段广洪;梁林泉
2.多目标拓扑优化下电动汽车头部结构优化设计 [J], 雷正保;李铁侠;赵仕琪
3.基于多目标拓扑优化技术的齿轮结构优化设计 [J], 戴护民
4.连续体结构的模糊多目标拓扑优化设计方法研究 [J], 刘加光;陈义保;罗震
5.基于拓扑优化与多目标优化的给料机关键部件结构设计 [J], 唐华平;李红星;姜永正;刘杰
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
连续体结构拓扑优化理论与应用研究
连续体结构拓扑优化理论与应用研究前言近年来，随着三维打印、计算机辅助设计等技术的发展，连续体结构拓扑优化逐渐被广泛应用于工程设计中。
连续体结构拓扑优化指的是基于一定的约束条件下，通过优化连续体结构的材料分布和形状来实现结构尽可能轻量化、刚度尽可能大的目的。
本文将从理论、方法和应用三个方面，对连续体结构拓扑优化进行全面阐述。
第一章连续体结构拓扑优化理论1.1 拓扑优化的概念拓扑优化是指利用数学方法优化结构的材料分布和形状以达到某种性能目标的一种方法。
与传统的结构优化相比，拓扑优化不仅考虑结构的大小和形状，还考虑结构的材料分布。
这就要求将结构的材料分布看作设计变量，并且采用合适的材料性质描述模型来描述材料在不同条件下的特性。
1.2 拓扑优化的方法拓扑优化的方法主要可分为两类：自适应法和演化法。
自适应法主要是一种灵活的算法，通过规定合适的自适应方法进行优化；演化法则主要依靠基因或者其它进化原理来进行结构的筛选。
1.3 拓扑优化的应用拓扑优化的应用非常广泛，例如在航空航天、汽车制造、建筑设计等领域都有广泛的应用。
在航空航天领域，拓扑优化可以减轻飞机自重，提高飞机的飞行性能和使用寿命。
在汽车制造领域，拓扑优化可以降低车辆的重量，提高车辆的燃油效率和安全性能。
在建筑设计领域，拓扑优化可以使建筑结构尽可能的轻量化，增加建筑设计的美感和实用性。
第二章连续体结构拓扑优化方法2.1 拓扑敏感度分析法拓扑敏感度分析法是一种基于有限元方法的拓扑优化方法。
该方法通过对应力场的敏感度进行迭代求解，实现了结构的材料优化分布和形状。
该方法的优点是计算速度快、收敛速度快，但其缺点是对初始设计要求较高。
2.2 拓扑优化基尔霍夫法拓扑优化基尔霍夫法也是一种基于有限元方法的拓扑优化方法。
该方法将结构划分为若干个有限元单元，在设计变量的控制下分别分配材料，使得结构满足一定的约束条件。
该方法的优点是便于求解、可以同时考虑结构的刚度和稳定性等多个目标。
具有多种约束的连续体结构拓扑优化
文章编号:1004Ο8820(2003)02Ο0138206具有多种约束的连续体结构拓扑优化江允正,王子辉,初明进(烟台大学土木工程系,山东烟台264005)摘要:对于具有多种约束条件的连续体结构的拓扑优化设计,本文提出一种通用优化方法:首先用优化方法确定微孔或称为基点的位置,然后再扩大微孔并确定其边界.文中对于具有应力和位移约束的几个平面问题进行拓扑优化,计算结果十分令人满意.关键词:结构拓扑优化;结构优化;连续体;中图分类号:TP391.72 文献标识码:A近年来,Bendsoe 和K ikuchi [1]等广泛采用连续体拓扑优化的均匀方法.首先从连续介质中人为地引进某一形式的微结构,例如周期性分布的微孔洞;然后用以数学中扰动理论为基础的均匀化方法这一数学工具建立材料的宏观弹性性质和微结构尺寸的关系,连续介质的拓扑优化就转化为决定微结构尺寸最优分布的尺寸优化问题,可以采用成熟的尺寸优化算法.迄今为止的均匀化方法还不能给出带有微观结构的材料的宏观许用应力和微结构尺寸的关系,因此到目前为止均匀优化方法可以求解的拓扑优化问题还很有限.均匀化方法的另一缺点是求得的最终设计可能具有很不清晰的拓扑,即结构中有的区域是相对密度介于0和1之间的多孔介质;文献[2]提出修改的满应力法来求解受应力约束的平面弹性体的拓扑优化问题,也仅能考虑应力约束问题;文献[3]提出统一骨架与连续体的结构拓扑优化的ICM 理论与方法.这些方法,基本上都采用有限元法进行结构分析,为了使边界光滑,不得不划分很细的单元,对于一般平面问题,单元数目都在数千个之上,计算效率低.总之,拓扑优化是最具挑战性而又困难的问题,优化方法仍然处在发展初期.这一领域迫切需要取得进展,开发通用的算法仍是挑战. 如上所述,采用均匀方法时,首先从连续介质中人为地引进某一形式的微结构,例如周期性分布的微孔洞.我们认为微孔洞的数量和位置应该用优化方法确定.并称这种微孔的中心叫做删除区的基点.然后扩大微孔,用优化方法确定孔的边界.于是,连续体结构的拓扑优化,可以归结为确定删除区的基点位置及其边界的问题.1 方 法 对于一个二维连续体,当给定外载和支承位置时,满足应力、位移等各种约束条件下的结构最优拓扑问题,都可以按如下步骤来求解:收稿日期:2002-12-17作者简介:江允正(1942-),男,湖南衡阳人,教授,主要从事结构优化方向教学与研究工作.第16卷第2期烟台大学学报(自然科学与工程版)Vol.16No.22003年4月Journal of Y antai University (Natural Science and Engineering Edition ) Apr.2003 步骤1 确定删除区域基点 删除区基点位置的确定可以采用不同的方法,本文采用有限元法与离散变量优化相结合. 由于仅仅为了确定删除区基点位置,所以单元划分不必太细.平面问题可以以单元厚度为设计变量,这些变量仅取两个离散值,一个值为原始厚度t ,另一个值为很小的正数ε,如果以结构重量为目标,满足应力和位移约束,那么该问题的数学规划模型就可以写成:求 T =(t 1,t 2,…,t n )T ,使V =∑ni =1t i s i →min ,s.t σj (T )≤[σ], j =1,2,…,n ,u k (T )≤u u,t i ∈(t ,ε), i =1,2,…,n.(1) 文中常取ε=(0.01～0.05)t ;n =100～200;板厚为ε便视为开孔.这些板厚为ε的单元组成的区域,当区域的面积趋于零时,区域的极限称之为基点.如图1(a )中左上角这个删除区,当这块面积逐渐减小并趋向于零的时侯,它的极限位置是原矩形体的左上角点,如图1(b )所示C 1点.在平面问题中,基点位置可能有三种情况:角点、边界点和内点.图1(b )中C 1点是角点,C 2是内点,图2的C 点是边界点.至于删除区边界可由下步确定.图1(a ) 第一步优化结果 图1(b )第二步计算模型 图1(c )第二步优化结果 步骤2 确定删除区边界 当删除区基点确定以后,我们可以用一族从基点出发的矢径来描述曲线上的点,如图2所示.每一个矢径的方位都事先给定,把矢径长度作为变量,变量均为非负连续变量.如果目标函数仍然为结构体积,满足应力、位移等约束条件,其数学模型为:求X =(x 1,x 2,…,x n )T ,min W =t 3S (X ),σ(X )≤σ0,i =1,2,…,m ,u k ≤u u ,k =1,2,…,p ,x i ≥0,i =1,2,…,n.(2)式中S (X )为挖孔后剩余面积.在约束条件中除了性能约束外还应加入几何约束,防止重复开孔.要确定删除区边界可以采用形状优化的各种方法来实现,本文使用边界元法[4].式中・931・ 第2期 江允正,等:具有多种约束的连续体结构拓扑优化应力是弹性体内任意点的应力,然而办不到,因为开孔区域的边界在变动,刚才还是实体,转眼也许需要挖去.根本无法指定那些固定点,并限制这些点的应力值.本文采用边界元法与连续变量优化方法相结合来求解.那么边界上各点的应力总是可以求得的,而且边界上的应力往往也是最大应力,原因之一是弯曲效应,其次是应力集中现象.对于平面线性单元,可以采用每个单元的切向应力加以限制.由节点位移和面力可以计算节点切向应力σi t =11-ν[2G (-u i +11-u i -11l i sin α+u 2i +1-u 2i -1l i cos α)+ν(p i 1cos α+p i 2sin α)]. 连续体结构拓扑优化问题其实是个连续离散变量优化问题,当采用有限元法作为分析手段时,为了使边界光滑就必须划分大量的单元,而每个单元往往就是一个变量,这种具有上千个变量的巨大问题给求解带来困难.本文将这种大问题化为两个小问题来求解,并且可以使用尺寸优化和形状优化的己有成果和各种现有的程序和手段.使问题的求解成为可能.图2 边界曲线上的点描述 图3 例1的计算模型2 例题计算 例1 一中跨深梁如图3所示[4],其上缘中部受垂直均布荷载P =13600N/cm 2,材料弹性模量E =1.9×104kN/cm 2,泊松比ν=0.3,许用应力[σ]=248MPa ,试进行拓扑优化. 解:第一步:确定删除区位置;利用对称性,取矩形区左半部,划分成160个三角形单元,每个单元厚度t 为一设计变量,t =112.5,0.25mm 两个离散值,以结构体积为目标,满足应力约束条件.用离散变量优化方法获得结果如图1(a ).由图1(a )可以判断该矩形区的左上角点和右上角点及中央处为删除区基点,如图1(b )所示. 第二步:确定删除区边界;将图1(b )所示结构沿边界划分边界单元,用11个变量描述两个删除区边界,为了简便,矢径夹角均为30度.如果仍以结构体积为目标,例中仅满足应力约束条件.采用最常用的优化方法,获得最优拓扑如图1(c )所示. 这一结果与文献[4]的结果极为相似(见图4),但拓扑远不如本文清晰. 例2 两端具有固定铰支座的深梁,在上部中央处承受垂直均布力P ,已知P =13600N/cm 2,E =1.19×104kN/cm 2,ν=0.25,[σ]=442MPa . 计算简图如图5所示. 解:第一步:确定删除区位置;利用对称性,取矩形区左半部,划分成160个三角形单元,・041・烟台大学学报(自然科学与工程版)第16卷 图4 文献[4]的优化结果用离散变量优化得到图5(a )结果. 第二步:确定删除区边界;将图5(b )所示结构沿边界划分24个边界单元,用8个变量描述三个删除区边界,优化结果如图5(c )所示.获得一个拱形结构.而这个拱比给定的高度低,在拱上多出一个传力块.这个结果告诉人们在题中给定的受力和支撑情况下,结构高度可以降低到图中的拱高就够了,去掉多余的传力块,将力直接作用到拱上.从全局来讲这一结果给了我们耳目以新的感觉.图5(a )第一步优化结果 图5(b )例1的计算模型 图5(c )第二步优化结果 为了判断这个结果的正确性,不妨把这个问题作点变动,如果把作用在上部的分布荷载移动到下边缘,如图6(a )所示.会得到什么样的拓扑呢?如果上题结果是正确的,那么,图6(a )的最优拓扑就该是图5(c )类似结构.下半部大拱不变,仅需将上部传力块翻转朝下.下面来求解这个问题. 例3 求解图6(a )所示问题:除外力作用点与上题不同外,其他条件完全相同. 解:第一步获得初形如图6(b )所示,中间多出一根传力杆,从图6(b )可以判断:在这块矩形板上,载荷作用处的两边和板的上侧左右两角点处应该开孔.如图6(c )所示. 使用了11个变量描述孔洞边界,通过第二步优化后获得了如图6(d )最优拓扑.这一结果与上题结果完全一致,合情合理.不过在该拱的顶上多了一根“天线”,这是边界收缩的残余物,应该去掉.图6(a )例1的计算模型 图6(b )第一步优化结果 图6(c )第二步计算模型 这一结果与图7(文献[4])相比差别特大.图7所示结构在制造上将会很困难. 例4 在例2中,如果去掉应力约束,要求满足位移条件,即上缘中点竖向位移不大于0.1in.・141・ 第2期 江允正,等:具有多种约束的连续体结构拓扑优化 图6(d )第二步优化结果 图7 文献[4]的优化结果 图8 仅满足位移约束的最优拓扑 在这种外力和给定支撑情况下,仅满足位移约束的最优拓扑是图8所示二杆结构,仅满足应力约束的最优拓扑是个拱(见例2图5(c )).可见这种结构抗变形能力比拱好,而拱的变形大而应力小.图8所示结构在受力时变形小但在中央的内尖点处将会产生应力集中现象.图9(a ) 第一步优化结果 图9(b )第二步优化结果 例5 在例4中,满足一个位移约束的基础上增加应力约束,求最优拓扑1 解:可以肯定该点位移约束仍然是有效约束. 第一步结果如图9(a ). 第二步获得最优拓扑如图9(b )所示.与图8相比不同之处在于:尖角用圆弧同替了,减少应力集中,这是非常合理的.3 结束语3.1 本文所给拓扑优化例题之中,删除区边界优化使用的边界元法是线性元,例题中变量数少,又是线性单元,但仍然较准确地给出了最优拓扑,说明本文所述方法有效.3.2 本文所给拓扑优化例题之中,删除区基点确定使用的有限元法是三角形常应变单元,如果改用矩形单元会更好.3.3 本文所作的例题仅仅是平面问题,但对空间问题同样有效.例题中仅满足应力和位移约束,但该方法对约束条件没有限制.3.4 该方法或称为二步法,确实是解决拓扑优化的一条途径.他将拓扑优化的难题化作尺寸优化和删除区边界优化两步来处理.使问题求解成为简单可行.3.5 多工况问题随后将另行讨论.参考文献:[1] Bendsoe M P ,K ikuchi N.G enerating optimal topologies in structural design using a homogenizationmethod [J ].Compt Mech Appl Mech Engrg ,1988,14:197～224.[2] 程耿东,张东旭.受应力约束的平面弹性体的拓扑优化[J ].大连理工大学学报,1995,35(1):1～9.[3] 隋永康,杨德庆,孙焕纯.统一骨架与连续体的结构拓扑优化的ICM 理论与方法[J ].计算力学学报,2000,17(1):28～33.・241・烟台大学学报(自然科学与工程版)第16卷 [4] 江允正,郑大素.发动机连杆形状优化[J ].哈尔滨船舶工程学院学报,1994,15(3):18～24.Topological Optimization of Continuum Structureswith V arious ConstraintsJ IAN G Yun 2zheng ,WAN G Zi 2hui ,CHU Ming 2jin(Department of Civil Engineering ,Y antai University ,Y antai 264005,China )Abstract :A optimization method described in this paper can be applied to the topological opti 2mization of continuum structures with various constraints perfectly.It performs the optimiza 2tion in two steps.First ,resolves the problem of which region in the elastic continuum should be deleted.Second ,locates the boundary of these regions.This method can be used to resolve the optimization problem of any kind of constraints.The final result of the topological optimization of continuum structures with various constraints of stress and dis placement by using the method described in this paper is perfect.Key words :topological optimization ;structure optimization ;continuum structures(责任编辑:柳瑞雪)・341・ 第2期 江允正,等:具有多种约束的连续体结构拓扑优化。
连续体结构拓扑优化方法及应用
连续体结构拓扑优化方法及应用一、引言连续体结构是指由连续材料构成的结构，其特点是具有连续的物理和力学性质。
拓扑优化是一种通过改变结构的连通性来优化结构形状的方法。
在过去的几十年中，连续体结构拓扑优化方法得到了广泛的研究和应用。
本文将介绍连续体结构拓扑优化的基本原理和常用方法，并讨论其在工程设计、航空航天、汽车制造等领域的应用。
二、连续体结构拓扑优化的基本原理连续体结构拓扑优化的目标是通过改变结构的连通性，使结构在满足给定约束条件下具有最佳的性能。
其基本原理是将结构划分为离散的单元，通过增加或删除这些单元来改变结构的拓扑形状。
拓扑优化的目标函数通常包括结构的重量、刚度、自然频率等性能指标，约束条件则包括材料的强度、位移限制等。
三、常用的连续体结构拓扑优化方法1. 基于密度法的拓扑优化方法基于密度法的拓扑优化方法是最早提出的一种方法，其基本思想是将结构中的每个单元赋予一个密度值，通过改变密度值来控制单元的存在与否。
当密度值为0时，表示该单元不存在；当密度值为1时，表示该单元完全存在。
通过优化密度分布，可以得到最佳的结构拓扑形状。
2. 基于演化算法的拓扑优化方法基于演化算法的拓扑优化方法是一种启发式的搜索方法，常用的算法包括遗传算法、粒子群优化算法等。
这些算法通过模拟生物进化、群体行为等过程，逐步搜索最佳的结构拓扑形状。
相比于基于密度法的方法，基于演化算法的方法更适用于复杂的结构优化问题。
3. 基于灵敏度分析的拓扑优化方法基于灵敏度分析的拓扑优化方法是一种基于结构响应的方法。
通过计算结构的灵敏度矩阵，可以得到结构在不同单元上的响应变化情况。
进而可以根据灵敏度分析的结果，调整单元的密度分布，以实现结构形状的优化。
四、连续体结构拓扑优化的应用1. 工程设计连续体结构拓扑优化在工程设计中的应用非常广泛。
通过优化结构的拓扑形状，可以减少结构的重量，提高结构的刚度和强度。
这对于提高工程设备的性能和降低成本具有重要意义。
静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
e =1
6∫ ( x )Байду номын сангаас
Ω
e
e
q
式中 M 是设计区域内的单元总数 。 根据节点独立变量定义 , 定义单元体积函数 Ve =
5C T 5 K =- U U 5 xi 5 xi 5 uj T 5 K ^ 5 xi = - U 5 xi U 5λ k 5 KU 5 MU = U �T � - λ �T � k kU k 5 xi 5 xi k 5 xi k
图2不同方法下的拓扑优化结果对比fig2comparisonofoptimumtopologyconfigurationunderdifferentmethods由图2可知含过滤操作的单元变密度法和无过滤操作的独立节点变量法拓扑优化结果类似结果无明显的棋盘格现象独立节点变量法拓扑优化结果边界光滑在一定程度上消除了单元变密度法结果锯齿边界现象
( k) ( k) η ( k) if : max ( xmin , (1 - m) x i ) < ( B i ) x i ( k) < min ( 1 , (1 + m) x i )
详细综述了数值不稳
定性问题常见解决方法。高阶等参元法从减小了结 构分析误差入手抑制棋盘格现象 , 但方法增加了结 构分析计算量 , 且无法从根本上消除该现象 。袁振 等
第 29 卷第 2 期 2008 年 3 月
宇 航 学 报
Journal of Astronautics
Vol. 29 No. 2 March 2008
静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
龙 凯 , 左正兴 , 闫清东
( 北京理工大学机械与车辆工程学院 , 北京 100081)
摘 要 : 为实现静动态多目标下的拓扑优化结构设计 ,以 静态 柔顺 度或 节点 位移最小 化和动态特 征值最大化 加权函数为目标 ,提 出并 建立 静动 态多 目标 连续 体结 构拓 扑优 化模 型 。单元 形函 数插值作 用下的节点 独立变量场 具有零阶连续性 ,在 连续 体结 构拓 扑描 述一 定程 度上避免 棋盘格 现象 。变量 独立性 在单元刚 度阵 、 单元 质量阵和 单元体积的建模中更具有灵活性 。规一化目标函数避 免不同 性质目标 函数的 量级差 异 。基于过 滤法进 一步改善 目标函数的光滑性 , 克服 了连 续体 拓扑 优化 中常 见数值不 稳定性 问题 。数值 算例结 果表明 ,模型 和方法 在静动态 多目标下连续体结构拓扑优化设计中的可行性和有效性 。
结构多目标动力学拓扑优化设计
本科毕业设计论文（2008届）题目 结构多目标动力学拓扑优化设计专业名称土木工程作者姓名刘彦昌指导老师徐斌副教授毕业时间 2008年6月毕业设计任务书一、题目：结构多目标动力学拓扑优化设计二、指导思想和目的要求：指导思想：毕业论文是对学生所学理论知识及应用能力的综合检验，学生必须严肃认真对待，写作过程中应结合自身情况进行选题，认真收集资料、查阅文献、进行撰写。
毕业论文是整个本科教学中最后一个综合性教学环节，是所学专业知识的结晶，也是对学生分析问题、解决问题能力的一次综合性检验。
要求学生运用所学的土木工程方面的基本理论、基本知识、基本技能，结合自己的实际情况，分析问题、解决问题。
撰写毕业论文，要认真做好调查研究，有针对性地搜集资料，查阅参考书目。
论文应概念清楚，立论正确，论据充实，论证周密，数据准确，理论联系实际，有一定的独立见解，在理论上或实践应用上有参考价值。
目的要求：1）能够应用MATLAB语言编写出拓扑优化的程序。
2）熟练掌握遗传算法的基本原理。
3）了解科学研究的基本步骤和方法，掌握科技论文的基本写作方法。
4）了解结构拓扑优化设计的历史和当今的发展方向。
三、主要技术指标：应能求出拓扑优化前后板和桁架结构的最大应力、位移、频率和结构质量等结构性能指标。
多目标优化应给出优化后的Pareto面和与折衷解对应拓扑优化构型，并有针对性的从Pareto解集合中选取几个解和折衷解加以对比。
四、进度和要求：第1——4周：查阅资料并翻译与课题相关的外文资料一篇，学习遗传算法、有限元和MATLAB语言编程，了解结构拓扑优化的发展。
第5——13周：根据有限元和遗传算法的基本原理，应用MATLAB语言编程分别进行一般结构的多目标动力学拓扑优化、具有区间参数结构多目标动力学拓扑优化和区间参数压电智能桁架结构多目标一体化拓扑优化设计。
第14周：整理计算数据和材料，准备论文的写作。
第15——16周：写作论文，准备答辩材料。
连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析(最新版)
( 安全管理 )单位：_________________________姓名：_________________________日期：_________________________精品文档 / Word文档 / 文字可改连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析(最新版)Safety management is an important part of production management. Safety and production are inthe implementation process连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析(最新版)文章深入分析国内外连续体结构拓扑优化的研究现状，介绍了拓扑优化方法的发展及实现过程中存在的问题。
对比分析了均匀化方法，渐进结构优化法，变密度法的优缺点。
研究了连续体结构拓扑优化过程中产生数值不稳定现象的原因，重点讨论了灰度单元，棋盘格式，网格依赖性的数值不稳定现象，并针对每一种数值不稳定现象提出了相应的解决办法。
结构拓扑优化设计的主要对象是连续体结构，1981年程耿东和Olhof在研究中指出：为了得到实心弹性薄板材料分布的全局最优解，必须扩大设计空间，得到由无限细肋增强的板设计。
此研究被认为是近现代连续体结构拓扑优化的先驱。
目前，国内外学者对结构拓扑优化问题进行了大量研究，这些研究大多数建立在有限元法结构分析的基础上，但由于有限元法中单元网格的存在，结构拓扑优化过程中常常出现如灰度单元，网格依赖性和棋盘格等数值不稳定的现象。
本文介绍了几种连续体结构拓扑优化方法及每种方法存在的问题，并提出了相应的解决办法。
1.拓扑优化方法连续体结构拓扑优化开始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均匀化方法，此后许多学者相继提出了渐进结构优化方法、变密度法等拓扑优化数学建模方法。
1.1.均匀化方法均匀化方法即在设计区域内构造周期性分布的微结构，这些微结构是由同一种各向同性材料实体和孔洞复合而成。
【CN110569519A】考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计方法【专利】
(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910292323.5(22)申请日 2019.04.12(71)申请人 北京工业大学地址 100124 北京市朝阳区平乐园100号(72)发明人 叶红玲 王伟伟 苏鹏飞 戴宗杰 隋允康 (74)专利代理机构 北京思海天达知识产权代理有限公司 11203代理人 刘萍(51)Int.Cl.G06F 17/50(2006.01)G06T 17/20(2006.01)(54)发明名称考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计方法(57)摘要本发明公开一种考虑非设计域的三维连续体结构拓扑优化设计方法，包括以下步骤：(1)确定三维连续体基结构，并建立有限元模型；(2)定义非设计域单元，并输入优化参数，形成优化模型；(3)引入识别数组对设计域及非设计域单元进行标识；(4)对结构进行静力及模态分析，并提取单元、节点及结构分析结果；(5)建立拓扑优化模型的近似连续数学优化列式；(6)计算非设计域单元对结构性能的贡献值，并对性能约束值及目标函数进行折减；(7)采用数学规划算法，对优化模型进行求解；(8)对最优拓扑构型进行反演处理，获得最优拓扑构型。
本发明可以有效解决考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计问题，为复杂结构体系的优化设计提供一个参考。
权利要求书5页 说明书8页 附图3页CN 110569519 A 2019.12.13C N 110569519A1.一种考虑非设计域的三维连续体结构拓扑优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤：第一步，根据三维连续体结构设计域和非设计域的几何尺寸及工况，建立相应的有限元模型，设定边界条件，材料属性；第二步，输入结构动静力学性能优化参数，并定义非设计域，形成考虑非设计域的三维连续体结构拓扑优化列式；第三步，提取非设计域单元号，并采用非设计域标识数组和设计域标识数组分别对非设计单元和设计单元进行标识；第四步，对结构进行静力及模态分析，并提取单元、相关节点及结构分析结果，为建立显式优化方程提供结构的力学性能参数；第五步，形成以位移及频率为约束，结构质量最小为目标的近似连续数学优化列式；第六步，基于给定的非设计域标识数组及单元力学性能参数，计算非设计单元对结构性能的贡献系数之和，并对结构总性能约束值进行折减，忽略优化目标中的常系数，更新近似连续数学优化模型列式；第七步，采用数学规划算法，对优化模型进行求解；第八步，对拓扑变量进行反演，获得最优拓扑构型。
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详细综述了数值不稳
定性问题常见解决方法。高阶等参元法从减小了结 构分析误差入手抑制棋盘格现象 , 但方法增加了结 构分析计算量 , 且无法从根本上消除该现象 。袁振 等
m
式 (13) ～ (15) 中 U 是静态位移向量 , U � k 是第 k 阶特 征值对应的模态向量 ,伴随向量 U ^ 满足伴随方程 ( 16) K^ U = Γ j 式中 Γ , 该向量除第 j 个分量 j = [ 0 ,0 , … ,1 , … ,0 ] 为 1 外 , 其余元素为 0 。 本文静动态多目标拓扑优化以静态柔顺度或节 点位移最小和动态特征值最大混合目标建立优化模 型 , 由于不同性质的结构响应量数值具有量级上的差 异 , 故而在优化建模时需规一化处理。设初始结构柔 顺度值 � C ,节点位移值 � u j 和特征值 λ �k , 静态柔顺度 最小和动态特征值最大组成的多目标优化模型为 min
[ 23 ]
s. t
V/ V0 - f = 0
0 < x min ≤ xi ≤ 1 1. 3 过滤法克服拓扑优化中的数值不稳定性 各类方法下的连续体结构拓扑优化结果普遍存 在棋盘格现象和网格依赖性问题。前者指最优拓扑 结构出现有无单元交错布置现象 , 后者指针对同一 拓扑优化问题 ,优化结果随不同离散网格的不同而 有所不同。罗震等
( 13) ( 14) (15)
∫(x )
Ωe
e
r
dΩ ,式中 r 是体积惩罚因子 。总体积 V
表达式为
M
V =
e =1
6∫ ( x )
Ω
e
e
r
dΩ
(7)
节点独立变量区别于 ICM 法独立变量在于设 计变量表征节点的有无状态 [12 ] 。连续体拓扑优化 本质上是连续介质点的有无问题 , 大多数的连续体 结构拓扑优化方法如变密度法等基于有限元结构分 析结果优化求解 , 使连续介质点的有无问题降格至 单元的有无问题 。降格处理充分利用了有限元结构 分析结果 ,易于敏度推导和数值计算 , 但同时造成设 计变量空间场的不连续性 , 而拓扑优化中的棋盘格 现象正是设计变量场不连续性的表象之一。以单元 变密度法为例 , 单 元内任意一点的密度 值ρ e 为常 数 , 单元内任意一点的位移 ue 通过单元形函数插值 计算得到 ,数学表达式为
[5 ,6 ] [4]
标函数的光滑性。通过数值算例对模型和方法进行 验证 。 1 静动态多目标连续体结构拓扑优化建模与求解 1. 1 节点独立变量法 节点独立变量定义为表征节点有无状态及其变 化过程的 [ 0 ,1] 闭区间上的实数 , 其中 0 和 1 分别对 应节点的无和有状态。与单元变密度法对比 , 节点 独立变量保留设计变量连续可微的优点 , 但与单元 变密度法不同之处在于两点 , 即变量的独立性和节 点有无表征性 。独立性特点指以独立于具体物理参 数的数学变量表征节点有无 , 将拓扑变量从挂靠于 微孔尺寸 、 平面厚度和单元密度等低层次变量抽象 出来 。连续介质点 i 处的物理量采用 [0 ,1 ] 区间内 连续光滑的插值函数建立与设计变量 x i 的关系 , 把 本质上的 0 - 1 离散变量映射为 [ 0 ,1 ]区间内的连续 变量 , i 点处的弹性模量 Ei 、 密度 ρ i 采用不同的插 值函数表示
M
6∫q ( x )
Ωe
e
q- 1
e= 1
6 ∫r ( x )
Ωe
e
r- 1
Ni dΩ
K= M =
e =1 M
6∫ ( x )
Ω
e
e
p
B D0 B dΩ Nρ 0 N dΩ
T
T
(5) (6)
1. 2 静动态多目标拓扑优化建模 在静态和动态拓扑优化问题中 , 常见的结构响 应量有静态柔顺度 C 、 节点位移 uj 和动态特征值λk 等。由有限元平衡方程和伴随向量法易推导得到各 自敏度表达式为
X = [ x ,x , 1 2
过滤平均效应将不可避免地产生图像扩散现象uj �Biblioteka …, xM ]Tω
u j ( X)
+ ( 1 - ω)
λ �k λ k ( X) ( 18 )
和大量的中间变量值节点 , 为了得到清晰光滑的拓 扑优化结果 ,这里采用的过滤策略为 : 在优化的初始 阶段 , 每轮优化迭代的结构分析前采用过滤技术以 得到大致的拓扑优化构型 ; 在基本拓扑构型的基础 上 ,不再使用过滤技术得到精细拓扑优化构型 , 由于 拓扑结果为节点变量分布 , 采用设计变量场云图方 式进行结果输出。 1. 4 拓扑优化求解算法 在拓扑优化优化求解方法中 , 以移动近似法 [ 22 ] 和序列二次规划法
X = [ x ,x , 1 2 T
…, xM ] T
ω
C ( X) C �
+ ( 1 - ω)
λ �k λ k ( X) ( 17)
ρ e = ρ , ue =
i=1
6
Ni u i
(8 )
s. t
V/ V0 - f = 0
式中 m 是单元节点总数 , Ni 是单元形函数 , ui 是单 元节点位移 。 在节点独立变量法中 , 单元内任意一点拓扑变 量值 x e 和位移值 u e 均通过单元形函数插值得到 ,数
M e= 1 M
∫
Ωe Ωe
( x e ) p B T D0 B dΩ
q e
(3 ) (4 )
me =
∫( x )
Nρ 0 N dΩ
T
6 ∫p ( x )
Ωe
e e =1 M
p- 1
Ni B D 0 B dΩ
T Ni N ρ 0 N dΩ
T
(10) ( 11) ( 12)
式中 D0 是初始弹性矩阵 , ρ 0 是初始密度 , B 是单 元应变矩阵 , N 是单元插值形函数 。由式 ( 3) ～ ( 4 ) 推导得总刚度阵 K 和总质量阵 M 表达式
收稿日期 : 2007 20520 8 ; 修回日期 :2007209210
[ 9] [8 ] [7 ]
(1)
式中 E 是初始弹性模量 , ρ 是初始密度 。 f E ( xi ) ,
f ρ ( x i ) 分别表示弹性模量和密度插值函数 , 采用固
体各向同性惩罚插值模型有 p q f E ( x i ) = ( xi ) , fρ( xi ) = ( x i ) ( p ≥1 , q ≥ 1) (2) 式中 p , q 分别表示弹性模量和密 度惩罚因子 。为
第2 期
龙 凯等 : 静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
45 7
避免频 率 拓 扑 优 化 问 题 中 的局 部 模 态 ( localized mode) 现象
[ 9 ,11]
学表达式为
m m
, 对弹性模量和密度给予相同的惩罚
以保持低密度区域的刚度阵和质量阵一致的衰减速 度 , 本文算例取参数 p = q = 3 。 由式 ( 1) ～ ( 2) 得单 元刚度阵 ke 、 单元 质量阵
关键词 : 连续体结构 ; 拓扑优化 ; 节点独立变量 ; 多目标 ; 优化准则
中图分类号 : O39 文献标识码 : A 文 章编 号 : 100021328 (2008) 02204562 05
0 引言 连续体结构拓扑优化被公认为结构优化研究领 域内的热点和难点之一[ 1 - 3 ] 。目前 ,结构拓扑优化设 计主要以单目标优化问题作为研究对象 ,而多目标优 化研究相对较少 。左孔天等 提出结构整体柔顺度 最小化和结构输出位移最大化的多目标微型柔性机 构设计方法 。罗震等
[ 2]
将棋盘格现象归结为离散问题
为代表的数 学规划法适用于
的解以 “弱收敛” 方式逼近原离散问题的真实解时出 现的现象 ,网格依赖性则由优化解不存在或不唯一 引起。Sigmund 和 Petersson
[14]
多约束拓扑优 化问题求解 中。在单约 束优化问题 中 ,优化准则法具有收敛速度快 , 结构分析次数与设 计变量数目和复杂程度无关等优点。为保持与常见 单元变密度法一致的优化求解算法 , 令体积惩罚因 子 r = 1 ,启发式优化准则法如式 (20) 所示 。 ( B (i k) ) ηx (i k)
0 < xmin ≤ xi ≤1 式中 ω 是权系数 , V0 和 V 分别表示初始和优化结 构体积 , f 是体积比 。为避免数值计算的奇异性 , 变 量下限取值 x mi n = 0. 001 。
458
宇航学报 dist ( i , j ) 是节点 i 和节点 j 的距离 。
第 29 卷
同理可得 , 节点位移最小和动态特征值最大组 成的多目标优化模型为 min
第 29 卷第 2 期 2008 年 3 月
宇 航 学 报
Journal of Astronautics
Vol. 29 No. 2 March 2008
静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
龙 凯 , 左正兴 , 闫清东
( 北京理工大学机械与车辆工程学院 , 北京 100081)
摘 要 : 为实现静动态多目标下的拓扑优化结构设计 ,以 静态 柔顺 度或 节点 位移最小 化和动态特 征值最大化 加权函数为目标 ,提 出并 建立 静动 态多 目标 连续 体结 构拓 扑优 化模 型 。单元 形函 数插值作 用下的节点 独立变量场 具有零阶连续性 ,在 连续 体结 构拓 扑描 述一 定程 度上避免 棋盘格 现象 。变量 独立性 在单元刚 度阵 、 单元 质量阵和 单元体积的建模中更具有灵活性 。规一化目标函数避 免不同 性质目标 函数的 量级差 异 。基于过 滤法进 一步改善 目标函数的光滑性 , 克服 了连 续体 拓扑 优化 中常 见数值不 稳定性 问题 。数值 算例结 果表明 ,模型 和方法 在静动态 多目标下连续体结构拓扑优化设计中的可行性和有效性 。