静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
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Ei = f E ( xi ) E i ,ρ i = f ρ ( xi ) ρ i
0 i 0 i 0 0
在柔顺结构拓扑优化建模
中 ,提出应变能最小化和互变能最大化多目标模型 ; 在某巡航导弹的结构设计中 ,提出静态柔顺度和动态 特征值序列分层的优化策略。刘加光等 基于模糊 集理论体现目标函数期望值的模糊性和不确定性 , 以 静态刚度和动态特征值加权目标建立连续体结构静 动力多目标优化模型。潘晋等 应用多目标拓扑优 化技术得到轻质卫星结构 。彭细荣等 基于独立连 续映射 (independent continuous mapping , ICM) 法 建立 静位移和频率多约束的重量最小化模型 。 针对静动态多目标拓扑优化问题 , 提出以静态 柔顺度或节点位移和动态特征值加权多目标优化模 型 。规一化目标函数消除了不同性质目标函数数值 量级上的差异 。在连续体结构拓扑优化建模中 , 以 节点独立变量为设计变量 , 保证设计变量场的连续 性 , 在连续体结构拓扑描述上克服了棋盘格现象 ,同 时方法在单元刚度阵、 质量阵和单元体积建模中具 有灵活性 。结合数字图像过滤技术 , 进一步改善目
[15 , 16 ]
将非 协调元和杂 交元应用于 结构拓扑 优化 通过限制结构内外边界总长度上 限值抑制
xi
( k+ 1)
中 , 结合过滤法得到理想的拓扑优化结果。周长约 束法
[ 17 ]
=
( k) max ( xmin , ( 1 - m) x i )
棋盘格现象 , 由于上限值需经过反复试验寻求合适 值 , 方法不易在工程问题中推广 。局部梯度法在优 化模型中增加大量的单元密度梯度约束方程 , 从而 造成优化求解的困难 。过滤法将数字图像处理技术 引入到拓扑优化中 ,尽管是一种启发式方法 ,但具有 类似局部梯度法的效果 ,方法简单且易于编程实现 , 在连续体结构拓扑优化中得 到广泛的应用[ 18 ] 。除 上述方法外 , 小波方法
[ 2]
将棋盘格现象归结为离散问题
为代表的数 学规划法适用于
的解以 “弱收敛” 方式逼近原离散问题的真实解时出 现的现象 ,网格依赖性则由优化解不存在或不唯一 引起。Sigmund 和 Petersson
[14]
多约束拓扑优 化问题求解 中。在单约 束优化问题 中 ,优化准则法具有收敛速度快 , 结构分析次数与设 计变量数目和复杂程度无关等优点。为保持与常见 单元变密度法一致的优化求解算法 , 令体积惩罚因 子 r = 1 ,启发式优化准则法如式 (20) 所示 。 ( B (i k) ) ηx (i k)
( k) ( k) η ( k) if : max ( xmin , (1 - m) x i ) < ( B i ) x i ( k) < min ( 1 , (1 + m) x i )
详细综述了数值不稳
定性问题常见解决方法。高阶等参元法从减小了结 构分析误差入手抑制棋盘格现象 , 但方法增加了结 构分析计算量 , 且无法从根本上消除该现象 。袁振 等
m
式 (13) ～ (15) 中 U 是静态位移向量 , U � k 是第 k 阶特 征值对应的模态向量 ,伴随向量 U ^ 满足伴随方程 ( 16) K^ U = Γ j 式中 Γ , 该向量除第 j 个分量 j = [ 0 ,0 , … ,1 , … ,0 ] 为 1 外 , 其余元素为 0 。 本文静动态多目标拓扑优化以静态柔顺度或节 点位移最小和动态特征值最大混合目标建立优化模 型 , 由于不同性质的结构响应量数值具有量级上的差 异 , 故而在优化建模时需规一化处理。设初始结构柔 顺度值 � C ,节点位移值 � u j 和特征值 λ �k , 静态柔顺度 最小和动态特征值最大组成的多目标优化模型为 min
X = [ x ,x , 1 2 T
…, xM ] T
ω
C ( X) C �
+ ( 1 - ω)
λ �k λ k ( X) ( 17)
ρ e = ρ , ue =
i=1
6
Ni u i
(8 )
s. t
V/ V0 - f = 0
式中 m 是单元节点总数 , Ni 是单元形函数 , ui 是单 元节点位移 。 在节点独立变量法中 , 单元内任意一点拓扑变 量值 x e 和位移值 u e 均通过单元形函数插值得到 ,数
关键词 : 连续体结构 ; 拓扑优化 ; 节点独立变量 ; 多目标 ; 优化准则
中图分类号 : O39 文献标识码 : A 文 章编 号 : 100021328 (2008) 02204562 05
0 引言 连续体结构拓扑优化被公认为结构优化研究领 域内的热点和难点之一[ 1 - 3 ] 。目前 ,结构拓扑优化设 计主要以单目标优化问题作为研究对象 ,而多目标优 化研究相对较少 。左孔天等 提出结构整体柔顺度 最小化和结构输出位移最大化的多目标微型柔性机 构设计方法 。罗震等
m e 表达式 ke =
xe =
i =1
6
Ni x i , u e =
i =1
6
Ni u i
(9)
由式 (8) ～ ( 9) 对比可知 , 单元形函数的插值作 用保证了节点独立设计变量场的连续性。 根据式 (9) , 将总刚度阵 K 、 总质量阵 M 和总体 积 V 对节点独立变量 xi 求偏导得 5K = 5 xi 5M = 5 xi 5V = 5 xi
[ 13 ]
e =1
6∫ ( x )
Ω
e
e
q
式中 M 是设计区域内的单元总数 。 根据节点独立变量定义 , 定义单元体积函数 Ve =
5C T 5 K =- U U 5 xi 5 xi 5 uj T 5 K ^ 5 xi = - U 5 xi U 5λ k 5 KU 5 MU = U �T � - λ �T � k kU k 5 xi 5 xi k 5 xi k
X = [ x ,x , 1 2
过滤平均效应将不可避免地产生图像扩散现象
uj �
…, xM ]T
ω
u j ( Baidu Nhomakorabea)
+ ( 1 - ω)
λ �k λ k ( X) ( 18 )
和大量的中间变量值节点 , 为了得到清晰光滑的拓 扑优化结果 ,这里采用的过滤策略为 : 在优化的初始 阶段 , 每轮优化迭代的结构分析前采用过滤技术以 得到大致的拓扑优化构型 ; 在基本拓扑构型的基础 上 ,不再使用过滤技术得到精细拓扑优化构型 , 由于 拓扑结果为节点变量分布 , 采用设计变量场云图方 式进行结果输出。 1. 4 拓扑优化求解算法 在拓扑优化优化求解方法中 , 以移动近似法 [ 22 ] 和序列二次规划法
0 < xmin ≤ xi ≤1 式中 ω 是权系数 , V0 和 V 分别表示初始和优化结 构体积 , f 是体积比 。为避免数值计算的奇异性 , 变 量下限取值 x mi n = 0. 001 。
458
宇航学报 dist ( i , j ) 是节点 i 和节点 j 的距离 。
第 29 卷
同理可得 , 节点位移最小和动态特征值最大组 成的多目标优化模型为 min
第 29 卷第 2 期 2008 年 3 月
宇 航 学 报
Journal of Astronautics
Vol. 29 No. 2 March 2008
静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
龙 凯 , 左正兴 , 闫清东
( 北京理工大学机械与车辆工程学院 , 北京 100081)
摘 要 : 为实现静动态多目标下的拓扑优化结构设计 ,以 静态 柔顺 度或 节点 位移最小 化和动态特 征值最大化 加权函数为目标 ,提 出并 建立 静动 态多 目标 连续 体结 构拓 扑优 化模 型 。单元 形函 数插值作 用下的节点 独立变量场 具有零阶连续性 ,在 连续 体结 构拓 扑描 述一 定程 度上避免 棋盘格 现象 。变量 独立性 在单元刚 度阵 、 单元 质量阵和 单元体积的建模中更具有灵活性 。规一化目标函数避 免不同 性质目标 函数的 量级差 异 。基于过 滤法进 一步改善 目标函数的光滑性 , 克服 了连 续体 拓扑 优化 中常 见数值不 稳定性 问题 。数值 算例结 果表明 ,模型 和方法 在静动态 多目标下连续体结构拓扑优化设计中的可行性和有效性 。
第2 期
龙 凯等 : 静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
45 7
避免频 率 拓 扑 优 化 问 题 中 的局 部 模 态 ( localized mode) 现象
[ 9 ,11]
学表达式为
m m
, 对弹性模量和密度给予相同的惩罚
以保持低密度区域的刚度阵和质量阵一致的衰减速 度 , 本文算例取参数 p = q = 3 。 由式 ( 1) ～ ( 2) 得单 元刚度阵 ke 、 单元 质量阵
[5 ,6 ] [4]
标函数的光滑性。通过数值算例对模型和方法进行 验证 。 1 静动态多目标连续体结构拓扑优化建模与求解 1. 1 节点独立变量法 节点独立变量定义为表征节点有无状态及其变 化过程的 [ 0 ,1] 闭区间上的实数 , 其中 0 和 1 分别对 应节点的无和有状态。与单元变密度法对比 , 节点 独立变量保留设计变量连续可微的优点 , 但与单元 变密度法不同之处在于两点 , 即变量的独立性和节 点有无表征性 。独立性特点指以独立于具体物理参 数的数学变量表征节点有无 , 将拓扑变量从挂靠于 微孔尺寸 、 平面厚度和单元密度等低层次变量抽象 出来 。连续介质点 i 处的物理量采用 [0 ,1 ] 区间内 连续光滑的插值函数建立与设计变量 x i 的关系 , 把 本质上的 0 - 1 离散变量映射为 [ 0 ,1 ]区间内的连续 变量 , i 点处的弹性模量 Ei 、 密度 ρ i 采用不同的插 值函数表示
收稿日期 : 2007 20520 8 ; 修回日期 :2007209210
[ 9] [8 ] [7 ]
(1)
式中 E 是初始弹性模量 , ρ 是初始密度 。 f E ( xi ) ,
f ρ ( x i ) 分别表示弹性模量和密度插值函数 , 采用固
体各向同性惩罚插值模型有 p q f E ( x i ) = ( xi ) , fρ( xi ) = ( x i ) ( p ≥1 , q ≥ 1) (2) 式中 p , q 分别表示弹性模量和密 度惩罚因子 。为
M
6∫q ( x )
Ωe
e
q- 1
e= 1
6 ∫r ( x )
Ωe
e
r- 1
Ni dΩ
K= M =
e =1 M
6∫ ( x )
Ω
e
e
p
B D0 B dΩ Nρ 0 N dΩ
T
T
(5) (6)
1. 2 静动态多目标拓扑优化建模 在静态和动态拓扑优化问题中 , 常见的结构响 应量有静态柔顺度 C 、 节点位移 uj 和动态特征值λk 等。由有限元平衡方程和伴随向量法易推导得到各 自敏度表达式为
( 13) ( 14) (15)
∫(x )
Ωe
e
r
dΩ ,式中 r 是体积惩罚因子 。总体积 V
表达式为
M
V =
e =1
6∫ ( x )
Ω
e
e
r
dΩ
(7)
节点独立变量区别于 ICM 法独立变量在于设 计变量表征节点的有无状态 [12 ] 。连续体拓扑优化 本质上是连续介质点的有无问题 , 大多数的连续体 结构拓扑优化方法如变密度法等基于有限元结构分 析结果优化求解 , 使连续介质点的有无问题降格至 单元的有无问题 。降格处理充分利用了有限元结构 分析结果 ,易于敏度推导和数值计算 , 但同时造成设 计变量空间场的不连续性 , 而拓扑优化中的棋盘格 现象正是设计变量场不连续性的表象之一。以单元 变密度法为例 , 单 元内任意一点的密度 值ρ e 为常 数 , 单元内任意一点的位移 ue 通过单元形函数插值 计算得到 ,数学表达式为
M e= 1 M
∫
Ωe Ωe
( x e ) p B T D0 B dΩ
q e
(3 ) (4 )
me =
∫( x )
Nρ 0 N dΩ
T
6 ∫p ( x )
Ωe
e e =1 M
p- 1
Ni B D 0 B dΩ
T Ni N ρ 0 N dΩ
T
(10) ( 11) ( 12)
式中 D0 是初始弹性矩阵 , ρ 0 是初始密度 , B 是单 元应变矩阵 , N 是单元插值形函数 。由式 ( 3) ～ ( 4 ) 推导得总刚度阵 K 和总质量阵 M 表达式
[ 23 ]
s. t
V/ V0 - f = 0
0 < x min ≤ xi ≤ 1 1. 3 过滤法克服拓扑优化中的数值不稳定性 各类方法下的连续体结构拓扑优化结果普遍存 在棋盘格现象和网格依赖性问题。前者指最优拓扑 结构出现有无单元交错布置现象 , 后者指针对同一 拓扑优化问题 ,优化结果随不同离散网格的不同而 有所不同。罗震等
0 i 0 i 0 0
在柔顺结构拓扑优化建模
中 ,提出应变能最小化和互变能最大化多目标模型 ; 在某巡航导弹的结构设计中 ,提出静态柔顺度和动态 特征值序列分层的优化策略。刘加光等 基于模糊 集理论体现目标函数期望值的模糊性和不确定性 , 以 静态刚度和动态特征值加权目标建立连续体结构静 动力多目标优化模型。潘晋等 应用多目标拓扑优 化技术得到轻质卫星结构 。彭细荣等 基于独立连 续映射 (independent continuous mapping , ICM) 法 建立 静位移和频率多约束的重量最小化模型 。 针对静动态多目标拓扑优化问题 , 提出以静态 柔顺度或节点位移和动态特征值加权多目标优化模 型 。规一化目标函数消除了不同性质目标函数数值 量级上的差异 。在连续体结构拓扑优化建模中 , 以 节点独立变量为设计变量 , 保证设计变量场的连续 性 , 在连续体结构拓扑描述上克服了棋盘格现象 ,同 时方法在单元刚度阵、 质量阵和单元体积建模中具 有灵活性 。结合数字图像过滤技术 , 进一步改善目
[15 , 16 ]
将非 协调元和杂 交元应用于 结构拓扑 优化 通过限制结构内外边界总长度上 限值抑制
xi
( k+ 1)
中 , 结合过滤法得到理想的拓扑优化结果。周长约 束法
[ 17 ]
=
( k) max ( xmin , ( 1 - m) x i )
棋盘格现象 , 由于上限值需经过反复试验寻求合适 值 , 方法不易在工程问题中推广 。局部梯度法在优 化模型中增加大量的单元密度梯度约束方程 , 从而 造成优化求解的困难 。过滤法将数字图像处理技术 引入到拓扑优化中 ,尽管是一种启发式方法 ,但具有 类似局部梯度法的效果 ,方法简单且易于编程实现 , 在连续体结构拓扑优化中得 到广泛的应用[ 18 ] 。除 上述方法外 , 小波方法
[ 2]
将棋盘格现象归结为离散问题
为代表的数 学规划法适用于
的解以 “弱收敛” 方式逼近原离散问题的真实解时出 现的现象 ,网格依赖性则由优化解不存在或不唯一 引起。Sigmund 和 Petersson
[14]
多约束拓扑优 化问题求解 中。在单约 束优化问题 中 ,优化准则法具有收敛速度快 , 结构分析次数与设 计变量数目和复杂程度无关等优点。为保持与常见 单元变密度法一致的优化求解算法 , 令体积惩罚因 子 r = 1 ,启发式优化准则法如式 (20) 所示 。 ( B (i k) ) ηx (i k)
( k) ( k) η ( k) if : max ( xmin , (1 - m) x i ) < ( B i ) x i ( k) < min ( 1 , (1 + m) x i )
详细综述了数值不稳
定性问题常见解决方法。高阶等参元法从减小了结 构分析误差入手抑制棋盘格现象 , 但方法增加了结 构分析计算量 , 且无法从根本上消除该现象 。袁振 等
m
式 (13) ～ (15) 中 U 是静态位移向量 , U � k 是第 k 阶特 征值对应的模态向量 ,伴随向量 U ^ 满足伴随方程 ( 16) K^ U = Γ j 式中 Γ , 该向量除第 j 个分量 j = [ 0 ,0 , … ,1 , … ,0 ] 为 1 外 , 其余元素为 0 。 本文静动态多目标拓扑优化以静态柔顺度或节 点位移最小和动态特征值最大混合目标建立优化模 型 , 由于不同性质的结构响应量数值具有量级上的差 异 , 故而在优化建模时需规一化处理。设初始结构柔 顺度值 � C ,节点位移值 � u j 和特征值 λ �k , 静态柔顺度 最小和动态特征值最大组成的多目标优化模型为 min
X = [ x ,x , 1 2 T
…, xM ] T
ω
C ( X) C �
+ ( 1 - ω)
λ �k λ k ( X) ( 17)
ρ e = ρ , ue =
i=1
6
Ni u i
(8 )
s. t
V/ V0 - f = 0
式中 m 是单元节点总数 , Ni 是单元形函数 , ui 是单 元节点位移 。 在节点独立变量法中 , 单元内任意一点拓扑变 量值 x e 和位移值 u e 均通过单元形函数插值得到 ,数
关键词 : 连续体结构 ; 拓扑优化 ; 节点独立变量 ; 多目标 ; 优化准则
中图分类号 : O39 文献标识码 : A 文 章编 号 : 100021328 (2008) 02204562 05
0 引言 连续体结构拓扑优化被公认为结构优化研究领 域内的热点和难点之一[ 1 - 3 ] 。目前 ,结构拓扑优化设 计主要以单目标优化问题作为研究对象 ,而多目标优 化研究相对较少 。左孔天等 提出结构整体柔顺度 最小化和结构输出位移最大化的多目标微型柔性机 构设计方法 。罗震等
m e 表达式 ke =
xe =
i =1
6
Ni x i , u e =
i =1
6
Ni u i
(9)
由式 (8) ～ ( 9) 对比可知 , 单元形函数的插值作 用保证了节点独立设计变量场的连续性。 根据式 (9) , 将总刚度阵 K 、 总质量阵 M 和总体 积 V 对节点独立变量 xi 求偏导得 5K = 5 xi 5M = 5 xi 5V = 5 xi
[ 13 ]
e =1
6∫ ( x )
Ω
e
e
q
式中 M 是设计区域内的单元总数 。 根据节点独立变量定义 , 定义单元体积函数 Ve =
5C T 5 K =- U U 5 xi 5 xi 5 uj T 5 K ^ 5 xi = - U 5 xi U 5λ k 5 KU 5 MU = U �T � - λ �T � k kU k 5 xi 5 xi k 5 xi k
X = [ x ,x , 1 2
过滤平均效应将不可避免地产生图像扩散现象
uj �
…, xM ]T
ω
u j ( Baidu Nhomakorabea)
+ ( 1 - ω)
λ �k λ k ( X) ( 18 )
和大量的中间变量值节点 , 为了得到清晰光滑的拓 扑优化结果 ,这里采用的过滤策略为 : 在优化的初始 阶段 , 每轮优化迭代的结构分析前采用过滤技术以 得到大致的拓扑优化构型 ; 在基本拓扑构型的基础 上 ,不再使用过滤技术得到精细拓扑优化构型 , 由于 拓扑结果为节点变量分布 , 采用设计变量场云图方 式进行结果输出。 1. 4 拓扑优化求解算法 在拓扑优化优化求解方法中 , 以移动近似法 [ 22 ] 和序列二次规划法
0 < xmin ≤ xi ≤1 式中 ω 是权系数 , V0 和 V 分别表示初始和优化结 构体积 , f 是体积比 。为避免数值计算的奇异性 , 变 量下限取值 x mi n = 0. 001 。
458
宇航学报 dist ( i , j ) 是节点 i 和节点 j 的距离 。
第 29 卷
同理可得 , 节点位移最小和动态特征值最大组 成的多目标优化模型为 min
第 29 卷第 2 期 2008 年 3 月
宇 航 学 报
Journal of Astronautics
Vol. 29 No. 2 March 2008
静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
龙 凯 , 左正兴 , 闫清东
( 北京理工大学机械与车辆工程学院 , 北京 100081)
摘 要 : 为实现静动态多目标下的拓扑优化结构设计 ,以 静态 柔顺 度或 节点 位移最小 化和动态特 征值最大化 加权函数为目标 ,提 出并 建立 静动 态多 目标 连续 体结 构拓 扑优 化模 型 。单元 形函 数插值作 用下的节点 独立变量场 具有零阶连续性 ,在 连续 体结 构拓 扑描 述一 定程 度上避免 棋盘格 现象 。变量 独立性 在单元刚 度阵 、 单元 质量阵和 单元体积的建模中更具有灵活性 。规一化目标函数避 免不同 性质目标 函数的 量级差 异 。基于过 滤法进 一步改善 目标函数的光滑性 , 克服 了连 续体 拓扑 优化 中常 见数值不 稳定性 问题 。数值 算例结 果表明 ,模型 和方法 在静动态 多目标下连续体结构拓扑优化设计中的可行性和有效性 。
第2 期
龙 凯等 : 静动态多目标下的连续体结构拓扑优化
45 7
避免频 率 拓 扑 优 化 问 题 中 的局 部 模 态 ( localized mode) 现象
[ 9 ,11]
学表达式为
m m
, 对弹性模量和密度给予相同的惩罚
以保持低密度区域的刚度阵和质量阵一致的衰减速 度 , 本文算例取参数 p = q = 3 。 由式 ( 1) ～ ( 2) 得单 元刚度阵 ke 、 单元 质量阵
[5 ,6 ] [4]
标函数的光滑性。通过数值算例对模型和方法进行 验证 。 1 静动态多目标连续体结构拓扑优化建模与求解 1. 1 节点独立变量法 节点独立变量定义为表征节点有无状态及其变 化过程的 [ 0 ,1] 闭区间上的实数 , 其中 0 和 1 分别对 应节点的无和有状态。与单元变密度法对比 , 节点 独立变量保留设计变量连续可微的优点 , 但与单元 变密度法不同之处在于两点 , 即变量的独立性和节 点有无表征性 。独立性特点指以独立于具体物理参 数的数学变量表征节点有无 , 将拓扑变量从挂靠于 微孔尺寸 、 平面厚度和单元密度等低层次变量抽象 出来 。连续介质点 i 处的物理量采用 [0 ,1 ] 区间内 连续光滑的插值函数建立与设计变量 x i 的关系 , 把 本质上的 0 - 1 离散变量映射为 [ 0 ,1 ]区间内的连续 变量 , i 点处的弹性模量 Ei 、 密度 ρ i 采用不同的插 值函数表示
收稿日期 : 2007 20520 8 ; 修回日期 :2007209210
[ 9] [8 ] [7 ]
(1)
式中 E 是初始弹性模量 , ρ 是初始密度 。 f E ( xi ) ,
f ρ ( x i ) 分别表示弹性模量和密度插值函数 , 采用固
体各向同性惩罚插值模型有 p q f E ( x i ) = ( xi ) , fρ( xi ) = ( x i ) ( p ≥1 , q ≥ 1) (2) 式中 p , q 分别表示弹性模量和密 度惩罚因子 。为
M
6∫q ( x )
Ωe
e
q- 1
e= 1
6 ∫r ( x )
Ωe
e
r- 1
Ni dΩ
K= M =
e =1 M
6∫ ( x )
Ω
e
e
p
B D0 B dΩ Nρ 0 N dΩ
T
T
(5) (6)
1. 2 静动态多目标拓扑优化建模 在静态和动态拓扑优化问题中 , 常见的结构响 应量有静态柔顺度 C 、 节点位移 uj 和动态特征值λk 等。由有限元平衡方程和伴随向量法易推导得到各 自敏度表达式为
( 13) ( 14) (15)
∫(x )
Ωe
e
r
dΩ ,式中 r 是体积惩罚因子 。总体积 V
表达式为
M
V =
e =1
6∫ ( x )
Ω
e
e
r
dΩ
(7)
节点独立变量区别于 ICM 法独立变量在于设 计变量表征节点的有无状态 [12 ] 。连续体拓扑优化 本质上是连续介质点的有无问题 , 大多数的连续体 结构拓扑优化方法如变密度法等基于有限元结构分 析结果优化求解 , 使连续介质点的有无问题降格至 单元的有无问题 。降格处理充分利用了有限元结构 分析结果 ,易于敏度推导和数值计算 , 但同时造成设 计变量空间场的不连续性 , 而拓扑优化中的棋盘格 现象正是设计变量场不连续性的表象之一。以单元 变密度法为例 , 单 元内任意一点的密度 值ρ e 为常 数 , 单元内任意一点的位移 ue 通过单元形函数插值 计算得到 ,数学表达式为
M e= 1 M
∫
Ωe Ωe
( x e ) p B T D0 B dΩ
q e
(3 ) (4 )
me =
∫( x )
Nρ 0 N dΩ
T
6 ∫p ( x )
Ωe
e e =1 M
p- 1
Ni B D 0 B dΩ
T Ni N ρ 0 N dΩ
T
(10) ( 11) ( 12)
式中 D0 是初始弹性矩阵 , ρ 0 是初始密度 , B 是单 元应变矩阵 , N 是单元插值形函数 。由式 ( 3) ～ ( 4 ) 推导得总刚度阵 K 和总质量阵 M 表达式
[ 23 ]
s. t
V/ V0 - f = 0
0 < x min ≤ xi ≤ 1 1. 3 过滤法克服拓扑优化中的数值不稳定性 各类方法下的连续体结构拓扑优化结果普遍存 在棋盘格现象和网格依赖性问题。前者指最优拓扑 结构出现有无单元交错布置现象 , 后者指针对同一 拓扑优化问题 ,优化结果随不同离散网格的不同而 有所不同。罗震等