导数---泰勒不等式专题

导数——泰勒不等式专题

一、泰勒公式：

泰勒公式，也称泰勒展开式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。如果一个函数足够平滑，即若函数)(x f 在包含0x 的某个闭区间],[b a 具有n 各阶导数，且在开区间),(b a 上存在1+n 阶导数，则对],[b a 上任意一点x ，有

).()(!

)()(!2)()(!1)(!0)()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中)(x R n 为泰勒展开式的余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.

我们更多的是用泰勒公式在00=x 的特殊形式：

)(!)

0(!2)

0(

!1)0(!0)0()(2

2x R x n f x f f f x f n n +++''+'+= .以下列举一些常见函数的泰勒公式：

++++=32!31

!21

!11

1x x x e x ①

+-+-=+4324

1

3121

)1ln(x x x x x ②

+-+-=753!71!51!31sin x x x x x ③

-+-=4

2!41!211cos x x x ④

++++=-32111x x x x ⑤从中截取片段，就构成了高考数学考察导数的常见不等式：

x e x +≥1①；

1ln -≤x x ②；

212

x x e x ++≥③对0≥x 恒成立；

x x x x

≤+≤+)1ln(1④对0≥x 恒成立；

x x x x ≤≤-sin 63

⑤对0≥x 恒成立；

2421cos 214

22x x x x +-≤≤-⑥对0≥x 恒成立

例1.（2010年新课标全国文科21）设函数.

)1()(2ax e x x f x --=（1）若2

1=a ，求)(x f 的单调区间；（2）若当0≥x 时0)(≥x f ，求实数a 的取值范围.例2.（2010年新课标全国理科21）设函数.

1)(2

ax x e x f x ---=（1）若0=a ，求)(x f 的单调区间；（2）当0≥x 时，0)(≥x f ，求实数a 的取值范围.

例3.（前两问同例2）设函数.

1)(2

ax x e x f x ---=（1）若0=a ，求)(x f 的单调区间；

（2）当0≥x 时，0)(≥x f ，求实数a 的取值范围；

（3）若0>x ，证明：2)1ln()1(x x e x >+-.例4.（2007年全国1卷理）设函数x x e

e x

f --=)(．

（Ⅰ）证明：()f x 的导数2)(≥'x f ；（Ⅱ）若对所有0≥x 都有ax x f ≥)(，求a 的取值范围．

例5.（2019北京四中期中考试）已知函数.

,31)(23R a ax x e

x f x ∈---=（1）当0=a 时，证明：当0≥x 时，0)(≥x f ；（2）当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.

例6.（2010全国2卷理科22）设函数x e

x f --=1)(.（1）证明：当1->x 时，x

x x f +≥

1)(;（2）若当0≥x 时，1)(+≤ax x x f ，求实数a 的取值范围.

例7.（2011新课标）已知函数ln ()1a x b f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．

（Ⅰ）求a ，b 的值；

（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1

x f x x >-．例8.（2020届鄂东南联考）已知函数]2

,

0[,sin )(π∈-=x x ax x f ，其中a 为常数.（1）若函数)(x f 在2,0[π上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1≤a 时，证明：361)(x x f ≤.

例9.（201辽宁理12）若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（

）A.21x e x x ++ 2

111

24

x x <-+C.21cos 12x x - D.21ln(1)8x x x +-

例10.（2013辽宁理21）已知函数32()(1),()12cos 2x x f x x e

g x ax x x -=+=+++.当[]0,1x ∈时，（1）求证：11()1x f x x

-≤≤+；（2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.