热点难点微专题八含参函数的零点问题

热点难点微专题八 含参函数的零点问题
(2) (1，＋∞) 解析：(1，＋∞) 因为函数 g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以函数 y
＝f(x)与函数 y＝g(x)的图象在区间(0，＋∞)上恰好有 2 个不同的交点．当 a≤0 时，
函数 f(x)＝x2＋x－a 在(0，＋∞)上递增，函数 g(x)在(0，＋∞)上递减，函数 y＝f(x)
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当 k>0 时，当且仅当点(16,8)在直线 y＝k(x－3)的上方且点(32,16)在直线 y＝k(x－3) 的下方(或在其上)时，两图象有两个公共点，可求出1269≤k<183；当 k<0 时，当且仅 当点(2,1)在直线 y＝k(x－3)的上方时，两图象有两个公共点，可求出－1<k<0，故 所求的实数 k 的取值范围是(－1,0)∪1269，183.
x<0 或 x>23，由 f′(x)<0 得 0<x<23，又 f(1)＝0，所以 g(x)＝|x4－x x3|＝－|fx|f|，x|，
x>0， x<0
的图象如图所示，则要保证直线 y＝a 与函数 g(x) 的图象有 3 个交点，必须有 a∈
0，247.
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专题综述 典型例题 课后作业
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【思维变式题组训练】 1. 已知函数 f(x)＝22，x－11≤，x<2. x≥2， 若方程 f(x)＝ax＋1 恰有一个解时，则实 数 a 的取值范围为________． 0，12∪－1＋2 5，1 解析：画出函数 y＝f(x)与 y＝ax＋1 的图象．当 y＝ax＋1 过 点 B(2,2)时，a＝12，此时方程有 2 个解；当 y＝ax＋1 与 f(x)＝2 x－1(x≥2)相切时，
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(1) 0，247 解析：易知 x＝0 为方程|x4－x3|＝ax 的根，下面只需要研究当 x≠0 时 的情形．当 x≠0 时，a＝|x3－x2|，令 f(x)＝x3－x2，f′(x)＝3x2－2x，由 f′(x)>0 得
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专课 题时 综作 述业
含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函 数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数 的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决 该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函 数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻 画边界位置，其间要注意导数的应用．
(0，＋∞)，f(x)在定义域上单调递增．因为 f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3－1＞0，所
以 f(x)在区间(2,3)有一个零点，则方程 lnx＋x－4＝0 在区间(2,3)有一根，所以 a＝2，
b＝3.
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2. 若关于 x 的方程 kx＋1＝lnx 有解，则实数 k 的取值范围是________． －∞，e12 解析：因为 x>0，所以 k＝lnxx－1，因此方程 kx＋1＝lnx 有解时，k 的
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【方法归类】 1. 确定函数零点的常用方法： (1) 若方程易求解时，用解方程判定法； (2) 数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点问题时，当从正面求解难 以入手时可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指 数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个熟悉图象 的交点问题求解．
是－∞，e12.
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3.
已知直线 y＝mx(m∈R)与函数 f(x)＝212－ x2＋121x，，
与函数 y＝g(x)的图象在区间(0，＋∞)上最多有一个交点，所以 a>0，令 F(x)＝f(x)
－g(x)＝xx22－ ＋22a1x－－aalxn－x＋alan，x－a，
0<x<a， x≥a，
因为当 0<x<a 时，F′(x)＝2(x－a)－ax
<0，当 x≥a 时，F′(x)＝2x＋2－2a－ax＝2(x－a)＋2x－x a>0，
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则有 ax＋1＝2 x－1，即 a2x2＋(2a－4)x＋5＝0，所以 Δ＝(2a－4)2－20a2＝0，解 得 a＝－1＋2 5，此时方程有 2 个解；当 y＝ax＋1 过点 A(1,2)时，a＝1，故实数 a 的取值范围为0，12∪－1＋2 5，1.
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第 1 题图
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2. 设函数 f(x)＝x－ex 1，
x≥a， g(x)＝f(x)－b.若存在实数 b，使得函数 g(x)
－x－1， x<a，
恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为________．
－1－e12，2 解析：对于函数 y＝x－ex 1，y′＝2－ex x， 可知 y＝x－ex 1在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，极大值为e12，当 x→＋∞时， y→0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第17页
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解得 x0＝e3，此时 k＝e13，当 k<0 时，当 y＝kx＋2 与曲线 y＝xx＋ ＋21相切于点(0,2)时， 函数 y＝f(x)和 y＝kx＋2 的图象只有 3 个公共点，不符合题意，此时 k＝－1，当－ 1<k<0 时，函数 y＝f(x)和 y＝kx＋2 的图象只有 3 个公共点，不符合题意，当直线 y＝kx＋2 与 y＝f(x)(0<x<1)相切时，两图象只有 3 个公共点，设切点(x0，－lnx0)， 则切线的斜率 k＝－x10，又 k＝－lnxx00－2，则－x10＝－lnxx00－2，
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填空题
课 后时 作 业
1. 若方程 lnx＋x－4＝0 在区间(a，b)(a，b∈Z，且 b－a＝1)上有一根，则 a 的值
为________．
2 解析：方程 lnx＋x－4＝0 的根为函数 f(x)＝lnx＋x－4 的零点．f(x)的定义域为
同的零点，那么实数 k 的取值范围是________.
(－1,0)∪1269，183 解析：函数 g(x)＝f(x)－k(x－3)恰有 2 个不同的零点，表示函数 y＝f(x)，y＝k(x－3)的图象有 2 个交点．画出 y＝f(x)和 y＝k(x－3)的图象，可以看
出．
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典课 型时 例作 题业
例1
已知函数 f(x)＝x2＋ax(a∈R)，g(x)＝ff′x，x，
x≥0， x<0.
若方程 g(f(x))＝0 有
4 个不等的实根，则 a 的取值范围是________．
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例 2 (1) 若关于 x 的方程|x4－x3|＝ax 在 R 上存在 4 个不同的实根，则实数 a 的取 值范围为________． (2) 已知函数 f(x)＝x2＋|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋alnx，若函数 y＝f(x)与函数 y＝g(x) 的图象恰好有 2 个不同的交点，则实数 a 的取值范围为________．
取值范围即为函数 f(x)＝lnxx－1的值域．又 f′(x)＝1x·x－xln2 x－1＝2－x2lnx，令 f′(x)
＝0，得 x＝e2.当 x∈(0，e2)时，f′(x)>0；当 x∈(e2，＋∞)时，f′(x)<0，所以当 x
＝e2 时，f(x)有极大值，也是最大值．所以 f(x)max＝f(e2)＝e12，故实数 k 的取值范围
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4. 已知 k 为常数，函数 f(x)＝xx＋ ＋21， x≤0， 若关于 x 的方程 f(x)＝kx＋2 有且 |lnx|， x>0，
只有 4 个不同解，则实数 k 的取值构成的取值集合为________． e13∪(－e，－1) 解析：作函数 y＝f(x)和 y＝kx＋2 的图象，如图所示，两图象 除了(0,2)还应有 3 个公共点，当 k≥0 时，直线应与曲线 y＝f(x)(x>1)相切，设切点 (x0，lnx0)，则切线斜率为 k＝x10，又 k＝lnxx0－0 2，则x10＝lnxx0－0 2，
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如图所示，只有当 b∈0，e12时，直线 y＝b 与曲线 y＝x－ex 1和直线 y＝－x－1 共有 3 个公共点．
第 2 题图 因为直线 y＝e12与直线 y＝－x－1 的交点为－1－e12，e12，
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解得 x0＝e－1，此时 k＝－e 不符合题意，当 k<－e 时，两图象只有 2 个公共点，不 合题意，而当－e<k<－1 时，两图象有 4 个公共点，符合题意，所以实数 k 的取值 范围是e13∪(－e，－1)．
所以当 a∈－1－e12，2时，直线 y＝b 与曲线 y＝f(x)才可能有 3 个公共点．
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x－1， 1≤x<2，
3. 已知函数 f(x)＝2f12x， x≥2，
如果函数 g(x)＝f(x)－k(x－3)恰有 2 个不
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所以 F(x)在(0，a)上递减，在(a，＋∞)上递增，故 F(x)min＝F(a)＝－a2＋a－alna， 结合 F(x)的图象可得，要使得 F(x)有两个零点，只需要 F(a)<0，即 a－1＋lna>0， 令 h(a)＝a－1＋lna，则 h′(a)＝1＋1a>0，所以 h(a)在(0，＋∞)上递增．又因为 h(1) ＝0，h1e<0，h(e)>0，所以 a>1，故实数 a 的取值范围为(1，＋∞)．
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2. 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： (1) 利用零点存在性定理构建不等式求解； (2) 分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解； (3) 转化为两熟悉图象的上下关系问题，从而构建不等式求解．
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a<0 或 a>2 解析： 令 f(x)＝t，则 g(t)＝0.当 a>0 时，由 g(t)＝0 得 t1＝0，t2＝－ a2，f(x)＝0 有两解，则 f(x)＝－a2也要有两解，f－a2＝－a42<－a2<0，解得 a>2；当 a ＝0 时，g(t)＝0 只有一根 0，f(x)＝0 只有一个解 0，不符合题意，舍去；当 a<0 时， 由 g(t)＝0 得 t1＝0，t2＝－a，f(x)＝0 有两解，f(x)＝－a>0 也有两解，此时方程 g(f(x)) ＝0 有四个不等的实根，综上可得实数 a 的取值范围是 a<0 或 a>2. 【方法归类】 求解复合方程问题时，往往把方程 f[g(x)]＝0 分解为 f(t)＝0 和 g(x) ＝t 处理，先从方程 f(t)＝0 中求 t，再代入方程 g(x)＝t 中求 x 的值．