4(3)实对称矩阵的特征值与特征向量

实对称矩阵
例1 用施密特正交化方法,将向量组 1 (1,1,1,1), 2 (1,1,0,4), 3 (3,5,1,1) 正交标准化.
解 先正交化，取
1 , 2 2 2 1 , 1 , 1
1 1 1,1,1,1
11 4 1,1,1,1 1,1,0,4 1111 0,2,1,3
[ m1 , m ] m1 [ m1 , m1 ]
此时向量组β1, β2,…,βm两两正交.
2009.8.15 4-3-8
实对称矩阵
1 2 m , e2 , , er , 取 e1 1 2 m
此时,向量组e1,e2,…,em为标准正交化的向量组. 说明
2009.8.15
4-3-10
实对称矩阵
3 3
8 14 0,2,1,3 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14
[ 1 , 3 ] [ , ] 1 2 3 2 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
1,1,2,0
第三节 实对称矩阵的相似矩阵
向量组的标准正交化
正交矩阵
实对称矩阵的对角化
2009.87.15
4-3-1
实对称矩阵
一、向量组的标准正交化
1.概念 定义1 设有n维向量α =(a1,a2, …,an)T, β =(b1,b2, …,bn)T,称a1b1+ a2b2+… +anbn为向量α,β 的内积, 记为[α,β],或αTβ . 既有 [α,β ]= a1b1+ a2b2+… +anbn 说明 内积是向量的一种运算,如果为α,β 都是列 向量可用矩阵的记号表示 [α,β ].
(1)这种构造正交向量组β1, β2,…,βm的方法称为
施密特正交化法. (2)设有m个m维向量组e1,e2,…,em为标准正交化
的向量组,那么任何一个m维向量α =(a1,a2, …,an)T
均可由e1,e2,…,em线性表示. 既有 a1e1 a 2 e2 a m em
2009.8.15 4-3-9
0 i j i , j 1,2,, m j 1 i j
T i
则称向量组α1, α2,…,αm,为标准正交化的向量组.
2009.8.15 4-3-5
实对称矩阵
定理1 如果n维向量组α1, α2,…,αm,为一组两两正 交化的非零向量组,则该向量组必线性无关. 证明 设有λ1, λ2,…, λm,使λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0 用α1T左乘上式有, λ1 α1T α1=0 由于α1≠0, 所以α1T α1=|| α12 ||≠0, 于是得λ1 =0. 同理得λ2=…=λm=0. 所以向量组α1, α2,…,αm必线性无关.
2009.8.15
4-3-4
实对称矩阵
定义3
设有n维向量α =(a1,a2, …,an)T,
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β =(b1,b2, …,bn)T,如果a1b1+ a2b2+… +anbn=0,则称 向量α,β 正交. 说明 零向量与任何向量均正交. 定义4 设有m个n维向量α1, α2,…, αm,如果它们是两 两正交的单位向量,既有
再单位化，
标准正交向量组
1 1 1 1 1 1 e1 1,1,1,1 , , , 1 2 2 2 2 2 1 2 1 3 0,2,1,3 e2 2 0 , , , 2 14 14 14 14
3 1 1 1 2 1,1,2,0 , , ,0 e3 3 6 6 6 6
2009.8.15
4-3-2
实对称矩阵
定义2 设有n维向量α =(a1,a2, …,an)T, 则称 a1b1+ a2b2+… +anbn≥0,称其平方根为向量α 的 长度或范数.记为||α || . 既有 || || T a1a1 a2 a2 an an 特别是||α||=1时,称此为单位向量.
[ 1 , 3 ] [ 2 ,3 ] 3 3 1 2 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
2009.8.15
4-3-6
实对称矩阵
说明 :
(1)如果n阶方阵A有n个两两正交的向量,则 矩阵必可对角化. (2) n个线性无关的向量未必是两两正交的.
2009.8.15
4-3-7
实对称矩阵
(2)向量组的标准正交化---施密特正交化法 设有m个线性无关的n维向量组α1, α2,…,αm, 令 (1) 1 1 1 , 2 ( 2) 2 2 1 , 1 , 1
[ 1 , 3 ] [ 2 ,3 ] ( 3) 3 3 1 2 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
( 4) m m
[ , ] [ , ]
[ 1 , 1 ]
1 m
1
[ 2 , 2 ]
2
m
2
2009.8.15
4-3-3
实对称矩阵
内积与长度具有下述运算律： (1) [α,β]= [β, α]; (2) [kα,β]= k[α,β]; (3) [α+γ,β]= [α,β]+[γ,β] ; (4)非负性 当 α≠0时, ||α||>0 ;当 α=0时, ||α||=0; (5)齐次性 ||λα||= |λ| ||α||; (6)三角不等式 ||α+β||= ||α||+||β||;
2009.8.15
4-3-11
实对称矩阵
例2 用施密特正交化方法,将向量组
T T
1 1,2,1 , 2 1,3,1 ,3 4,1,0 ,
T
正交标准化. T 解 1 1 1,2,1 1 , 2 4 T 2 2 1 1,3,1 1,2,1T 1 , 1 6 5 T 1,1,1 3