4(3)实对称矩阵的特征值与特征向量
合集下载
实对称矩阵特征值与特征向量的性质
实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵A的特征值, (a1, a2 ,, an )T
是对应的特征向量,即A 两边取共轭，得
A (1)
A (aij )nn
A,
(a , 1
a 2
,
,
an
)T
,由于A为实对称阵，故
AT
AT
A,
（1）两端取转置，得：
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
2 2 1
2
P 1
2
3
1
0
0 1
2 , 2
1 1 0
B 4 3 0 1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 , 1 (1,2, 1)T .
0
线性无关 的特征向 量只有一个
1 2 2 例：设A 2 2 4 ，求可逆阵P，使P1AP为对角阵。
1T A 11T .
1T A2 11T2.
21T2 11T2. (2 1)1T2 0.
1T2 0.
例：设1，1，1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
1 （1，1，1）T,2 （2，2，1）T是A的属于特征值1的特
征向量，求A的属于特征值1的特征向量。
设A的属于特征值 1的特征向量为3 （x1，x2，x3）T ,
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵A的特征值, (a1, a2 ,, an )T
是对应的特征向量,即A 两边取共轭，得
A (1)
A (aij )nn
A,
(a , 1
a 2
,
,
an
)T
,由于A为实对称阵，故
AT
AT
A,
（1）两端取转置，得：
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
2 2 1
2
P 1
2
3
1
0
0 1
2 , 2
1 1 0
B 4 3 0 1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 , 1 (1,2, 1)T .
0
线性无关 的特征向 量只有一个
1 2 2 例：设A 2 2 4 ，求可逆阵P，使P1AP为对角阵。
1T A 11T .
1T A2 11T2.
21T2 11T2. (2 1)1T2 0.
1T2 0.
例：设1，1，1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
1 （1，1，1）T,2 （2，2，1）T是A的属于特征值1的特
征向量，求A的属于特征值1的特征向量。
设A的属于特征值 1的特征向量为3 （x1，x2，x3）T ,
线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
矩阵的特征值与特征向量总结-全文可读
解得特征值为
2•
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解.
齐次线性方程组为 系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值 的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于 的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是 分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为 证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵 的A行*+列E式.
解 由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值 所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.
2•
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解.
齐次线性方程组为 系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值 的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于 的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是 分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为 证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵 的A行*+列E式.
解 由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值 所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.
线性代数矩阵的特征值与特征向量
线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。
在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。
希望能对读者理解这两个概念有所帮助。
1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。
（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。
（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。
（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。
3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。
具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。
具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。
6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。
（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。
（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。
实对称矩阵的特征值和特征向量
A (aij )nn A (aij )nn
实对称矩阵的性质:
1.(定理4.12)实对称矩阵的特征值都是实数.
推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量.
2.(定理4.13)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
定理4.4 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 定理2.15 正交向量组必线性无关.
推论 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 3.实对称矩阵的属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个. 4. n 阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量, 进而有n个单 位正交的特征向量. 5. 实对称矩阵必可对角化, 即 若A为实对称矩阵 , 则可逆矩阵P, 使P1 AP为对角矩阵 .
7.(定理4.14)若A为实对称矩阵 , 则正交矩阵Q, 使1.求A的所有互异的特征值 1 , 2 ,, m , 其中i的重数为ni , i 1,2,, m. 2.i , 解方程组(i E A) x 0, 求A的属于i的线性无关的特征向量 i1 , i 2 ,, ini . 3.利用Schmidt正交化方法将 i1 , i 2 , , ini 正交化, 再单位化, i 1,2, , m. 设所得的单位正交向量 组为1 , 2 , , n . 4.令Q ( 1 , 2 , , n ), 则Q为正交矩阵, 且 1 1 2 Q 1 AQ 2 m m
§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵: 对称的实矩阵. 共轭矩阵: 性质:
(1) A为实对称矩阵 A A AT . (2) AB A B , kB k B (k C ). (3)若A为实对称矩阵, 则 , R n , 有( A , ) ( , A ).
实对称矩阵的条件
实对称矩阵的条件
实对称矩阵是一种特殊的矩阵，它的特点如下：
1. 结构特点：实对称矩阵的元素都是实数，且矩阵的主对角线上的元素等于其对应的副对角线上的元素。
即矩阵具有对称性，对于任意行和列，都有a_{ij} = a_{ji}。
2. 特征值和特征向量：实对称矩阵具有实特征值，且特征值均为正实数。
其特征向量存在于对称轴上，即特征向量是对称的。
3. 行列式：实对称矩阵的行列式值大于0，即det(A) > 0。
4. 逆矩阵：实对称矩阵具有逆矩阵，且逆矩阵也是实对称矩阵。
即如果A是实对称矩阵，那么A^T = A^-1。
5. 合同关系：实对称矩阵与正定矩阵之间存在合同关系。
如果A是实对称矩阵，B是
正定矩阵，且A和B的尺寸相同，那么A和B之间存在合同关系，即A = B。
6. 谱分解：实对称矩阵可以通过谱分解得到其特征值和特征向量，从而将矩阵分解为对角矩阵与单位矩阵之和。
7. 线性变换：实对称矩阵可以表示线性变换，即如果A是实对称矩阵，那么A把一个向量映射到另一个向量，这两个向量具有相同的特征值。
总之，实对称矩阵具有对称性、实特征值、正行列式、逆矩阵等特性，并在线性代数中具有重要作用。
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
Step3 利用施密特正交化方法，把向量组 i1 , i2 , ... , ini 正交化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) . 再将所得正交向量组单位化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
8
0
4
6
0 4 1 2
3
6
2
1
A为对称矩阵
A对称矩阵的特征值都是实数.
说明：若A是实数域上的对称矩阵，则
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
1
,
0
2
2
T 2
T 1
1 1
1
1
0
1
1 2
1
1
0
1 2
1 2
1
再单位化得
1
(
1 2
,
1 2
,
0
)T
,
2
(
1 , 6
1, 6
2 )T 6
1
设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故
(1 , x) = x1 + x2 + x3 = 0
Step3 利用施密特正交化方法，把向量组 i1 , i2 , ... , ini 正交化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) . 再将所得正交向量组单位化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
8
0
4
6
0 4 1 2
3
6
2
1
A为对称矩阵
A对称矩阵的特征值都是实数.
说明：若A是实数域上的对称矩阵，则
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
1
,
0
2
2
T 2
T 1
1 1
1
1
0
1
1 2
1
1
0
1 2
1 2
1
再单位化得
1
(
1 2
,
1 2
,
0
)T
,
2
(
1 , 6
1, 6
2 )T 6
1
设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故
(1 , x) = x1 + x2 + x3 = 0
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
P13P13-4
第三章
5.Def.: 设α , β ∈ Rn , 如果 αTβ = 0, 则称向量 α , β 正交. 则称向量 正交. 注: (1) Rn 中的零向量与任意向量都正交; 中的零向量与任意向量都正交 都正交; (2) 与自身正交的向量只能是零向量; 与自身正交的向量只能是零向量; (3) 正交的几何意义: αT β = || α || · || β || cos θ 正交的几何意义: 6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零 若一个非零向量组( 非零向量组 向量) 中的向量两两正交, 则称非 向量两两正交 向量) α1 , α2 , … , αs (s ≥ 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 α1 , α2 , … , αs 为一个正交向量组. 为一个正交向量组 正交向量组. 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量， 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 向量 该向量组为正交单位向量组 正交单位向量组. 该向量组为正交单位向量组. 是一个正交向量组, 7.Th.: 设 α1 , α2 , … , αs 是一个正交向量组, 则α1,α2 , …,αs 线性无关. 线性无关.
P13P13-3
n
i=1
第三章
3.Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T ∈ Rn ，称 (α,α ) = α Tα (a 为向量 α 的长度(或模)，记作 || α || . 即 的长度(
α = αα=
T
∑a
i=1
n
2 i
单位向量. 如果 || α || = 1，则称 α 为单位向量 ， 1 ∀ α ≠ 0 ，则 为单位向量或标准化向量. α 为单位向量或标准化向量. 4. 长度的性质
第三章
5.Def.: 设α , β ∈ Rn , 如果 αTβ = 0, 则称向量 α , β 正交. 则称向量 正交. 注: (1) Rn 中的零向量与任意向量都正交; 中的零向量与任意向量都正交 都正交; (2) 与自身正交的向量只能是零向量; 与自身正交的向量只能是零向量; (3) 正交的几何意义: αT β = || α || · || β || cos θ 正交的几何意义: 6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零 若一个非零向量组( 非零向量组 向量) 中的向量两两正交, 则称非 向量两两正交 向量) α1 , α2 , … , αs (s ≥ 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 α1 , α2 , … , αs 为一个正交向量组. 为一个正交向量组 正交向量组. 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量， 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 向量 该向量组为正交单位向量组 正交单位向量组. 该向量组为正交单位向量组. 是一个正交向量组, 7.Th.: 设 α1 , α2 , … , αs 是一个正交向量组, 则α1,α2 , …,αs 线性无关. 线性无关.
P13P13-3
n
i=1
第三章
3.Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T ∈ Rn ，称 (α,α ) = α Tα (a 为向量 α 的长度(或模)，记作 || α || . 即 的长度(
α = αα=
T
∑a
i=1
n
2 i
单位向量. 如果 || α || = 1，则称 α 为单位向量 ， 1 ∀ α ≠ 0 ，则 为单位向量或标准化向量. α 为单位向量或标准化向量. 4. 长度的性质
求实对称矩阵的特征值和特征
求实对称矩阵的特征值和特征求实对称矩阵的特征值和特征向量求实对称矩阵的特征值和特征向量是线性代数中一个基本的问题。
特征值和特征向量代表了矩阵在空间中的性质，具有重要的应用价值。
本文将系统地介绍求解实对称矩阵的特征值和特征向量的方法。
一、什么是实对称矩阵实对称矩阵指的是元素都为实数的方阵，其转置矩阵等于自己。
即，对于一个n阶实对称矩阵A，有A = A^T。
实对称矩阵在矩阵理论中非常重要，因为它们具有很多优秀性质，例如对称性和正交性等。
二、求实对称矩阵的特征值和特征向量的步骤特征向量代表的是方阵在某一方向上的拉伸效应，而特征值代表的则是这个拉伸效应的大小。
因此，求解实对称矩阵的特征值和特征向量可以从以下几个步骤入手：1. 求出矩阵的特征多项式设A为一个n阶实对称矩阵，则其特征多项式为：f(λ) = det(λI - A)其中λ为待求的特征值，I为n阶单位矩阵。
求出特征多项式后，我们可以通过对其进行分解，从而求出矩阵的特征值。
2. 求解特征值将特征多项式f(λ)分解为：f(λ) = (λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)其中λ1, λ2, …, λn为n个特征值，可以通过求解f(λ)=0的方程组得到。
特别地，由于我们在求解过程中使用的是实对称矩阵，因此得到的所有特征值都是实数。
3. 求解特征向量求解特征向量的方法有很多种。
一种比较简单的方法是，对于矩阵A的每一个特征值λi，解出下面的方程组：(A-λiI)xi = 0其中xi为λi对应的特征向量。
由于A是实对称矩阵，因此这个方程组的解可以通过高斯消元或LU分解等方式求解。
4. 将特征向量规范化在求解出特征向量后，为了便于后续的处理，需要将它们进行规范化。
具体地，我们将特征向量xi除以其模长，使得其模长等于1。
即：||xi|| = 1这样做的好处是，保证了特征向量之间的正交性，也就是说它们构成了一个规范正交基。
三、总结求解实对称矩阵的特征值和特征向量是线性代数中一个重要的问题。
第三节 实对称矩阵的特征值与特征向量
[a 3 , b1] b1
2
[a 2 , b1] b1
2
2
b1
b1 +
[a 3 , b2] b2
2
b2
b1= a1
[a 2 , b1 ] b1
2
[a 3 , b1] b1
b1
a 2 在 b1 上的 投影向量
a 3 在b1上的 投影向量
b1
例3
设 a 1 = (1, − 1, − 1) , 求求求向量
α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交。 两两正交。
正交单位向量组： 两两正交， 正交单位向量组： 求求实向量 α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交， 标准正交向量组） 且每个向量长度全为1。 （标准正交向量组） 且每个向量长度全为 。
1( i = j ) 即 (α i ,α j ) = 0( i ≠ j )
1 0 1 0 1 0
x1 = −x3 , ∴ x2 = 0.
−1 取 a3 = 0 即可 即可. 1
− 1 令 x3 = 1，得基础解系 ξ = 0 . 1
2. Schmidt正交化、单位化法。 正交化、单位化法。 正交化 定义5： 定义 ： 正交向量组： 正交向量组：求求实向量
定理：正交向量组是线性无关的。 定理：正交向量组是线性无关的。
线性无关。 设a1 , a 2 , L , a r 为正交向量组 , 则a1 ,L, a r 线性无关。 定理 T 证 设λ1 a1 + λ 2 a 2 + L + λ r a r = 0 两端左乘 a 1 : T T T T ⇒ λ1 a 1 a 1 = 0 ⇒ λ1 a1 a1 + λ 2 a1 a 2 + L + λ r a1 a r = 0
2
[a 2 , b1] b1
2
2
b1
b1 +
[a 3 , b2] b2
2
b2
b1= a1
[a 2 , b1 ] b1
2
[a 3 , b1] b1
b1
a 2 在 b1 上的 投影向量
a 3 在b1上的 投影向量
b1
例3
设 a 1 = (1, − 1, − 1) , 求求求向量
α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交。 两两正交。
正交单位向量组： 两两正交， 正交单位向量组： 求求实向量 α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交， 标准正交向量组） 且每个向量长度全为1。 （标准正交向量组） 且每个向量长度全为 。
1( i = j ) 即 (α i ,α j ) = 0( i ≠ j )
1 0 1 0 1 0
x1 = −x3 , ∴ x2 = 0.
−1 取 a3 = 0 即可 即可. 1
− 1 令 x3 = 1，得基础解系 ξ = 0 . 1
2. Schmidt正交化、单位化法。 正交化、单位化法。 正交化 定义5： 定义 ： 正交向量组： 正交向量组：求求实向量
定理：正交向量组是线性无关的。 定理：正交向量组是线性无关的。
线性无关。 设a1 , a 2 , L , a r 为正交向量组 , 则a1 ,L, a r 线性无关。 定理 T 证 设λ1 a1 + λ 2 a 2 + L + λ r a r = 0 两端左乘 a 1 : T T T T ⇒ λ1 a 1 a 1 = 0 ⇒ λ1 a1 a1 + λ 2 a1 a 2 + L + λ r a1 a r = 0
实对称矩阵的特征值和特征向量
由于对称矩阵A的特征值 i 为实数,所以齐次
线性方程组
(A i E)x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
系, 从 而 对 应 的 特 征 向 量 可以 取 实 向 量.
P4/12
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
定理3.10 设1, 2是对称矩阵的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量. 若1 2, 则p1, p2正交.
二、用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤
1) 作 E A 0 求诸i, i = 1, 2, …, m
2) 解 (iE A)x 0 得基础解系
i1 ,i 2 ,L , r i,nri i r (i E A)
3) 正交化得 i1 ,i 2 ,L i,nri
4) 单位化得 ij
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
1
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
一、对称矩阵的性质
本节所提到的对称矩阵, 除非特别说 明, 均指实对称矩阵．
定理3.9 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 ,复向量x为
对应的特征向量,
P8/12
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
将1 = 3代入(EA) x = 0, 得基础解系 a1 = (2, 1, 0)T, a2 = (2, 0, 1)T.
将其正交化：
b1 = a1,
b2
a2
a2 b1
, ,
b1 b1
b1
2, 0,1T
4 2,1, 0T
例3.6 设三阶对称阵A的特征值1 = 0, 2 = 1(二重). 属于1的特征向量为a1 = (0, 1, 1)T, 求A. 解 对应于2 = 1的线性无关的特征向量有两个, 设为a2, a3. 则a2, a3均a1与正交, 即满足
线性方程组
(A i E)x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
系, 从 而 对 应 的 特 征 向 量 可以 取 实 向 量.
P4/12
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
定理3.10 设1, 2是对称矩阵的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量. 若1 2, 则p1, p2正交.
二、用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤
1) 作 E A 0 求诸i, i = 1, 2, …, m
2) 解 (iE A)x 0 得基础解系
i1 ,i 2 ,L , r i,nri i r (i E A)
3) 正交化得 i1 ,i 2 ,L i,nri
4) 单位化得 ij
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
1
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
一、对称矩阵的性质
本节所提到的对称矩阵, 除非特别说 明, 均指实对称矩阵．
定理3.9 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 ,复向量x为
对应的特征向量,
P8/12
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
将1 = 3代入(EA) x = 0, 得基础解系 a1 = (2, 1, 0)T, a2 = (2, 0, 1)T.
将其正交化：
b1 = a1,
b2
a2
a2 b1
, ,
b1 b1
b1
2, 0,1T
4 2,1, 0T
例3.6 设三阶对称阵A的特征值1 = 0, 2 = 1(二重). 属于1的特征向量为a1 = (0, 1, 1)T, 求A. 解 对应于2 = 1的线性无关的特征向量有两个, 设为a2, a3. 则a2, a3均a1与正交, 即满足
线性代数3.3实对称矩阵的特征值和特征向量
05
实对称矩阵的应用举例
在二次型中的应用
二次型的标准型
通过实对称矩阵的正交变换，可 以将二次型化为标准型，从而简 化问题的求解。
二次型的正定性
利用实对称矩阵的特征值性质， 可以判断二次型的正定性，进而 解决优化问题。
二次曲面分类
实对称矩阵的特征值和特征向量 可用于二次曲面的分类，如椭球 面、双曲面等。
1. 求出矩阵$A$的特征多项式$f(lambda)$。
3. 对于每个特征值$lambda_i$，求出对应的特征向量 $alpha_{i1}, alpha_{i2}, ldots, alpha_{ik}$，其中$k$是 $lambda_i$的重数。
5. 计算$P^{-1}AP = Lambda$，其中$Lambda = text{diag}(lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n)$。
线性代数3.3实对称 矩阵的特征值和特征
向量
目录
• 引言 • 实对称矩阵的应用举例 • 总结与展望
01
引言
课程背景与目标
课程背景
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个学科领域。实对称矩阵作为一 类特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。特征值和特征向量是矩阵理论中的 核心概念，对于理解矩阵的性质和解决实际问题具有重要意义。
迭代法
通过构造迭代序列来逼近特 征值和特征向量，如幂法、 反幂法等。
特征值与矩阵性质的关系
特征值与矩阵的行列式
矩阵的所有特征值的乘积等于其行列式 的值。
特征值与矩阵的秩
如果矩阵至少有一个非零特征值，则 其秩大于等于1；如果矩阵所有特征
值都为零，则其秩为零。
特征值与矩阵的迹
实对称矩阵特点
实对称矩阵特点
1.对角线上的元素均为实数：由于实对称矩阵的转置与自身相等，因
此对角线上的元素必然与转置后的对应位置上的元素相等。
由于元素的值
是实数，在转置过程中不会发生变化，所以实对称矩阵的对角元素一定是
实数。
2.非对角线上的元素成对称分布：由于实对称矩阵的转置与自身相等，非对角线上的元素在转置过程中必然改变位置，但对应位置上的元素值相等。
这意味着实对称矩阵的非对角线上的元素在矩阵中成对称分布。
3.特征值为实数：实对称矩阵具有一个重要的性质，即其特征值一定
都是实数。
这个性质非常有用，因为它简化了对实对称矩阵进行特征值分
解等相关运算的计算过程。
4.特征向量正交：对于实对称矩阵，其相应于不同特征值的特征向量
是正交的。
也就是说，设A是一个实对称矩阵，某和y是A的两个特征向量，对应的特征值分别为λ和μ。
那么，某和y满足内积(某,y)=0，即
两个不同特征值对应的特征向量正交。
这个特性使得实对称矩阵在某些问
题中具有更方便的计算性质。
5.对称矩阵的特殊情况：实对称矩阵是对称矩阵的一种特殊情况。
对
称矩阵是指矩阵中的元素关于主对角线对称，而实对称矩阵不仅具有这个
特点，还满足转置与自身相等的条件。
所以实对称矩阵也被称为对称矩阵。
对称矩阵的特征值和特征向量二-新
17
跳转到第一页
对 2E A X 0的系数矩阵2E A施行初等行变换, 化为行最简形矩阵
2 E A 0 1 0 1 0 0
2 2 0
2 3 2
0 1 2 0 0 4
1 1 2
0 2 4
3.求正交矩阵P , 使得P 1 AP为对角矩阵
13
跳转到第一页
例1 利用正交矩阵将对称矩阵A 对角化
2 2 0 A 2 1 2 0 2 0
解: 第一步,求矩阵A的特征值
2
E A
2 0
2 0 1 2 2
14
跳转到第一页
2
12
跳转到第一页
三、 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化， 其具体步骤为：
1.求A的全部特征值1 , 2 , , n
2.由 i E A x 0(i 1, 2 , n), 求出A 的属于i的极大线性无关特征向量组, 并将极大线性无关特征向量组中的特征向量 正交化、单位化.
*证 对实对称矩阵的阶数,采用数学归纳法证明. 当k =1,A为1阶实对称矩阵,A a , 有E 1 , 使得E 1 AE =E T AE = 1 , 其中1 a .定理成立. 假设k =n-1定理成立.
7
当k =n, 设A为n阶实对称矩阵, 第一步 构建一个正交矩阵M , 设1是属于A的特征值1的一个单位特征向量, 使用施密特方法选n-1个非零向量 2 , , n , 使得1 , 2 , , n , 为正交单位向量组, 以1 , 2 , , n , 为列向量构建一个正交矩阵M , M (1 , 2 , , n )
实对称矩阵特征值和特征向量
2. 内积的性质
(1) ( , ) = ( , ) ;
(2) (k , )= k( , );
(3) ( + , )= (, )+ ( , );
(4) ( , ) 0 , 且( ,)= 0 = 0 .
其中 , , 为 Rn 中的任意列向量，k R .
P13-2
第三章
3.Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T Rn ，称 ( , ) T
s1
( s (2
, ,
2 2
) )
2
( s (1
, ,
1 1
) )
1
例1 求与向量组
1 = (1, 1, 1)T ,2 = (1, -2, -3)T ,3 = (1, 2, 2)T
等价的一个正交单位向量组.P13-6第三章Fra bibliotek例2 已知
1 1, 1, 1T , 2 1, 1, 3T
求 3 使之与1 , 2 都正交.
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
3
3
(3 , 2 ) (2 , 2 )
2
(3 , 1 ) (1, 1)
1
s
s
( s , s1 ) ( s1 , s1 )
s1
( (
s 2
, ,
2 2
) )
2
( s (1
, ,
1 1
) )
1
则 1 , 2 , … , s 是一个正交向量组, 且
{ 1 , 2 , … , s } { 1 , 2 , … , s }
Q-1AQ 成为对角矩阵.
四、实对称矩阵对角化方法
例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
(1) ( , ) = ( , ) ;
(2) (k , )= k( , );
(3) ( + , )= (, )+ ( , );
(4) ( , ) 0 , 且( ,)= 0 = 0 .
其中 , , 为 Rn 中的任意列向量，k R .
P13-2
第三章
3.Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T Rn ，称 ( , ) T
s1
( s (2
, ,
2 2
) )
2
( s (1
, ,
1 1
) )
1
例1 求与向量组
1 = (1, 1, 1)T ,2 = (1, -2, -3)T ,3 = (1, 2, 2)T
等价的一个正交单位向量组.P13-6第三章Fra bibliotek例2 已知
1 1, 1, 1T , 2 1, 1, 3T
求 3 使之与1 , 2 都正交.
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
3
3
(3 , 2 ) (2 , 2 )
2
(3 , 1 ) (1, 1)
1
s
s
( s , s1 ) ( s1 , s1 )
s1
( (
s 2
, ,
2 2
) )
2
( s (1
, ,
1 1
) )
1
则 1 , 2 , … , s 是一个正交向量组, 且
{ 1 , 2 , … , s } { 1 , 2 , … , s }
Q-1AQ 成为对角矩阵.
四、实对称矩阵对角化方法
例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
3.3实对称矩阵的特征值和特征向量(简)
1 1 Q AQ n
2
实对称矩阵的特征值的性质 一、 定理3.12 实对称矩阵的特征值都是实数. 则 说明： 若A是实数域上的 对称矩阵，
a 11
E A
a 21 a n1
n
a 12
a1n a2n
| A | | E A |
） 移项得： （| A | 1 | E A | 0 即 2 | E A | 0 | E A | 0
例 4 . 设矩阵 A 与 B 相似 , 1 其中 A 2 3 1 4 3 1 2 2 , B 0 a 0 0 2 0 0 0 , b
T
1 ( T ) T 1 T A T A T ( A ) T
( 2 ) 2( T )
( 1 2 )( T ) 0 1 2
0
T
即
定理3.14 设A是n阶实对称矩阵, 则存在n阶正交
a 22
an2
n2
a nn
nm
( 1 ) 1 ( 2 )
...( m )
1 , 2 , ..., m 都是实数.
定理3.13 实对称矩阵的 对应于不同特征值的 特征向量 是相互正交的. A是实对称矩阵, A的两个特征值 1 , 2 1 2 则 A 1 A 2 证
1 1 1 1
1, 2 ,
1
两两正交.再将它们单位化.
1
2 1 1 1 2 2 2 1 0
6 1 2 2 1 6 32 2 3 2 6
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
0 2 3
1
2
0
解
E A 2
0
2
2
2
( 1)( 2 )( 5 )
特征值:
3 1 1, 2 2 , 3 5
0
特征向量分别为:
1 , 2 , 3 不同， 1 , 2 , 3 两两正交， 现把它们单位化. 2 1 2 3 3 3 1 1 1 1 3 32 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 3 3 1 2 2 2 1 3 3 3 则 1 , 2 , 3 是单位正交向量组 . 2 x3
1 1 1 , 3 0 0 1
也即 x1 + x2 + x3 = 0
2
x1 x 2 x 3
解得其基础解系为
1 1 0 1 0 1
3
解 设特征值 3 对应的特征向量为
则 x 必与 1 正交， 即 x 1 0 .
T
也即 x1 + x2 + x3 = 0
2
1 1 1 , 3 0 0 1
x1 x x2 x3
令 3） Q ( 1 , 2 , , n ）， 则正交矩阵
Q
1
Q 使得
AQ Λ
例3 求一个三阶实对称矩阵A, 它的特征值为6,3,3,
且对应于6的一个特征向量为1 (1,1,1) .
T
析
实对称矩阵一定可以对角化， 6
则存在可逆矩阵 P， 有 P
4.3 实对称矩阵的特征值特征向量
用α i与上式两边内积运算得：α
得 k 1α
i Tα 1+k2α i Tα 2+…+kiα i Tα
i
T(k
1α 1+k2α 2+…+ksα s)=0,
Tα s=(i=1,2,…,s)
i+…+ksα i
又 α iTα j=0 (i≠j) 所以有： kiα iTα i=0 (i=1,2,…,s) 又 α i≠0 得α iTα i>0 因此： ki＝0 （i=1,2,…s）,则 α 1,α 2,…α s线性无关。
可得:
x1T T x2 T Q Q x T n
x1
x2
xn
T x1T x1 x1 x2 T T x2 x1 x 2 x2 T x Tx x n x2 n 1 ∵Q为正交矩阵等价于 QTQ＝I
(3)∣α Tβ |≤‖α ‖‖β ‖
即是
a1b1 a2b2 an bn
a
i 1
n
2 i
bi2
i 1
n
此不等式称柯西－布涅可夫斯基不等式,下面证明此不等式 证明: (1)当α与β线性相关时,有α＝kβ或β＝kα,显然有
∣αTβ|＝‖α‖‖β‖
(2)当α与β线性无关时，对任一实数x, 有: xα+β≠0 因此恒有 ‖xα+β‖>0 即有 ‖xα+β‖2＝（xα+β）T(xα+β) ＝(xαT+βT)( xα+β) ＝(αTα)x2+(αTβ+βTα)x+βTβ ＝(αTα)x2+(2αTβ)x+βTβ>0 所以有 恒成立.
实对称矩阵的特征值和特征向量
把 1(2,1,0)T 2(2,0,1)T
正交化：
11(2,1, 0)T
2
2
12TT111
(2,0,1)T
4(2,1,0)T(2,4,1)T
5
55
将 1,2,3单位化，得到
21 1 12 2
5(2,1,0)T 5
5(2,4,5)T 15
1 0 1
1 0 1
1 11
2(0,1,1)T 2
32 3 322
(1,0, 0)T 2(0,1,1)T
2
一、 实对称矩阵特征值的性质
定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。
证明：设 A是n阶实对称矩阵， 0是矩阵 A的在复数 域上的任一特征值，属于 0 的特征向量为
(a 1,a2, ,an)T
则 A0 ( 0 )，于是，两边取复数共轭得到
在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。
（实对称矩阵A 的标准形！！）
例2 对矩阵 2 2 2 A 2 1 4 2 4 1
求一正交阵 Q , 使 Q1AQ 成对角矩阵。 解： 矩阵 A的特征多项式为
22 2 2 2 0 d eE tA ()2 142 1 3
A 0 A 0 A 0 (4.11)
实对称矩阵特征值的性质
对最后一式取复数转置， 得到
TA0T
定理4.12 实对称矩阵 的特征值都是实数。
两边再右乘 ， 得到 T A 0 T 0 T 0 T ( 0 0 ) T 0
1
Q TA Q Q 1A Q
于是 AQQT
2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实对称矩阵
例1 用施密特正交化方法,将向量组 1 (1,1,1,1), 2 (1,1,0,4), 3 (3,5,1,1) 正交标准化.
解 先正交化，取
1 , 2 2 2 1 , 1 , 1
1 1 1,1,1,1
11 4 1,1,1,1 1,1,0,4 1111 0,2,1,3
再单位化，
标准正交向量组
1 1 1 1 1 1 e1 1,1,1,1 , , , 1 2 2 2 2 2 1 2 1 3 0,2,1,3 e2 2 0 , , , 2 14 14 14 14
3 1 1 1 2 1,1,2,0 , , ,0 e3 3 6 6 6 6
[ m1 , m ] m1 [ m1 , m1 ]
此时向量组β1, β2,…,βm两两正交.
2009.8.15 4-3-8
实对称矩阵
1 2 m , e2 , , er , 取 e1 1 2 m
此时,向量组e1,e2,…,em为标准正交化的向量组. 说明
[ 1 , 3 ] [ 2 ,3 ] 3 3 1 2 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
2009.8.154-Fra bibliotek-4实对称矩阵
定义3
设有n维向量α =(a1,a2, …,an)T,
β =(b1,b2, …,bn)T,如果a1b1+ a2b2+… +anbn=0,则称 向量α,β 正交. 说明 零向量与任何向量均正交. 定义4 设有m个n维向量α1, α2,…, αm,如果它们是两 两正交的单位向量,既有
2009.8.15
4-3-3
实对称矩阵
内积与长度具有下述运算律： (1) [α,β]= [β, α]; (2) [kα,β]= k[α,β]; (3) [α+γ,β]= [α,β]+[γ,β] ; (4)非负性 当 α≠0时, ||α||>0 ;当 α=0时, ||α||=0; (5)齐次性 ||λα||= |λ| ||α||; (6)三角不等式 ||α+β||= ||α||+||β||;
2009.8.15
4-3-2
实对称矩阵
定义2 设有n维向量α =(a1,a2, …,an)T, 则称 a1b1+ a2b2+… +anbn≥0,称其平方根为向量α 的 长度或范数.记为||α || . 既有 || || T a1a1 a2 a2 an an 特别是||α||=1时,称此为单位向量.
第三节 实对称矩阵的相似矩阵
向量组的标准正交化
正交矩阵
实对称矩阵的对角化
2009.87.15
4-3-1
实对称矩阵
一、向量组的标准正交化
1.概念 定义1 设有n维向量α =(a1,a2, …,an)T, β =(b1,b2, …,bn)T,称a1b1+ a2b2+… +anbn为向量α,β 的内积, 记为[α,β],或αTβ . 既有 [α,β ]= a1b1+ a2b2+… +anbn 说明 内积是向量的一种运算,如果为α,β 都是列 向量可用矩阵的记号表示 [α,β ].
2009.8.15
4-3-11
实对称矩阵
例2 用施密特正交化方法,将向量组
T T
1 1,2,1 , 2 1,3,1 ,3 4,1,0 ,
T
正交标准化. T 解 1 1 1,2,1 1 , 2 4 T 2 2 1 1,3,1 1,2,1T 1 , 1 6 5 T 1,1,1 3
[ 1 , 3 ] [ 2 ,3 ] ( 3) 3 3 1 2 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
( 4) m m
[ , ] [ , ]
[ 1 , 1 ]
1 m
1
[ 2 , 2 ]
2
m
2
0 i j i , j 1,2,, m j 1 i j
T i
则称向量组α1, α2,…,αm,为标准正交化的向量组.
2009.8.15 4-3-5
实对称矩阵
定理1 如果n维向量组α1, α2,…,αm,为一组两两正 交化的非零向量组,则该向量组必线性无关. 证明 设有λ1, λ2,…, λm,使λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0 用α1T左乘上式有, λ1 α1T α1=0 由于α1≠0, 所以α1T α1=|| α12 ||≠0, 于是得λ1 =0. 同理得λ2=…=λm=0. 所以向量组α1, α2,…,αm必线性无关.
2009.8.15
4-3-10
实对称矩阵
3 3
8 14 0,2,1,3 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14
[ 1 , 3 ] [ , ] 1 2 3 2 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
1,1,2,0
2009.8.15
4-3-6
实对称矩阵
说明 :
(1)如果n阶方阵A有n个两两正交的向量,则 矩阵必可对角化. (2) n个线性无关的向量未必是两两正交的.
2009.8.15
4-3-7
实对称矩阵
(2)向量组的标准正交化---施密特正交化法 设有m个线性无关的n维向量组α1, α2,…,αm, 令 (1) 1 1 1 , 2 ( 2) 2 2 1 , 1 , 1
(1)这种构造正交向量组β1, β2,…,βm的方法称为
施密特正交化法. (2)设有m个m维向量组e1,e2,…,em为标准正交化
的向量组,那么任何一个m维向量α =(a1,a2, …,an)T
均可由e1,e2,…,em线性表示. 既有 a1e1 a 2 e2 a m em
2009.8.15 4-3-9