离散数学(杨圣洪版)-第3章-复习总结

M 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0
离散数学
第三章 复习与总结
第三章 复习与总结
• 基本概念 • 计算方法
基本概念
• 集合：子集、幂集、集合的运算(交叉并补) 性质：
AA=A， AA=A ABC= A(BC)= (AB)C ABC= A (B C)= (AB)C 交换律 AB=BA AB=BA 分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 同一/零律 A=A A = 排中/矛盾律 AA=E A A= 吸收律(大吃小) A(BA)=A, A(BA)=A 德摩律 (AB)= AB (AB)= A B 双重否定 A=A 幂等律 结合律
基本概念
• 关系矩阵、关系图
a 1 2 3 1 0 0
b 0 1 0
c 0 0 1
1
a
2 3
b c
基本概念
• 关系复合 设F,G为二元关系,G对F的右复合记为FG,定义 FG={<x,y>|t( <x,t>F,<t,y>G)} 乘法是合取，加法是析取， • 复合性质： (1)结合律 (PR)S=P(RS)； (2)复合的逆 (PR)-1= R-1P-1； (3)不满足交换率；
基本概念
• 等价关系
自反、对称、可传递的关系称为等价关系。
• 等价类
彼此有等价关系的元素的集合,称为等价类. 如：{1、4、7}，{2、5、8}，{3、6}
• 商集
设RAA，R是等价关系，A0,A1,…,Ak是基于R得到的等 价类，则称集合{A0,A1,…,Ak}为A关于R的商集，记为A/R。 如：A= {1、2、3、4、5、6、7、8}，R={ <x,y>|x-y=3k}
• 笛卡尔积与复合的算法：乘法是合取，加法是析取， • 算法： M = M M = [C ]
RS R S ij
• 性质： (1)结合律 (PR)S=P(RS) (2)复合的逆 (PR)-1= R-1P-1
计算方法
• 集合计数
|A1A2 … | = |Ai|-|AiAj| +|AiAjAk| - |AiAjAkAL| …. +(-1)n-1| A1A2… An|
• 划分
若A=A0A1 …Ak, 且不相交,则称A的划分。
基本概念
• 偏序关系
自反、反对称、可传递的关系。广义的“小于等于”关系， 记为。
• 全序(线序): x,yA ，x与y都可比。 • 偏序集<A, >：<集合A、偏序关系>。 • 哈斯图 • 盖住:
如:A={,{1,2}} R1={<x,y>:xy,xA,yA}, <A, R1> A={,{1},{2},{1,2}} R2={<x,y>:xy,xA,yA}, <A, R2>
例题在[1,300]整数中能被3或5或7整除的整数的个数。 解：A3示能被3整除的数,A5能被5整除,A7能被7整除. 能被3整除的个数：|A3|=300/3=100 能被5整除的个数：|A5|=300/5=60 能被7整除的个数：|A7|=300/7=42 能被3与5同时整除的个数：|A3A5|=300/15=20 能被3与7同时整除的个数：|A3A7|=300/21=100/7=14 能被5与7同时整除的个数：|A5A7|=300/35=60/7=8 能被3、5、7同时整除的个数：|A3A5A7|=2 能被3或被5或被7整除的个数：|A3A5A7| =|A3|+|A5|+|A7|-|A3A5|-|A3A7||A5A7|+|A3A5A7| =100+60+42-20-14-8+2 =162
aຫໍສະໝຸດ Baidu
0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
b c d
t(R)=RR2 R3... Rn-1.任何两点最多n-1步达 =M M2 M3 ... Mn-1. 效率比较低！ Warshall算法 for (j=1;j<n;j++){ //第1列到最后列 for(i=1;i<n;i++{ //第j列从第1行到最后行 if (M(i,j)=1) {第i行=第i行第j行;}}}
• 上界、下界、上确界、下确界
在偏序集<A,R>中，BA，yA，若任意xB都有 <x,y>R，则称y是B的上界。 在偏序集<A,R>中，BA，设C为B的所有上界元的集合， 若C中有最小元则该最小元称为B的上确界
f
d a b
e
c
h
g
8 4
6
9
5 7
2
3 1
第三章 复习与总结
• 基本概念 • 计算方法
去掉箭头; 去掉自旋箭头; 去掉复合边;
{1,2}
{1} {2}
{1,2} {1} {2}
xA,yA,x<y, zA,使得x<z<y,则称y盖住x.
基本概念
• 最大元、最小元、极大元、极小元
设<A,R>是偏序集，BA, y0B, 若xB,均有<x,y0>R， 则y0是B的最大元。 极大元:不存在x使<y0,x>R.
基本概念
• 关系的性质与分类
自反关系:xA <x,x>RIAR 反自反关系:xA <x,x>RIAR= 对称关系:<x,y>R <y,x>R R=R-1 反对称关系:<x,y>R,<y,x>Rx=y <x,y>R且xy <y,x>R RR-1IA 传递关系:<x,y>R,<y,z>R<x,z>RR2R 自反:主对角线均为1 反自反:主对角线均为0 对称:M=MT。 反对称：MMT后只有主对角非0 传递:R2R即M2M
•
基本概念
序偶 定义3.4.1 将具有次序的两对象写在一块，称为序偶即有秩 序的二个对象，记为<对象1，对象2>或<x,y>。 三元组、n元组 定义3.4.3 如果<x,y>是序偶，且<<x,y>,z>也是一个序偶， 则称<x,y,z>为三元组。 定义3.4.4 如果<x1,x2,…,xn-1>是n-1 元组，而 <<x1,x2,…,xn-1>,xn>是序偶，则称为<x1,x2,…,xn-1,xn>为 n元组。 笛卡尔积 关系 将笛卡尔积中前后两个元素之间存在某种关系的序偶检出 来,便得到一个关系。
0 1 M 0 0 0 1 2 M 0 0 1 0 3 M 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1
计算方法
• 等价关系、等价类 • 定理3.10.1 设RAA，R是等价关系，A0,A1,…,Ak-1是利 用R得到的k个不同的等价类，则A0,A1,…,Ak为集合A的划 分 • 定理3.10.2 设A0,A1,…Ak-1是A的划分， R=A0A0A1A1…Ak-1Ak-1，则R等价关系。
计算方法
• • • • 闭包的计算： 自反闭包：r(R)=RIA 对称闭包：s(R)=RRT 传递闭包：t(R)=RR2 R3... Rn-1.任何两点最多n-1步 =M M2 M3 ... Mn-1.
t(R)=RR2 R3... Rn-1.任何两点最多n-1步达 =M M2 M3 ... Mn-1. 例A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>} t(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d, b>, <a,a>, <a,c>, <b,b>, <b,d>, <c,b>, <d,a>, <d,c>, <a,b>, <a,d>, <b,a>, <b,c>, <b,b>, <c,a>, <c,c>, <d,b>,<d,d>}