离散数学(杨圣洪版)-第3章-复习总结
离散数学讲义第三章
Df=A Rf⊆ B
称B是f的值域包 afb, 称b为a的像 用f(a) 是 的值域包, 为 的像,用 的值域包 的像
表示, 自变量) 表示 称 a为b 的像源 自变量 为 的像源(自变量 Rf =f(A)={b| B∈b ,存在 ∈A,使f(a)=b} 存在a∈ 使 ∈ 存在 的子集可以定义函数; 注1: A的子集可以定义函数 的子集可以定义函数 笛卡儿积A 可以定义函数, 注2: 笛卡儿积 1×A2×A3×A4×…… × An可以定义函数 f(a1,a2,a3,a4, ……, an)类似微积分中的多元函数 类似微积分中的多元函数; 类似微积分中的多元函数 函数又称为映射.变换 变换; 注3: 函数又称为映射 变换 由定义可知: 函数允许多对一,不允许一对多 允许B中 不允许一对多,允许 注4: 由定义可知 函数允许多对一 不允许一对多 允许 中 的元素无像源.如图 的元素无像源 如图 b1 b2 a1 a3 a2 a4 b3 b4 b5
＃ BA =(＃B)＃A=nm ＃ 证明: 因为任意一个函数f是 的 个元素上取值所唯一 证明 因为任意一个函数 是A的m个元素上取值所唯一 确定,而对于 的任意一个元素 种可能, 确定 而对于A的任意一个元素 在a处的 取值都有 种可能 而对于 的任意一个元素a,f在 处的 取值都有n种可能
(其他值固定 其他值固定,f(a)可以在 中取 个不同的值 则得到 个不同 可以在B中取 个不同的值,则得到 其他值固定 可以在 中取n个不同的值 则得到n个不同 的函数), 有乘法原理可知;,由A到B的函数共有 的函数 有乘法原理可知 由 到 的函数共有 n·n·n·n … … n = n m=(＃B)＃A ＃ 几种重要的函数: 四. 几种重要的函数 定义4: 是一个A到 的函数 的函数. 定义 设f 是一个 到B的函数 1). 若ai≠aj 时 , 有f(ai)≠f(aj) 像源不同,则像不同 像源不同 则像不同; 则像不同 ( 或f(ai) = f(aj) 时, ai=aj (逆否命题 称f 是一个A到B的 逆否命题)) 是一个 到 的 逆否命题 内 射函数. 射函数 2). 若f(A)=B, 是一个A到 的满射函数 的满射函数. 称f 是一个 到B的满射函数
离散数学第三章第五节概论
定义5 设＜A，＞为偏序集，BA (1)b(bBx(xBbx))，则称b为B的最小元。 (2)b(bBx(xBxb))，则称b为B的最大元。 (3)b(bBx(xBxb)， 则称b为B的极小元。 (4)b(bBx(xBbx)， 则称b为B的极大元。
4
2、哈斯图（3）
例1 设A={1,2,3,4,6,12}，偏序集＜A，R整除＞，作哈斯图。 解：R整除={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<6,6>,<12,12>, <1,2>,<1,3>,
<1,4>, <1,6>,<1,12>, <2,4>,<2,6>,<2,12>,<3,6>,<3,12>, <4,12>,<6,12>} covA={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<2,6>,<3,6>,<4,12>,<6,12>}
{x,y}中存在最小元，即xy和yx中有且仅有一个成立，所以＜A， ＞是线序集。
全序不一定是良序，例如＜(0,1)， ＞
定理3 有限全序(线序)集一定是良序集。
证明：设＜A，＞为全序集，A={a1,a2,...an}。若＜A，＞ 不是 良序，则必存在非空子集BA，B不存在最小元素，因B为有限集合， 故可找到x,yB不可比，这与＜A，＞为全序集相矛盾。
定义1 设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称 的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作。将A及A上 的偏序关系合称为偏序集，记作<A,>。
离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
离散数学 第三章集合
定理3.1.5 若|A|=n，则|P(A)|=2n。
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证明：
因为A的m个元素的子集的个数为C(n,
m)，所以|P(A)|=C(n, 0)+C(n, 1)+…+
C(n, n)=2n。
□
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定理3.1.6 设A和B是两个集合，则： （1）B∈P(A) BA。 （2）AB P(A)P(B)。 （3）P(A)=P(B) A=B。 （4）P(A)∈P(B) A∈B。
证明：
若 A=B ，则 A 和 B 具有相同的元素，于
是 x(x∈A→x∈B) 、 x(x∈B→x∈A) 都
为真，即AB且BA。
反之，若 AB 且 BA ，假设A≠B，则
A 与 B 元素不完全相同。不妨设有某个元素 x∈A但xB，这与AB矛盾，所以A=B。
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但数学家们不久就在康托尔的理论（我
们称之为朴素(古典)集合论）中发现了逻辑
矛盾，即所谓的“悖论”（Paradox），导 致了数学发展史上的第三次危机（另两次分 别是无理数的引入和无穷小量的引入）。其 中最著名的就是 1901 年罗素发现的 “ 罗素 悖论 ” S={x ： xS} 。 “ 罗素悖论 ” 的通俗 表示是所谓的“理发师悖论”。
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构成集合的每个事物称为这个集合的元 素或成员（Member，Element）。集合一 般用大写字母表示，元素用小写字母表示。 但这也不是绝对的，因为一个集合可以是另 外一个集合的元素。
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给定一个集合A和一个a，可以判定a是
离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
离散数学第三章消解原理doc资料
离散数学第三章消解原理doc资料离散数学第三章消解原理*第三章消解原理3.1 斯柯伦标准形内容提要我们约定，本章只讨论不含自由变元的谓词公式(也称语句,sentences)，所说前束范式均指前束合取范式。
全称量词的消去是简单的。
因为约定只讨论语句，所以可将全称量词全部省去，把由此出现于公式中的“自由变元”均约定为全称量化的变元。
例如A(x)实指?xA(x)。
存在量词的消去要复杂得多。
考虑?xA(x)。
（1）当A(x)中除x外没有其它自由变元，那么，我们可以像在自然推理系统中所做那样，可引入A(e/x)，其中e为一新的个体常元，称e为斯柯伦（Skolem）常元，用A(e/x)代替?xA(x),但这次我们不把A(e/x)看作假设,详见下文。
（2）当A中除x外还有其它自由变元y1,…,y n，那么?xA(x, y1,…,y n) 来自于?y1…?y n?xA(x, y1,…,y n)，其中“存在的x”本依赖于y1,…,y n的取值。
因此简单地用A(e/x, y1,…,y n)代替?xA(x, y1,…,y n) 是不适当的，应当反映出x对y1,…,y n的依赖关系。
为此引入函数符号f，以A(f(y1,…,y n)/x, y1,…,y n) 代替?xA(x, y1,…,y n)，它表示：对任意给定的y1,…,y n, 均可依对应关系f确定相应的x，使x, y1,…,y n满足A。
这里f是一个未知的确定的函数，因而应当用一个推理中尚未使用过的新函数符号，称为斯柯伦函数。
定理3.1（斯柯伦定理）对任意只含自由变元x, y1,…,y n的公式A(x, y1,…,y n)，?xA(x, y1,…,y n)可满足，当且仅当A(f(y1,…,y n), y1,…,y n)可满足。
这里f为一新函数符号；当n = 0时，f为新常元。
定义3.1设公式A的前束范式为B。
C是利用斯柯伦常元和斯柯伦函数消去B中量词（称斯柯伦化）后所得的合取范式，那么称C为A的斯柯伦标准形（Skolem normal form）。
杨圣洪第三章习题一解答
第三章习题一一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}P({杨,李,石})={A000, A001, A010, A011, A100, A101, A110, A111 }={{},{石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只有一个元素，其幂集只有2个元素P={{},{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。
1、对60人调查，25读《每周新闻》，26读《时代》，26人读《财富》，9人读《每周新闻》和《财富》，11读《每周新闻》和《时代》，8人读《时代》与《财富》，还有8人什么都不读，请计算：(1)阅读全部三种杂志的人数。
(2)分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。
解：令A={每周新闻的读者}，B={时代的读者}，C={财富的读者}。
由于8人什么都不读，故只有52人读杂志，即|A∪B∪C|=52|A|=25，|B|=26，|C|=26|A∩C|=9，|A∩B|=11，|B∩C|=8由包含排斥原理可知|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩C|-|A∩B|-|B∩C|+| A∩B∩C|，故52=25+26+26-9-11-8+| A∩B∩C|故| A∩B∩C|=3即同时读三种杂志的人为3人|A-B-C|=|A|-|A∩B|-|A∩C|+| A∩B∩C|=25-9-11+3=8人只读每周新闻的人|B-A-C|=|B|-|B∩A|-|B∩C|+| A∩B∩C|=26-11-8+3=10人只读时代的人|C-A-B|=|C|-|C∩A|-|C∩B|+| A∩B∩C|=26-9-8+3=12人只读财富的人财富2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。
《离散数学》课件第3章
第3章 二元关系
图 3.1―11
第3章 二元关系
3.2 关系的合成
3.2.1 关系的合成 前边已经指出，关系是序偶的集合，因此可以进
行集合运算。本节介绍一种对关系来说更为重要的运 算——合成运算。假设R1是A到B的关系，R2是B到C的 关系(参看图3.2-1)。合成关系R1R2是一个A到C的关系: 如果在关系图上，从a∈A到c∈C有一长度(路径中弧的 条数)为2的路径，其第一条弧属于R1，其第二条弧属 于R2，那么〈a，c〉∈R1R2。合成关系R1R2就是由〈a， c〉这样的序偶组成的集合。
例3.1-1和例3.1-2是列举法的例子。 一个谓词P(x1,x2,…,xn)可以定义一个n元关系R:
R={〈x1,x2,…,xn〉|P(x1,x2,…,xn)} 例如,实数R上的二元关系＞可定义如下:
＞={〈x,y〉|x∈R∧y∈R∧x＞y} 反之,一个n元关系也可定义一个谓词:
P(x1,x2,…,xn)=
利用关系R的图示,也可写出关系R.
第3章 二元关系
3.1.4 关系的特性 在研究各种二元关系中,关系的某些特性扮演着重
要角色,我们将定义这些特性,并给出它的图示和矩阵 的特点
定义3.1―5 设R是A上的二元关系, (1)如果对A中每一x,xRx,那么R是自反的.即
A上的关系R是自反的 x(x∈A→xRx)
第3章 二元关系
例3.1-2 设学生集合A1={a,b,c,d},选修课集合A2={日 语,法语},成绩等级集合A3={甲,乙,丙}.如果四人的选修 内容及成绩如下:
a日乙 b法甲 c 日丙 d 法乙 我 们 可 表 达 为 S={〈a, 日 , 乙 〉,〈b, 法 , 甲 〉,〈c, 日 , 丙〉,〈d,法,乙〉}
离散数学 第三章
思考： 思考： ≠ 和 ⊄ 的定义 注意 ∈ 和 ⊆ 是不同层次的问题
空集与全集
空集 ∅ 不含任何元素的集合 实例 {x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集 ∧ ∈ 定理 空集是任何集合的子集 ∅⊆A ∈∅→x∈ ∅⊆ ⇔ ∀x (x∈∅→ ∈A) ⇔T ∈∅→ 空集是惟一的. 推论 空集是惟一的. 假设存在∅ 证 假设存在∅1和∅2，则∅1⊆∅2 且∅1⊆∅2， 因此∅ ∅ 因此∅1=∅2 全集 E 相对性 在给定问题中，全集包含任何集合， 在给定问题中，全集包含任何集合，即∀A (A⊆E ) ⊆
1、集合基本运算的定义 、 ∪ ∩ − ∼ ⊕ 2、文氏图（John Venn） 、文氏图（ ） 3、例题 、 4、集合运算的算律 、 5、集合 A∪B = { x | x∈A ∨ x∈B } ∪ ∈ ∈ A∩B = { x | x∈A ∧ x∈B } ∩ ∈ ∈ A−B = { x | x∈A ∧ x∉B } − ∈ ∉ A⊕B = (A−B)∪(B−A) ⊕ − ∪ − = (A∪B)−(A∩B) ∪ − ∩ 绝对补 ∼A = E−A −
i =1 m 1≤i < j ≤ m
∑
| Ai ∩ Aj | −
1≤i < j < k ≤ m
∑
| Ai ∩ Aj ∩ Ak | +...
+(−1)m | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Am |
应用
之间（ 在内） 例1 求1到1000之间（包含 和1000在内）既不能 到 之间 包含1和 在内 整除， 整除的数有多少个？ 被 5 和6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？ 解：S ={ x | x∈Z, 1≤ x ≤1000 }, ∈ ≤ 如下定义 S 的 3 个子集 A, B, C： ： A={ x | x∈S, 5 | x }， ∈ ， B={ x | x∈S, 6 | x }， ∈ ， C={ x | x∈S, 8 | x } ∈
离散数学第3章_函数
例2 对例1中关系的序偶进行调整或修改，使
f＝{(1,2),(2,6),(3,6),(4,4)} 或 g={(1,3),(2,2),(3,6),(4,5)}
则 f 和 g 都是由A到B的函数。 若 f 是一由A到B的函数，且(a,b)↔f，则常记 作 f(a)=b。
２. 函数的定义域和值域
函数的定义域 Df=A, 而不会是A的真子集。 函 数的值域满足Rf B. 但对于函数f, 常将Rf 记作f(A), 即 f(A)=Rf ={b|b↔B且存在a↔A使f (a)=b} . 例2
（3）如果f和g都是双射，由g•f也是双射。 证明：(1)
ai aj
f ( ai ) f (a j )
g ( f (ai )) g ( f (a j ))
g· f
此即 g•f(ai) ≠ g•f(aj) ，故g•f是内射
(2) 对于集合C中任一元素c，必存 在b↔B ，使得g(b)=c。
m m m 种, 因
n个
记ＢA={f|f: A→B}, 则#(BA)=(#B)#A
例3 设A={a, b, c}, B={1, 2}, 构造出
所有由A到B的函数,并验证#(BA)=(#B)#A
解: 由A到B的函数如下: f1={(a,1),(b,1),(c,1)} f2={(a,1),(b,2),(c,1)} f3={(a,1),(b,1),(c,2)} f4={(a,1),(b,2),(c,2)} 所以# (BA)=8 。 f5={(a,2),(b,1),(c,1)}
因此g•f ={(a1,c2),(a2,c2),(a3,c1),(a4, c3)} 复合函数g•f就是复合关系f•g 。要注意的是为了方便， 当将其看作复合函数时，在其表示记号中颠倒 f 和 g 的位 置而写成g•f。
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
离散数学第三章总结
第三章总结集合是一个不能精确定义的基本概念。
把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个整体。
说明集合的方法有两种：1.列举法2.叙述法。
外延性原理：两个集合是相等的，当且仅当它们有相同的成员。
1．A⊆A 自反性2．（A⊆B）∧(B⊆C)⇒(A⊆C) 传递性3．若A⊆B，且A≠B则B⊈A 反对称性集合A和B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。
对任何集合A，⏀⊆A。
给定集合A，由集合A的所有自集为元素组成的集合，称为集合A 的幂集。
集合的交运算a)A∩A=A幂等律b)A∩⏀=⏀零律c)A∩E=A同一律d)A∩B=B∩A交换律e)（A∩B）∩C=A∩（B∩C）结合律集合并运算a)A⋃A=Ab)A⋃E=Ec)A⋃⏀=Ad)A⋃B=B⋃Ae)(A⋃B) ⋃C=A ⋃(B⋃C)分配律a)A∩(B⋃C)=(A∩B)⋃（A∩C）b)A⋃(B∩C)=(A⋃B)∩(A⋃C)设A，B为任意两个集合，所有属于A二不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的补集，或相对补，记作A-B。
设E为全集，对任一集合A关于E的补E-A，称为集合A的绝对补。
∼(A⋃B)=∼A∩∼B ∼(A∩B)= ∼A⋃∼BA-B=A∩∼B A-B=A-(A∩B)A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)设A，B为两个集合，若A⊆B，则a)∼B⊆∼A b)(B-A)⋃A=B 令A和B是任意两个集合，若序偶的第一个成员是A的元素，第二个元素是B的元素，所有这样的序偶集合，称为集合A和B的笛卡尔积或直积，记A×B.笛卡尔积不能交换。
不能结合。
保序，可分配。
设A,B,C,D为四个非空集合，则A×B⊆C×D的充要条件A⊆C，B⊆D.A×B=⏀⇔A=⏀⋁B=⏀若Z和S是从集合X到集合Y的两个关系，则Z，S的并交补差仍是X到Y的关系。
关系表示可用列举法，关系图，矩阵。
MR主对角线上的元素全是1，GR的每个顶点处均有自环。
离散数学(杨圣洪版)-第3章-复习总结
• 上界、下界、上确界、下确界
在偏序集<A,R>中，BA，yA，若任意xB都有 <x,y>R，则称y是B的上界。 在偏序集<A,R>中，BA，设C为B的所有上界元的集合， 若C中有最小元则该最小元称为B的上确界
f
d a b
e
c
h
g
8 4
6
9
5 7
2
3 1
第三章 复习与总结
• 基本概念 • 计算方法
• 笛卡尔积与复合的算法：乘法是合取，加法是析取， • 算法： M = M M = [C ]
RS R S ij
• 性质： (1)结合律 (PR)S=P(RS) (2)复合的逆 (PR)-1= R-1P-1
计算方法
• 集合计数
|A1A2 … | = |Ai|-|AiAj| +|AiAjAk| - |AiAjAkAL| …. +(-1)n-1| A1A2… An|
基本概念
• 关系矩阵、关系图
a 1 2 3 1 0 0
b 0 1 0
c 0 0 1
1
a
2 3
b c
基本概念
• 关系复合 设F,G为二元关系,G对F的右复合记为FG,定义 FG={<x,y>|t( <x,t>F,<t,y>G)} 乘法是合取，加法是析取， • 复合性质： (1)结合律 (PR)S=P(RS)； (2)复合的逆 (PR)-1= R-1P-1； (3)不满足交换率；
基本概念
• 关系的性质与分类
自反关系:xA <x,x>RIAR 反自反关系:xA <x,x>RIAR= 对称关系:<x,y>R <y,x>R R=R-1 反对称关系:<x,y>R,<y,x>Rx=y <x,y>R且xy <y,x>R RR-1IA 传递关系:<x,y>R,<y,z>R<x,z>RR2R 自反:主对角线均为1 反自反:主对角线均为0 对称:M=MT。 反对称：MMT后只有主对角非0 传递:R2R即M2M
离散数学复习要点
《离散数学》期末考试复习要点（长期有效）第一章命题逻辑1-1 ：命题、原子命题、复合命题、命题常量、命题变元1-2 ：联结词否定、和取、析取、条件、双条件1-1,1-2习题（1）（3）（5）（6）1-3：翻译例题3---例题61-3 习题（1）（5）(7)1-4: 真值表，等价公式例题1—例题61-4 习题（1）1-5 所有知识，表1-5.21-5 习题（1）（6）（7）1-7：合取范式、吸取范式、小项、大项及其性质、主析取范式及其简洁式、主合取范式及其简洁式、命题公式的成真赋值例题6---例题111-7习题（4）1-8：论证过程三种方法--真值表法、直接证法、间接证法例题1（p42）例题2—例题6 表1-8.3和表1—8.41-8 习题（1）（3）（4）（5）第二章谓词逻辑2-1 ：所有知识2-2：所有知识2-1,2-2习题（1）（2）2-3 例题1—例题42-3 习题（4）2-4 所有知识2-4 习题（2）（3）2-5 所有知识2-5 习题（1）（2）2-6 所有知识例题1，例题22-7 全称指定、全称推广、存在指定、存在推广。
例题1—例题32-7 习题（1）a）b）（2）a)（3）第三章集合与关系3-1 所有知识3-1 习题（4）（6）（7）（9）3-2 所有知识3-2 习题（3）（6）3-4 序偶、定理3-4.1例题13-4 习题（1）（2）（3）d）e）3-5 关系的定义，空关系，全域关系，恒等关系，关系矩阵，关系图。
例题1-例题63-5 习题（1）（2）（7）3-6 所有知识例题1—例题53-6 习题（1）3-7 复合关系，逆关系，例题1—例题43-7 习题（1）3-8 关系的闭包的定义，会求三个闭包。
例题1—例题33-8 习题（1）（2）3-9 集合的划分和覆盖的定义3-9 习题（1）3-10 等价关系的定义，等价类的概念。
商集的概念。
例题1—例题3。
3-10 习题（2）（3）3-11 相容关系的概念，相容类，最大相容类。
离散数学第三章
本章首先采用朴素集合论的方法，介绍有关集合的一些 基本知识，内容显得较为直观，学起来易于接受。但集合及 其相关的概念是本门课程后面各章内容的基础，同学们务必 熟练的掌握。本章重点讨论关系（主要是二元关系），它仍 然是一种集合，但它是一种更为复杂的集合。它的元素是有 序二元组的形式，这些有序二元组中的两个元素来自于两个 不同或者相同的集合。因此，关系是建立在其它集合基础之 上的集合。关系中的有序二元组反映了不同集合中元素与元 素之间的关系，或者同一集合中元素之间的关系。本章讨论 这些关系的表示方法、关系的运算以及关系的性质，最后讨 论集合A上几类特殊的关系。
3-1.3 数的集合
N：自然数(natural numbers)集合 N={0,1,2,3,…} Z：整数(integers, Zahlen)集合 Z={0,1,2,…}={…,-2,-1,0,1,2,…} Q：有理数(rational numbers, Quotient)集合 R：实数(Real numbers)集合 C：复数(Complex numbers)集合
3-2.1 交集 集合交运算的性质
a) A A = A （幂等律） b) A = （零律） c) A E = A （同一律） d) A B = B A （交换律） e) (A B) C = A (B C) （结合律） 因为集合交运算满足结合律，故n个集合的交 记为： n P=A1 A2 An = Ai i=1
第三章 集合与关系（Sets and Relations)
3-1 集合的概念和表示法 3-2 集合的运算 3-4 序偶与笛卡尔积 3-5 关系及其表示 3-6 关系的性质
第三章 集合与关系（Sets and Relations)
离散数学 教案 第3章复习总结
答案： 答案：(1). ③ (2). ⑦ (3). ⑤ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案： (5). ④ 答案：(4). ⑩ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
Discrete Mathematics
第三章 集合
复习总结
西南科技大学
1
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 一、本章主要内容及学习要求 集合表示法 元素与集合的关系 集合与集合间的关系 集合的基本运算 集合运算的文氏图表示 有穷集合的计数问题。 本章重点是集合表示法，集合间的关系，集合 重点是集合表示法，集合间的关系， 重点是集合表示法 运算,有穷集合的计数。 运算,有穷集合的计数。
西南科技大学
10
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a
0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
b c d
t(R)=RR2 R3... Rn-1.任何两点最多n-1步达 =M M2 M3 ... Mn-1. 效率比较低！ Warshall算法 for (j=1;j<n;j++){ //第1列到最后列 for(i=1;i<n;i++{ //第j列从第1行到最后行 if (M(i,j)=1) {第i行=第i行第j行;}}}
•
基本概念
序偶 定义3.4.1 将具有次序的两对象写在一块，称为序偶即有秩 序的二个对象，记为<对象1，对象2>或<x,y>。 三元组、n元组 定义3.4.3 如果<x,y>是序偶，且<<x,y>,z>也是一个序偶， 则称<x,y,z>为三元组。 定义3.4.4 如果<x1,x2,…,xn-1>是n-1 元组，而 <<x1,x2,…,xn-1>,xn>是序偶，则称为<x1,x2,…,xn-1,xn>为 n元组。 笛卡尔积 关系 将笛卡尔积中前后两个元素之间存在某种关系的序偶检出 来,便得到一个关系。
基本概念
• 等价关系
自反、对称、可传递的关系称为等价关系。
• 等价类
彼此有等价关系的元素的集合,称为等价类. 如：{1、4、7}，{2、5、8}，{3、6}
• 商集
设RAA，R是等价关系，A0,A1,…,Ak是基于R得到的等 价类，则称集合{A0,A1,…,Ak}为A关于R的商集，记为A/R。 如：A= {1、2、3、4、5、6、7、8}，R={ <x,y>|x-y=3k}
M 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0
基本概念
• 关系矩阵、关系图
a 1 2 3 1 0 0
b 0 1 0
c 0 0 1
1
a
2 3
b c
基本概念
• 关系复合 设F,G为二元关系,G对F的右复合记为FG,定义 FG={<x,y>|t( <x,t>F,<t,y>G)} 乘法是合取，加法是析取， • 复合性质： (1)结合律 (PR)S=P(RS)； (2)复合的逆 (PR)-1= R-1P-1； (3)不满足交换率；
计算方法
• • • • 闭包的计算： 自反闭包：r(R)=RIA 对称闭包：s(R)=RRT 传递闭包：t(R)=RR2 R3... Rn-1.任何两点最多n-1步 =M M2 M3 ... Mn-1.
t(R)=RR2 R3... Rn-1.任何两点最多n-1步达 =M M2 M3 ... Mn-1. 例A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>} t(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d, b>, <a,a>, <a,c>, <b,b>, <b,d>, <c,b>, <d,a>, <d,c>, <a,b>, <a,d>, <b,a>, <b,c>, <b,b>, <c,a>, <c,c>, <d,b>,<d,d>}
例题在[1,300]整数中能被3或5或7整除的整数的个数。 解：A3示能被3整除的数,A5能被5整除,A7能被7整除. 能被3整除的个数：|A3|=300/3=100 能被5整除的个数：|A5|=300/5=60 能被7整除的个数：|A7|=300/7=42 能被3与5同时整除的个数：|A3A5|=300/15=20 能被3与7同时整除的个数：|A3A7|=300/21=100/7=14 能被5与7同时整除的个数：|A5A7|=300/35=60/7=8 能被3、5、7同时整除的个数：|A3A5A7|=2 能被3或被5或被7整除的个数：|A3A5A7| =|A3|+|A5|+|A7|-|A3A5|-|A3A7||A5A7|+|A3A5A7| =100+60+42-20-14-8+2 =162
去掉箭头; 去掉自旋箭头; 去掉复合边;
{1,2}
{1} {2}
{1,2} {1} {2}
xA,yA,x<y, zA,使得x<z<y,则称y盖住x.
基本概念
• 最大元、最小元、极大元、极小元
设<A,R>是偏序集，BA, y0B, 若xB,均有<x,y0>R， 则y0是B的最大元。 极大元:不存在x使<y0,x>R.
• 笛卡尔积与复合的算法：乘法是合取，加法是析取， • 算法： M = M M = [C ]
RS R S ij
• 性质： (1)结合律 (PR)S=P(RS) (2)复合的逆 (PR)-1= R-1P-1
计算方法
• 集合计数
|A1A2 … | = |Ai|-|AiAj| +|AiAjAk| - |AiAjAkAL| …. +(-1)n 1 1 1
1 1 1 1
计算方法
• 等价关系、等价类 • 定理3.10.1 设RAA，R是等价关系，A0,A1,…,Ak-1是利 用R得到的k个不同的等价类，则A0,A1,…,Ak为集合A的划 分 • 定理3.10.2 设A0,A1,…Ak-1是A的划分， R=A0A0A1A1…Ak-1Ak-1，则R等价关系。
0 1 M 0 0 0 1 2 M 0 0 1 0 3 M 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0
• 上界、下界、上确界、下确界
在偏序集<A,R>中，BA，yA，若任意xB都有 <x,y>R，则称y是B的上界。 在偏序集<A,R>中，BA，设C为B的所有上界元的集合， 若C中有最小元则该最小元称为B的上确界
f
d a b
e
c
h
g
8 4
6
9
5 7
2
3 1
第三章 复习与总结
• 基本概念 • 计算方法
离散数学
第三章 复习与总结
第三章 复习与总结
• 基本概念 • 计算方法
基本概念
• 集合：子集、幂集、集合的运算(交叉并补) 性质：
AA=A， AA=A ABC= A(BC)= (AB)C ABC= A (B C)= (AB)C 交换律 AB=BA AB=BA 分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 同一/零律 A=A A = 排中/矛盾律 AA=E A A= 吸收律(大吃小) A(BA)=A, A(BA)=A 德摩律 (AB)= AB (AB)= A B 双重否定 A=A 幂等律 结合律
• 划分
若A=A0A1 …Ak, 且不相交,则称A的划分。
基本概念
• 偏序关系
自反、反对称、可传递的关系。广义的“小于等于”关系， 记为。
• 全序(线序): x,yA ，x与y都可比。 • 偏序集<A, >：<集合A、偏序关系>。 • 哈斯图 • 盖住:
如:A={,{1,2}} R1={<x,y>:xy,xA,yA}, <A, R1> A={,{1},{2},{1,2}} R2={<x,y>:xy,xA,yA}, <A, R2>
基本概念
• 关系的性质与分类
自反关系:xA <x,x>RIAR 反自反关系:xA <x,x>RIAR= 对称关系:<x,y>R <y,x>R R=R-1 反对称关系:<x,y>R,<y,x>Rx=y <x,y>R且xy <y,x>R RR-1IA 传递关系:<x,y>R,<y,z>R<x,z>RR2R 自反:主对角线均为1 反自反:主对角线均为0 对称:M=MT。 反对称：MMT后只有主对角非0 传递:R2R即M2M