2019年四川省成都市中考数学试卷-(解析版)

2019年成都中考数学试题
A 卷（共100分）
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.比-3大5的数是（ ）
A.-15
B.-8
C.2
D.8
【解析】此题考查有理数的加减，-3+5=2，故选C
2.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）
A. B. C. D. 【解析】此题考查立体几何里三视图的左视图，三视图的左视图，应从左面看，故选B
3.2019年4月10日，人类首张黑洞图片问世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年.将数据5500万用科学计数法表示为（ ）
5500×104 B.55×106 C.5.5×107 D.5.5×108
【解析】此题考查科学记数法（较大数），将一个较大数写成n a 10⨯的形式，其中101<≤a ，n 为正整数，故选C
4.在平面直角坐标系中，将点（-2,3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A.（2,3）
B.（-6,3）
C.（-2,7）
D.（-2，-1）
【解析】此题考查科学记数法（较大数），一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加4，故选A
5.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A.10°
B.15°
C.20°
D.30°
【解析】此题考查平行线的性质（两直线平行内错角相等）以及等腰直角三角形的性质，故选B
6.下列计算正确的是（ ）
A.b b ab 235=-
B.242263b a b a =-）
（ C.1)1(22-=-a a D.2222a b b a =÷
【解析】此题考查正式的运算，A 选项明显错误，B 选项正确结果为249b a ，C 选项122+-a a ，故选D
7. 分式方程1215=+--x
x x 的解为（ ） A.1-=x B.1=x C.2=x D.2-=x
【解析】此题考查分式方程的求解.选A
8.某校开展了主题为“青春·梦想”的艺术作品征集互动，从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42,50,45,46,50则这组数据的中位数是（ ）
A.42件
B.45件
C.46件
D.50件
【解析】此题考查数据统计相关概念中中位数的概念，中位数表示将这列数按从小到大排列后，最中间的一个数或者最中间的两个数的平均值，故选C 。

9.如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则∠CPD 的度数为（ ）
A.30°
B.36°
C.60°
D.72°
【解析】此题考查正五边形及圆的相关概念，做辅助线：连接CO 、DO ，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故∠CPD=︒=⨯︒362
172 10.如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （1,0），B （5,0），下列说法正确的是（ ）
A.0>c
B.042<-ac b
C.0<+-c b a
D.图象的对称轴是直线3=x
【解析】此题考查二次函数的基本概念以及二次函数的图象。

A 选项中，C 表示的是二
次函数c bx ax ++=2y 与x 轴的交点，由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半
轴，故c>0. B 选项中，
表示△，函数图象与x 轴有两个交点，所以△>0，即 。

C 选项中，令x 曲-1，可得y=a －b ＋c ，即x=－1时函数的取值。

观察图象可知x ＝－1时y ＞0，所以a －b ＋c ＞0. 最后D 选项中，根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，2
51+=
x ，x ＝3即为函数对称轴。

故
选D 。

二.填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11.若1+m 与-2互为相反数，则m 的值为 .
【解析】此题考察的是相反数的代数意义，互为相反数的两个数和为0.所以m+1+(-2)＝0，所以m ＝1.
12.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE 的长为 .
【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为△ABC 是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD ≅△ACE(ASA),所以BD=二次，EC=9.
13.已知一次函数1)3(+-=x k y 的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是 .
【解析】此题考察的是一次函数的图象，当函数斜率大于0式，函数图像过第
一、第四象限，当函数中的常数项为正的时候过第四象限，所以k －3<0，所以k ＜3.
14. 如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO ，AB 于点M ，N ；②以点O 为圆心，以AM 长为半径作弧，交OC 于点M '；③以点M '为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠COB 内部交前面的弧于点N '；④过点N '作射线N O '交BC 于点E ，若AB=8，则线段OE 的长为 .
【解析】此题考察的是通过尺规作图构造全等三角形的原理及两直线平行的判定，连接MN 和N M '',因为M O AM '=,N O AN '=,N M MN ''=,所以)(SSS N M O AMN ''≅△△,所以，N O M MAN ''∠=∠,所以AB OE ∥,又因为O 是AC 中点，所以OE 是△ABC 的中位线，所以AB OE 2
1=,所以4=OE . 三.解答题.（本大题共6个小题，共54分）
15.（12分，每题6分）
（1）计算：|31|1630cos 2)2(0-+-︒--π.
41
3431)13(42
32-1-=-+--=-+-⨯
=解：原式 （2）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+<--≤-②211425①54)2(3x x x x
解： 5463-≤-x x
1-∴≥
x x 2425+-＜
2
＜x ∴
16.（6分）先化简，再求值：62123412++-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-x x x x ，其中12+=x
.
解：原式=12)1()3(231)3(2)1(3122-=-+⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x x x x . 将12+=x 代入原式得22
2= 17（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数. 解：（1）总人数=90%2018=÷（人），如图
（2）在线讨论所占圆心角︒=︒⨯=⨯=
4836090
12圆周角调查总人数在线讨论人数
（3）本校对在线阅读最感兴趣的人参与调查的总人数
数参与调查的在线阅读人= 560210090
24=⨯=（人） 18.（8分）
2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力.如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A 处，测得起点拱门CD 的顶部C 的俯角为35°，底部D 的俯角为45°，如果A 处离地面的高度AB=20米，求起点拱门CD 的高度.（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【解析】本题主要考察直角三角形中三角函数的运用，利用方程思想建立等量关系.
解：过A 作CD 垂线，垂足为E ，如图所示.
CE=AE·tan35°，ED=AE·tan45°.CD=DE -CE.
设AE 长度为x ，得20=x tan45°-x tan35°
解得：x=6
答：起点拱门的高度约为6米.
19.（10分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数52
1+=x y 和x y 2-=的图象相交于点A ，反比例函数x
k y =的图象经过点A. （1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数521+=x y 的图象与反比例函数x
k y = 的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求△ABO 的面积。

解：（1）由题意：联立直线方程⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=x y x y 2521，可得⎩⎨⎧=-=42y x ，故A 点坐标为（-2,4） 将A （-2,4）代入反比例函数表达式x k y =，有2
4-=k ，∴8-=k 故反比例函数的表达式为x
y 8-= （2）联立直线521+=x y 与反比例函数x y 8-=，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x
y x y 2521，消去y 可得016102=++x x ，解得8,221-=-=x x ，当8-=x 时，1=y ，故B （-8,1）
如图，过A ，B 两点分别作x 轴的垂线，交x 轴于M 、N 两点，由模型可知
S 梯形AMNB =S △AOB ，∴S 梯形AMNB =S △AOB =21))((2121⨯-+x x y y =2
1)]8()2[()41(⨯---⨯+ =152165=⨯
⨯ 20.（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为圆上的两点，OC∥BD，弦AD ，BC 相交于点E,
（1）求证：
（2）若CE=1，EB=3，求⊙O 的半径；
（3）在（2）的条件下，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点P ，过点P 作PQ∥CB 交⊙O 于F,Q 两点（点F 在线段PQ 上），求PQ 的长。

【解析】本问主要考察利用圆的性质构造角度关系，利用圆心角相等证明弧长相等.
（1）证明：连接OD.∵OC ∥BD ，∴∠OCB=∠DBC ，∵OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC ∴∠OBC=∠DBC ，∴∠AOC=∠COD ，∴
（2）解：连接AC ，∵AC CD =，∴∠CBA=∠CAD.∵∠BCA=∠ACE ，∴△CBA ∽△CAE ∴CA
CB CE CA =，∴4)31(1)(2=+⨯=+⋅=⋅=EB CE CE CB CE CA ，∴CA=2 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得： 52422222=+=+=CB CA AB .
（3）如图，设AD 与CO 相交于点N
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∵OC ∥BD ，∴∠ANO=∠ADB=90°.
∵PC 为⊙O 的切线，∴∠PCO=90°，，∴∠ANO=∠PCO ，∵PC ∥AE ，∴31==EB CE AB PA ∴35231==AB PA ，∴3
555532=+=+=AO PA PO
过点O 作OH ⊥PQ 于点H ，则∠OPH=90°=∠ACB.∵PC ∥CB ，∴∠OPH=∠ABC ，∴
△OHP ∽△ACB.∴
BC
PH AC OH AB OP ==，∴355
235
52=⨯
=⋅=
AB OP
AC OH
3105
235
54=⨯
=⋅=
AB
OP
BC PH ，连接OQ ，在Rt △OHQ 中，由勾股定理得：
352)35()5(2222=-=-=OH OQ HQ ，∴3
5
210+=+=HQ PH PQ
B 卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 21.估算：≈7.37.（结果精确到1） 【解析】7.37比36大一点，故答案为6
22.已知21,x x 是关于x 的一元二次方程0122=-++k x x 的两个实数根，且
13212
221=-+x x x x ，则k 的值为.
【解析】本题考察一元二次方程根与系数的关系之韦达定理的应用 ∵该方程有两个实数根，∴△=042≥-ac b ，即0)1(422≥--k ，∴2≤k 23.一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些求除颜色外都相同，再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为
7
5
，则盒子中原有的白球的个数为. 【解析】本题主要是对古典型的考察
设原有白球x 个，则放入5个白球后变为)5(+x 个，由题意可得7
5
1055=+++x x ，
解之得
20=x ，故原有白球20个
24.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△D B A '''，分别连接C B D A C A ''',，，则C B C A '+'的最小值为 .
【解析】本题考查“将军饮马”的问题
如图，过C 点作BD 的平行线l ，以l 为对称轴作B 点的对称点1B ，连接1AB 交直线l 于点1C 根据平移和对称可知11BC AC C B C A +='+'，当11,,C B A 三点共线时
11BC AC +取最小值，即1AB ，又1AB 1==BB ，根据勾股定理得，31=AB ，故答案为3
25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点A 的坐标为（5,0），点B 在x 轴的上方，△OAB 的面积为2
15
，则△OAB 内部（不含边界）的整点的个数为.
【解析】此题考查了三角形最值问题
如图，已知OA=3，要使△AOB 的面积为
2
15
，则△OAB 的高度应为3（如图），当B 点在3 y 这条线段上移动时，点2B 处是以OA 为底的等腰三角形是包含的整点最多，在距离2B 的无穷远处始终会有4个整点，故整点个数有4个 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 26.（8分）
随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系. （1）求y 与x 之间的关系式；
（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可用
2
1
21+=
x p 来描述。

根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【解析】（1）y 与x 之间的关系式为7500500+-=x y
（2）第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元. 27（10分）
如图1，在△ABC 中，AB=AC=20，tanB=
4
3
，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B ，C 重合）.以点D 为顶点作∠ADE=∠B，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF⊥AD 交射线DE 于F ，连接CF. （1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB 时（如图2），求AE 的长；
（3）点D 在BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DE ＝CF ？若存在，求出此时BD 的长；若不存在，请说明理由。

【解析】此题考查了三角形全等，相似问题.
（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB.∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD ，∠ADE=∠B ， ∴∠BAD=∠CDE.∴△ABD ∽△DCE.
（2）过点A 作AM ⊥BC 于点M.在Rt △ABM 中，设BM=4k ，则AM=BM ·tanB=k k 34
3
4=⋅
. 由勾股定理，得222BM AM AB +=，∴222)4()3(20k k +=，∴4=k .
∵AB=AC ，AM ⊥BC ，∴BC=2BM=2·4k=32，∵DE ∥AB ，∴∠BAD=∠ADE.又∵∠ADE=∠B ，
∠B=∠ACB ，∴∠BAD=∠ACB.∵∠ABD=∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA.∴
AB DB
CB AB =. ∴22532202
2==
CB AB DB ，∵DE ∥AB ，∴BC BD AC AE =.∴16
12532225
20=⨯
=
⋅=BC
BD
AC AE
28.（12）如图，抛物线y ＝c bx ax ++2 经过点A （-2,5），与x 轴相交于B （-1，0），C （3,0）两点， （1）抛物线的函数表达式；
（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿沿直线BD 翻折得到△B C 'D ，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标； （3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式。