常微分方程常见形式及解法

常微分方程
毕文彬
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简易微分方程的求解方法
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一阶线性常微分方程
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二阶常系数齐次常微分方程
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一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程： 可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
常微分方程
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二阶常系数齐次常微分方程
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可分离方程
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一般一阶微分方程
一般二阶微分方程 线性方程 (最高到n阶)
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微分方程
一阶，变量 x 和 y 均可分离
可分离方程
解法 通解
分离变量（除以P2Q1）。 一阶，变量 x 可分离 直接积分。 一阶，变量 y 可分离 分离变量（除以 F）。
一阶，变量 x 和 y 均可分离
其中
反常微分, 一阶 积分变量 μ(x, y) 满足
如果可以得到 μ(x, y)：
其中
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微分方程
二阶
一般二阶微分方程 线性方程 (最高到n阶)
解法
原方程乘以 2dy/dx, 代换
通解
, 然后两次积分.
一阶线性，非齐次的函数系数
积分因子:
余函数 yc: 设 yc = eαx， 如果 b2 > 4c, 则: 代换并解出 α 中的多项 二阶线性，非齐次的常系数 式，求出线性无关函数 。 特解 yp：一般运用常数 如果 b2 = 4c, 则: 变易法，虽然对于非常 容易的 r(x) 可以直观判 如果 b2 < 4c, 则: 断。
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
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微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
整个积分。
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一般一阶微分方程
解法
令 y = ux，然后通过分离 变量 u 和 x 求解. 分离变量（除以 xy）。
微分方程
一阶，齐次 一阶，可分离变量
通解
如果N = M, 解为xy = C.
恰当微分, 一阶
整个积分。
其中 Y(y) 和 X(x) 是积分出来 的函数而不是常数，将它们列在 这里以使最终函数 F(x, y) 满足初 始条件。
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：
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一般通解
常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的 最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝塞尔方程：
（其中y为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔 函数。 常微分方程 毕文彬
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常见例子
以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变 数为x，c及ω均为常数。 非齐次一阶常系数线性微分方程：
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常微分方程常见形式及解法
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微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关 系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而 在初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是 单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是 一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向 量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程 组成的系统。微分方程的表达通式是：